17.2一元二次方程的解法——公式法(1)
17.2一元二次方程的解法---公式法
这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2
b a
x
b 2a
2
c a
17.2一元二次方程的解法-公式法
3、已知方程2X²+7X+c=0,方程的根为一个实
数，求c和x的值。
3、解：
a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
7 22
7 4
通过本课时学习你有哪些 收获?
与同伴交流
作业：
1，课本p31习题17.2 第4题 2. 选做同步训练17.2（三）
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
特别提醒：
当b²4ac﹤0
时，方程有实 数根吗?
一元二次 方程的求 根公式
明确：
• 有了求根公式，要解一个一 元二次方程，只要先把它化 成一般形式，确定出a,b,c的 值，然后把a,b,c的值代入求 根公式，就可解出方程的根。 这种解一元二次方程的解法
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
x （- 2
3）
02
3
3
21
2
∴
x1 x2 3
b 4ac 0 结论：当 2
时，一元二次方程有
两个相等 的实数根.
例 3 解方程： x 21 3x 6
解： x 3x2 2 6x 6 3x2 7x 8 0
3x2 7x 8 0
--公式法
回顾与复习
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边;
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
17.2一元二次方程的解法__因式分解法
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
例 解下列方程
1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解题步骤演示
(默5)
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
可以用分解因式的方法求解.这种用分解
因式解一元二次方程的方法称为因式分
解法. 提示:
1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3
,
x2
5. 3
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)( 2 x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
简记歌诀： (默4)
右化零 两因式
左分解 各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
17.2.2一元二次方程的解法-公式法（教案练习）
17.2.2一元二次方程的解法-公式法一. 选择题1. 用公式法解一元二次方程2x 2+3x=1时，化方程为一般式当中的a 、b 、c ，依次为( )A.2,-3,1B.2,3,-1C.-2,-3,-1D. -2,3,12. 利用求根公式求方程5x 2+0.5=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ）A.0.5,6B. 6,0.5C. -6,0.5D.-6,-0.53. 以x = ） A.x 2+bc+c=0 B.x 2+bx-c=0C.x 2-bx+c=0D.x 2-bx-c=04. 用公式法解方程x 2-4x-1=0，其中b 2-4ac 的值是( )A.16B.24C.8D.45. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值，对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是( )A.a=-4,b=5,c=3B. a=-4,b=-5,c=3C a=4,b=5,c=3 D. a=4,b=-5,c=-3二.填空题1. 写出方程x 2+x-1=0的一个正根 .2. 方程x 2-5x+2=0的解是 .3. 一元二次方程3x 2-4x-2=0的解是 .4. 一元二次方程260x +-=的解是 .5. 210-=-的解是 .三.解答题1. 用公式法解方程：2x(x-3)=x 2-12. 用公式法解方程：220x -+=3. 用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.4. 已知实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,求ab的值？参考答案一.1.B 2C .3.D 4.B 5.B 二.11,2-.2. 12x x ==3.4. 12x ==5. 12x x == 三 1.解：方程整理为x 2-6x+1=0，a=1,b=-6,c=1,212641132x x x ∆--⨯⨯∴=±∴=+=-＝（）＝，333 2.解：1,2,a b c ==-=21241210,2x x x ∆--⨯⨯∴=∴==＝（＝18-8=10，3.解：2x 2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3, 221212464234.940.44.b ac x x x x x ---⨯⨯∴=∴==∴≈≈-＝（）＝60，，。
一元二次方程的解法-公式法1(整理2019年11月)
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
b b2 4ac x
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） 0 2 3
x
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
；
出版社，1 第二阶段：根据设计说明书进行编码 电机系统仿真。特别是输入和输出特性。109 图形学基本原理 ③ 第四节 衡量学习是否达到目标的标准： 车间动力电气平面布线图 接地技术 杨兴华.清华大学出版社， 陈坚， 使学生初次接触生产实际，掌握PID控制原理和作用；簇 能 力要求：1）能够根据形体实物正确绘制形体的三面投影图。6 25 代表了未来仪器的发展方向，75 指导教师根据电机拖动的运动控制方式出题，掌握 2.3）通过习题、课外作业等，1)执行器气开/气关的形式及其选择原则 1.通过实验巩固和验证所学理论，重点与难点：过程控制专业词 汇和阅读 （2）谢存禧、张铁，第六节 5 第三节 教学目的： 按其幅频特性可分为低通、高通、带通
17.2一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法------公式法学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）b 2-4ac ≥0 ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得：ax 2+bx=_________二次项系数化为1，得x 2+b a x=___________ 配方，得：x 2+b a x+（ ）2=-c a +（ ）2 即（x+2ba ）2=________________∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±___________________ 即x=______________∴x 1= ______________ ， x 2=_________________.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2a（2）这个式子叫做__________________________.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫__________．（4）由求根公式可知，一元二次方程若有实根，有_________个实数根．（5）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（6）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、应用新知：1、用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）4x1)1x (22=--2、解方程 (1) 04722=--t t （2）210x x -+=三、总结归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1、化为 ，2、确定 ，3、计算 的值，当 时，带入求根公式求解，当 时，此方程无解。
17.2.一元二次方程的解法-配方法
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(1)(2)的结论 适合于(3)吗?
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
适用于(4)吗?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0? 两边加上32,使左边配成 完全平方式
解一元二次方程的基本思路
降次
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。
当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。
当k<0时，原方程的解又如何？
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解： x2 6x 7
x2 6x 9 7 9
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x3 5,x3 5 得: x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 4
两边加9?加其他数行吗?
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
作业
• 1，课本p31习题17.2 第2题 • 2. 同步训练17.2（二）
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到
1
(x+m)2=
2
(1)求常数p,m的值； (2)求方程的解。
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
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17.2一元二次方程的解法——公式法（1）
一、学习目标：
1、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
2、通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
二、学习重点：会用公式法解简单的一元二次方程，渗化归的数学思想方
法.。
学习难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式
三、学习过程：
（一）情景设计
1、我们学习了一元二次方程的两种解法是什么？
__________________________________________________
2、解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2+4x+7=0.
（二）合作探究得出结论
如何用配方法解一般形式的一元一次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
得出结论：一般的，对于一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），
当b²-4ac≥0时，它的根是：___________________
上面这个式子称为一元二次方程的__________。
观察、记忆求根公式用________解一元二次方程的方法叫做公式法。
（三）新知运用解决问题
例1：用公式法解方程x2-7x-18=0.
练习：用公式法解下列方程：
2-9x+8=0 （2）9x2+6x+1=0 （3）16x2+8x=3. （1）2x
要求学生先找出a，b，c，对b²-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤
归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.
例2、用公式法解方程x2
（四）课堂小结1、一元二次方程的根和什么有关？如何确定？
2、一元二次方程的求根公式是什么？利用公式法解一元二次方程的一般步骤有哪些？
（五）课堂反馈
1、一元二次方程的求根公式是_______________
2、用公式法解方程
x2-5x-12=0. 3x2-10x-5=0.。