运用公式法(二)
运用公式法分解因式2教学设计
运用公式法分解因式（2）教学设计教材分析：分解因式是进行代数恒等变形的重要手腕之一。
它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系，分解因式是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础。
因此学好分解因式对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
另外，本节课的学习是通过乘法公式()2222b ab a b a +±=±的逆向变形展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、归纳等能力，发展有层次的思考及语言表达能力。
学情分析：学生在七年级下册已经学习了整式的运算及乘法公式，对乘法公式的特征有了必然的熟悉。
在本节课之前又学习了用提取公因式法和运用平方差公式分解因式，对因式分解的概念及意义有了初步的理解，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。
同时，在上节课学习用平方差公式分解因式时，又经历的逆向思维的训练，这些都为本节课的学习做了能力和方式上的准备。
教学目标：一、知识与技术：使学生会用完全平方公式分解因式，进一步发展符号感和推理能力。
二、数学思考：使学生了解分解因式的方式、在考虑用公式法时看可否运用完全平方公式。
在导出用完全平方公式及对其特点进行辨析的进程中，培育学生观察、归纳和逆向思维的能力。
3、解决问题 ：通过对完全平方公式的再熟悉，和由整式乘法取得分解因式的方式，进一步培育学生的逆向思维和推理能力，使学生学习多步骤、多方式的分解因式。
4、情感与态度：通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培育学生观察和联想能力，培育学生的学习踊跃性、主动性，增强学习数学的信心和兴趣重点难点：重点：运用公式法分解因式难点：完全平方公式的识别及正确运用完全平方公式分解因式教学进程：一：温习引入1、将下列式子分解因式（1）812-a （2）()22n n m -+ 二、计算下列各式（1）()22y x + （2）()22y x - 由此你能把下列式子分解因式吗？（3）2244y xy x ++ （4）2244y xy x +-3、回忆咱们所学习过的完全平方公式并写下来。
2.3运用公式法2
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把
1 4
x
2
3 x y 9 y 分解因式得
2
（
2
B
2
）
1 A、 4 x 3 y
B、
2
1 x 3y 2
6、把 A、
分解因式得 x y xy （ ） A 9 3
4
2
4
2 x y 3
2 2
是
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
5x2 x1 Nhomakorabea是
6
a2
4 2 a b 4b 2 否
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式
1 x 3 x 4a
2
2 __ _ _ _x y _ _ y
因式分解——运用公式法
2、完全平方公式因式分解
上节课的回顾 练习:
(1) 3 x 4 y x 2 y
2 2
2 5 a
3
x 5a y
2 3
2
1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ） A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
a 2ab b a 2ab b 我们把以上两个式子 叫做完全平方式
2 2
2
2
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
判别下列各式是不是 完全平方式
1x
2
2 xy y
2
2
是
2
二次三项式的因式分解(用公式法)教学案(二)
二次三项式的因式分解（用公式法）教学案（二）一、素质教育目标（一）知识教学点：熟练地运用公式法在实数范围内将二次三项式因式分解．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题、解决问题的能力．（三）德育渗透点：进一步对学生进行辩证唯物主义思想教育．二、教学重点、难点1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根和二次三项因式分解的关系．三、教学步骤（一）明确目标对于含有一个字母在实数范围内可分解的二次三项式，学生利用十字相乘法或用公式法可以解决．对于含有两个字母的二次三项式如何用公式法进行因式分解是我们本节课研究的目标．（二）整体感知本节课是上节课的继续和深化，上节课主要练习了利用公式法将含有一个字母的二次三项式因式分解，这节课研究含有两个字母的二次三项式的因式分解，实际上可设二次三项式为零，把一个字母看成是未知数，其它看成已知数，求出方程的两个根，然后利用公式法将问题解决．本节课较上节课有一定的难度．通过本节课，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．上节课是本节课的基础，本节课是上节课的加深和巩固．（三）重点、难点的学习和目标完成的过程1．复习提问：（1）如果x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c如何因式分解？（2）将下列各式因式分解？①4x2+8x-1；②6x2-9x-21．2．例1 把2x2-8xy+5y2分解因式．解：∵关于x的方程2x2-8xy+5y2=0的根是教师引导、板书，学生回答．注意以下两个问题：（1）把x看成未知数，其它看成已知数．（2）结果不能漏掉字母y．练习：在实数范围内分解下列各式．（1）6x2-11xy-7y；（2）3x2+4xy-y2．学生板书、笔答，评价．注意（1）可有两种方法，学生体会应选用较简单的方法．例2 把（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）分解因式．分析：此题有两种方法，方法（一）∵关于x的方程（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=0∴（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]=（mx-x-m）（mx-m-1）．方法（二）用十字相乘法．（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]=（mx-x-m）（mx-m-1）．方法（二）比方法（一）简单．由此可以得出：遇见二次三项式的因式分解：（1）首先考虑能否提取公因式．（2）能否运用十字相乘法．（3）最后考虑用公式法．以上教师引导，学生板书、笔答，学生总结结论．练习：把下列各式因式分解：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3．解：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[mx-（m+1）][（m-1）x-m]=（mx-m-1）[（m-1）x-m）]．（因式分解法）（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3…第一步=（x2+x-3）（x2+x+1）…第二步（1）题用十字相乘法较简单．（2）题第一步到第二步用十字相乘法，由第二步到第三步用公式法．注意以下几点：（1）因式分解一定进行到底．（2）当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解．当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可分解．（四）总结与扩展启发引导、小结本节课内容．1．遇见二次三项式因式分解．（1）首先考虑能否提取公因式．（2）其次考虑能否选用十字相乘法．（3）最后考虑公式法．2．通过本节课的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．注意以下几点；（1）在进行2x2-8xy+5y2分解因式时，千万不要漏掉字母y．（2）因式分解一定进行到不能再分解为止．（3）对二次三项式ax2+bx+c的因式分解，当b2-4ac≥0时，它在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．四、布置作业1．教材P.38中B 1 . 2（8）．2．把下列各式分解因式：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；（2）（x2+x）2-3x（x+1）-4．五、板书设计12.6 二次三项式的因式分解（二）结论：例1．把2x2-8xy+5y2因式分解．如果x1，x2为一元二次方解：略程ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案A21．教材P.39中1．（1）（3x+5）（2x-3）；（2）（7x-6y）（6x-7y）；（4）（2x-9y）（7x-2y）3．（1）[mx-（m+1）][（m-1）x-m] （2）解：（x2+x）2-3x（x+1）-4 =（x2+x-4）（x2+x+1）。
2.3运用公式法 (2)
小甸子中学八年级（下）数学 2.3 运用公式法 (2) 研学案主备: 曹立明 副备：于传波、黄祖花 审核人： 备课时间：2012-3-19【课前热身】1.把下列各式分解因式:(1)162-x (2)224121y x -(3)22249y x a - (4)22)()(y x y x --+2.计算： (1)(x+3)2= ； （2）(4x-y)2=(3)（1+2x ）2= ； (4)(3m-2n)2=【自学提示】1、【知识点一】会判别完全平方公式。
乘法公式之完全平方公式：(a+b)2=222b ab a ++,2222)(b ab a b a +-=-反过来: 222b ab a ++ =____________222b ab a +-=___________________.温馨提示：1、利用完全平方公式可以进行分解因式。
2、完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．观察式子x ²+6x+9， 16x ²-8xy+y ², 1+4x+4x ²，小组讨论它们有什么共同特征？ (有几项式?每项式都有什么特征?整体有什么特征?)你能按照再举几个例子吗？)【练习一】判断下列式子能否用完全平方公式分解因式？（1）x 2+xy+y 2 （2）x 2－2xy -y 2 （3）x 2+4xy+4y 2 （4）x 2－xy +y 22、【知识点二】利用完全平方公式进行分解因式。
（1）、结合课前热身第二题，完成下列填空：x ²+6x+9= ， 16x ²-8xy+y ²= ，1+4x+4x ²= ，9m ²-12mn+4n ²= ，（2）、自学P 57例3同桌间指出完全平方公式中的“a ”“b ”。
（1）a 2－4a+4; （2）x 2+4xy+4y 2; （3）4a 2+4ab+ b 2;（4）a 2－4ab+4b 2; （5）x 2－6x+9; （6）a 2+a+0.25.（3）、自学P 57例4后模仿其过程完成下面问题【练习二】分解因式（利用完全平方公式）。
人教版八年级数学上册14.3.2公式法(二)
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
理解完全平方式
• 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1） a2-4a+4 ；
是
（2）1+4a2 ；
不是
（3） 4b2+4b+1 ；
是
（4） a2+ab+b2 ．
不是
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多 项式因式分解．
① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1 ④ 4x2 – 8xy + 4y2
形如 a2±2ab+b2的式子 叫做完全平方式。
⑤ 1 – 2a2 + a4
完全平方式一
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
②x y2 4x y 1
训 练
③x y2 4 x2 y2 4x y2
一
④ 给4x2+1加上一个单项式，
使它成为一个完全平方式，
这个单项式可以是 ________。
()
2y
2
x2y2
做一做
用完全平方公 式进行因式分解。
①a2 18a 81 ④m4n2 2m2n 1
②x2 2 x 1 ⑤a2b2c2 4abc 4 39
③ s2 t 2 2st ⑥25 x2 20 x 4
做一做
用恰当的方 法进行因式分解
定可以利用完全平 方公式2+24x+9 ； （ 2）-x2+4xy-4 y 2 ．
2.3.2 运用公式法(二)
一、）请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－）用简便方法计算，并写出运算过程：二、2+b2－2ab－1ma－mb+2a－2b3－aax2+ay2－2axy－ab2三、好好想一想n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是）一条水渠，其横断面为梯形，根据图时的面积.图2—3—1，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简.一、选择题1.－(2a－b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果( )A.4a2－b2B.4a2+b2C.－4a2－b2D.－4a2+b22.多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是( )A.(4a+b)(2a+b)B.(4a+b)(2a+3b)C.(2a+3b)2D.(2a+b)23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A.x2+xy+y2B.x2－2x－1C.－x2－2x－1D.x2+4y24.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )A.10B.20C.－20D.±205.在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm2B.105 cm2C.108 cm2D.110 cm2二、填空题6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.9.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.10.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x4－12x2(2)9(x－y)2－4(x+y)2(3)1－6mn+9m2n2(4)a2－14ab+49b2(5)9(a +b )2+12(a +b )+4 (6)(a －b )2+4ab12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. (2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21(a 2+b 2)－ab 的值. 13.利用简便方法计算: (1)2001×1999(2)8002－2×800×799+799214.如图1，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a)厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.图115.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D二、6.a－b7.y－x8.2 9.1或－9 10.25三、11.(1)3x2(x+2)(x－2) (2)(5x－y)(x－5y) (3)(3mn－1)2(4)(a－7b)2(5)(3a+3b+2)2(6)(a+b)2112.(1)2 (2)213.(1)3999999 (2)114.128平方厘米15.略2.3 运用公式法同步练习1．填空：（1）多项式各项的公因式是___________；（2）多项式各项的公因式是_________；（3）如果是一个完全平方式，那么k的值是__________；（4）（）．2．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．利用分解因式计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．4．先分解因式，再求值：（1），其中；（2），其中．5．对于任意自然数是否能被24整除？为什么？参考答案1．（1） ；（2）；（3）9；（4） ．2．（1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．（1）27.6；（2）125；（3）10100；（4）0.0395；（5）9801；（6）7；（7）6.32；（8）5000．4．（1） ，当 时，原式＝9216；（2） ，当时，原式＝100．5．，能被24整除．2.3 运用公式法 同步练习一、选择题1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.-a 2+b 2B.-x 2-y 2C.49x 2y 2-z 2D.16m 4-25n 2 2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）①x 2-4x+4; ②6x 2+3x+1; ③ 4x 2-4x+1; ④ x 2+4xy+2y 2 ; ⑤9x 2-20xy+16y 2A.①②B.①③C.②③D.①⑤3.在多项式:①16x 5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x 2;④-4x 2-1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）A.①②B.③④C.①④D.②③ 4.分解因式3x 2-3x 4的结果是（ ）A.3(x+y 2)(x-y 2)B.3(x+y 2)(x+y)(x-y)C.3(x-y 2)2D.3(x-y )2(x+y) 25.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4C.2y 2D.4y 26.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）A.-5B.3C.7D.7或-1 7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ） A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数. 二、填空题8.（ ）2+20pq+25q 2= （ ）29.分解因式x 2-4y 2= ___________ ; 10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ;11.分解因式2x 3y+8x 2y 2+8xy 3 __________ .12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 _____ 整除。
《应用公式法》第二课时导学案
2.3.2 运用公式法（二）【学习目标】1、完全平方公式分解因式。
2、提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用运用公式法分解因式。
【自学检测】①（a+b ）2=_____________ ②（a －b ）2=_____________【思考与探究】下列多项式中,尝试将它们分别写成两个因式的乘积。
1)a 2－4a ＋4 2）4a 2－6ab ＋9b 2总结平方差公式的特点：□2＋2□△＋△2＝( ) 2 □2－2□△＋△2＝( ) 2练一练下列各式是不是完全平方式？（1）a 2－4a+4;（2）x 2+4x+4y 2;（3）4a 2+2ab+41b 2; （4）a 2－ab+b 2;（5）x 2－6x －9;（6）a 2+a+0.25.［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x 2+14x+49;（2）（m+n ）2－6（m +n ）+9.【反馈练习】1、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、2242b ab a +-B 、4142+-m m C 、269y y +- D 、222y xy x -- 2、因式分解一般步骤：1）第一项是负号，先提取_________。
2）若有公因式，应提取__________，再用_________分解因式。
3）分解因式后的每个因式应为不能再_________了。
4）分解因式时，要灵活采用方法。
3、把下列各式分解因式。
1）2236123xy y x x +- 2）()()110252+-+-x y y x［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax 2+6axy+3ay 2; （2）－x 2－4y 2+4xy.把下列各式分解因式：（1）4a 2－4ab+b 2;（2）a 2b 2+8abc+16c 2;（3）（x+y ）2+6（x+y ）+9; （4）1442m －6mn +n 2; （5）4（2a+b ）2－12（2a+b ）+9; （6）51x 2y －x 4－1002y 参考练习把下列各式分解因式1.－4xy －4x 2－y 2;2.3ab 2+6a 2b+3a 3;3.（s+t ）2－10（s+t ）+25;4.0.25a 2b 2－abc+c 2;5.x 2y －6xy+9y;6.2x 3y 2－16x 2y+32x;7.16x 5+8x 3y 2+xy 4。
123运用公式法(二)教案
12.3运用公式法（二）一、教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.二、教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.（五）教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. 三、教学方法观察—发现—运用法四、教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n －3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy +4y 2）=－［x 2－2·x ·2y +（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a .随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x +41=x 2－2·x ·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n +9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m ×3n +（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy +36y 2=x 2－2·x ·6y +（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a 2+3b 2）2（3）－2xy －x 2－y 2=－（x 2+2xy +y 2）=－（x +y ）2;（4）4－12（x －y ）+9（x －y ）2=22－2×2×3（x －y ）+［3（x －y ）］2=［2－3（x －y ）］2=（2－3x +3y ）2Ⅳ.课时小结这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业习题12.51.解：（1）x 2y 2－2xy +1=（xy －1）2;（2）9－12t +4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y +41=（y +21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy +y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab +4=（ab －2）22.解：（1）（x +y ）2+6（x +y ）+9=［（x +y ）+3］2=（x +y +3）2;（2）a 2－2a （b +c ）+（b +c ）2=［a －（b +c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y （4x 2－4xy +y 2）=－y （2x －y ）2;（4）－a +2a 2－a 3=－（a －2a 2+a 3）=－a （1－2a +a 2）Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a 和b ，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a 和b ；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a 3b －4a 2b 2+ab 3=ab （4a 2－4ab +b 2）=ab （2a －b ）2。
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第五课时
●课题
§2.3.2 运用公式法（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
（二）能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.
●教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法
观察—发现—运用法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§2.3.2 A）
第二张（记作§2.3.2 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以.
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2;
a2－2ab+b2=（a－b）2.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.
［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.
［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
［生］（1）是.
（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；
（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.
（5）不是，x2与－9的符号不统一.
（6）是.
2.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m+n）2－6（m+n）+9=（m+n）2－2·（m+n）×3+32=［（m+n）－3］2=（m +n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
Ⅲ.课堂练习
a.随堂练习
1.解：（1）是完全平方式
x 2－x +41=x 2－2·x ·21+（21）2=（x －2
1）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.
（3）是完全平方式
4
1m 2+3 m n +9n 2 =（21 m ）2＋2×2
1 m ×3n +（3n ）
2 =（2
1 m +3n ）
2 （4）不是完全平方式
2.解：（1）x 2－12xy +36y 2
=x 2－2·x ·6y +（6y ）2
=（x －6y ）2;
（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4
=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2
=（4a 2+3b 2）2
（3）－2xy －x 2－y 2
=－（x 2+2xy +y 2）
=－（x +y ）2;
（4）4－12（x －y ）+9（x －y ）2
=22－2×2×3（x －y ）+［3（x －y ）］2
=［2－3（x －y ）］2
=（2－3x +3y ）2
b .补充练习
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业
习题2.5
1.解：（1）x 2y 2－2xy +1=（xy －1）2;
（2）9－12t +4t 2=（3－2t ）2;
（3）y 2+y +41=（y +2
1）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;
（5）4
2
x +xy +y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab +4=（ab －2）2
2.解：（1）（x +y ）2+6（x +y ）+9
=［（x +y ）+3］2
=（x +y +3）2;
（2）a 2－2a （b +c ）+（b +c ）2
=［a －（b +c ）］2
=（a －b －c ）2;
（3）4xy 2－4x 2y －y 3
=y （4xy －4x 2－y 2）
=－y （4x 2－4xy +y 2）
=－y （2x －y ）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.
Ⅵ.活动与探究
写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.
分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.
参考答案：
4a3b－4a2b2+ab3
=ab（4a2－4ab+b2）
=ab（2a－b）2
参考练习
把下列各式分解因式
1.－4xy－4x2－y2;
2.3ab2+6a2b+3a3;
3.（s+t）2－10（s+t）+25;
4.0.25a2b2－abc+c2;
5.x2y－6xy+9y;
6.2x3y2－16x2y+32x;
7.16x5+8x3y2+xy4
参考答案：
解：1.－4xy－4x2－y2
=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;
2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;
3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;
4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;
5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;
6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;
7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.。