运用公式法—平方差公式
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式平法差公式是指在代数运算中，存在一种形如(a+b)(a-b)的乘法运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式，从而简化计算。
平方差公式的推导可以通过展开乘法(a+b)(a-b)的过程进行，具体推导如下：首先，我们假设a和b是任意实数。
那么(a+b)可以看作是一个单位，(a-b)可以看作是一个差数。
我们将其展开：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，我们将展开式中的乘法运算进行分配：=a*a-a*b+b*a-b*b= a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba表示的是相同的乘法运算，所以我们可以将它们合并：= a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2可以看到，展开式的结果是a^2和b^2的差。
这个差就是平方差公式的核心内容。
因此，平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式在代数运算中非常常用，并且在很多数学问题的解答中都会用到。
通过使用平方差公式，可以将两个相邻的平方差式简化为一个乘法式，从而可以更方便地进行运算。
举例来说，假设我们需要计算(3+2)(3-2)的值。
根据平方差公式，可以得到：(3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5因此，(3+2)(3-2)的值等于5平方差公式在解决二次方程、因式分解、简化分数等问题中都有广泛的应用。
通过运用平方差公式，可以将复杂的运算问题转化为简单的代数运算，从而更加容易进行计算和解答。
总结起来，平方差公式是一种代数运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式。
通过使用平方差公式，可以简化计算过程，提高计算效率。
在数学问题的解答中，平方差公式具有广泛的应用价值。
这就是平方差公式的基本原理和推导过程。
3 公式法(要点梳理、类型讲解)
公式法（知识讲解）【学习目标】1. 能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解；2. 会综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯；4.能运用平方差公式和完全平方公式的因式分解解决实际问题。
【知识要点】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点三、因式分解步骤 ()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点四、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法➽➼判断能否用公式法的辨析1．下列各式：①22x y --；②22114a b -+；③22a ab b ++；④222x xy y -+-；⑤2214mn m n -+，能用公式法分解因式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案. 解：22x y --不能分解因式，故①不符合题意；222211111111,4222a b ab ab ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故②符合题意； 22a ab b ++不能分解因式，故③不符合题意； ()()2222,222x xy y x y x xy y =--+=---+-故④符合题意； 22211,42mn m n mn ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭故⑤符合题意； 故选B【点拨】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关键.举一反三：【变式1】下列多项式不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．212a a -+B ．2168x x --+C ．22222a b m n abmn --D ．2269ab a b --【答案】C【分析】根据完全平方公式的结构()2222a b a ab b ±=±+逐项分析判断即可求解． 解：A. 212a a -+()21a =-能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意；B. 2168x x --+()24x =--，能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意；C. 22222a b m n abmn --，平方项异号，不能用完全平方公式因式分解，故该选项符合题意；D. 2269ab a b --()23a b =--，能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意． 故选C ．【点拨】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式2】对于多项式（1）22x y -；（2）22x y --；（3）24x y -；（4）24x -+中，能用平方差公式分解的是( )A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（2）（4） 【答案】C【分析】由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解． 解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，（1）22x y -两平方项符号相反，可以利用平方差公式；（2）22x y --，两平方项符号相同，不能运用平方差公式；（3）42x y -虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；（4）24x -+，两平方项符号相反，可以利用平方差公式．所以（1）（4）能用平方差公式分解．故选：C ．【点拨】此题考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键． 类型二、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解2．因式分解：(1) 24x - (2) 321025m m m -+【答案】(1) ()()22x x +- (2) ()25m m -【分析】（1）根据平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．（1）解：24x -222x =-()()22x x =+-；（2）解：321025m m m -+2(1025)m m m =-+2(5)m m =-．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．举一反三：【变式1】分解因式：(1) 41x - (2) 3222x x y xy -+【答案】(1) ()()()2111x x x +-+ (2) ()2x x y - 【分析】（1）利用两次平方差公式进行因式分解即可得；（2）综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．（1）解：原式()()2211x x -=+，()()()2111x x x +-+=；（2）解：原式()222x x xy y =-+， ()2x x y =-．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，准确计算是解题关键．【变式2】因式分解：(1) 29a - (2) 244x x -+【答案】(1) ()()33a a +- (2) ()22x - 【分析】（1）直接利用平方差公式()()22a b a b a b -=+-进行因式分解即可得；（2）直接利用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解即可得．解：（1）()()2933a a a -=+- （2）()22442x x x -+=-【点拨】本题考查了因式分解，熟记乘法公式是解题关键． 类型三、综合运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解3．因式分解(1) 22ma ma m ++ (2) ()222416x x +- 【答案】(1) 2(1)m a + (2) 22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方式因式分解．（2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解．解：（1）22ma ma m ++2(21)m a a =++2(1)m a =+（2）()222416x x +- 22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-【点拨】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉因式分解的基本步骤1．提取公因式；2．套用公式．举一反三：【变式1】把下列各式因式分解：(1) 32242a a a -+；(2) ()()2294a x y b y x -+-． 【答案】(1) ()221a a - (2) ()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）先提取公因式2a ，然后用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式x -y ，然后用平方差公式分解即可．（1）解：32242a a a -+()2221a a a =-+()221a a =-．（2）解：()()2294a x y b y x -+- ()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．【变式2】分解因式：(1) 228168ax axy ay -+-(2) ()22222936x y x y +-； 【答案】(1)28()a x y --(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =-- （2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、运用公式法进行因式分解进行简便运算4．用简便方法计算．（1）227.29 2.71- （2）4413423.7 1.35555-⨯+⨯-⨯ 【答案】（1）45.8；（2）-20【分析】（1）利用平方差公式进行计算；（2）提出45，然后进行计算即可. 解：（1）227.29 2.71-=（7.29+2.71）（7.29-2.71）=10×4.58=45.8；（2）4413423.7 1.35555-⨯+⨯-⨯ =4(23.7 1.3 2.6)5⨯-+- =4(25)5⨯- =-20【点拨】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是关键. 举一反三：【变式1】利用因式分解计算：（1）9788597879788⨯+⨯+⨯； （2）23.86 3.86 3.85-⨯.【答案】（1）97800；（2）0.0386【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算. 解：(1)原式()9788578=⨯++97800=.(2)原式()3.86 3.86 3.85=⨯-0.0386=.【点拨】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键.【变式2】计算：2 0182－4 038×2 018＋2 0192.【答案】1.试题分析：根据完全平方公式特征进行因式分解,进行简便计算即可.解：2 0182－4 038×2 018＋2 0192＝2 0182－2×2 018×2 019＋2 0192＝(2 018－2 019)2＝1.。
沪教版七年级数学上册 公式法—平方差公式(第1课时)
5.观察下列计算过程：
32-12=9-1=8=8×1； 52-32=25-9=16=8×2； 72-52=49-25=24=8×3； 92-72=81-49=32=8×4；
......
你能从上式中得出什么结论？说明理由.
解：根据上列各式得出的结论是
两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
设两个连续奇数为2n+1、2n-1(n为正整数)
(2) 16a2-9b2
公式中的a和b 表示单项式
(1)解:原式 =62-(5x)2
(2)解:原式 =(4a)2-(3b)2
=(6+5x)(6-5x)
=(4a+3b)(4a-3b)
★在使用平方差公式分解因式时，步骤为： 1.变形（明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b. ） 2.分解
例题2：分解因式：
当堂练习
1.利用因式分解计算:
“数”与“式” 的相互变换
(1) 10122-9882
(2) 9×1222-4×1332
解(1)原式=(1012+988)(1012-988)(2) 原式=(3×122)2 -(2×133)2
=2000×24
=3662 -2662
=4800
=(366+266)(366-266)
可以，因为 4x 2 可写为 (2x) 2 9 y 2可写为 (3y)2
，所以原式可看作两数的平方差，即： 4x2 9y2 (2x)2 (3y)2 (2x 3y)(2x 3y)
a 2 ▲ b 2 ( a ▲ b )( a ▲ b )
（１）公式左边：
★多项式含有两项，且这两项异号，并且能写 成（ ）２－（ ）２的形式。
能
(3)a2 -（-b）2 = a2 - b2 = (a+b)(a-b) 能
合作学习初体验--《运用公式法(1)平方差公式》课堂实录
合作学习初体验--《运用公式法(1)平方差公式》课堂实录
张淑芬;张坤伟
【期刊名称】《黑龙江教育（中学教学案例与研究）》
【年(卷),期】2003(000)011
【摘要】@@ 课堂实录:rn一、创设情境rn师:同学们,大家知道2008年将在我国首都北京举行一次什么盛会吗?rn生:(全体)奥运会.rn师:是的,是第29届世界奥林
匹克运动会.那么,谁知道这次奥林匹克运动会的三大主题是什么?rn生A:绿色奥运、人文奥运、科技奥运.
【总页数】3页(P4-6)
【作者】张淑芬;张坤伟
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.“平方差公式”课堂实录与评析 [J], 张艳丽;尚艳芬;
2."平方差公式"课堂实录与评析 [J], 张艳丽;尚艳芬
3.浅谈前端学习任务单在和美数学课堂中的运用——以人教版数学八年级上册“1
4.2.1平方差公式”为例 [J], 王中仙;
4.基于核心素养的“S·C·S”小组合作学习模式的实践与反思——以“平方差公式
法因式分解”为例 [J], 陈新统
5.合作学习初体验——《运用公式法(1)平方差公式》课堂实录 [J], 张淑芬;张坤伟
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运用公式法——平方差公式(1)
(1) 1-25b2; (2) x2y2-1/4 ; (3) 4/9m2-0.01n2.
讲解之前让学生思考,后教师再给出规范解题过程,其中把多项式写成两数平方差这一步骤予以重点阐述,使学生充分认识到经过简单的变形后,具备“平方差”形式的多项式可以运用平方差公式分解.
3.能力测试
(2)运用提公因式法分解因式的步骤是什么?
(3)你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?
2.合作探究
问题(1)平方差公式等式的左右两边在形式上有什么不同?从左到右的恒等变形叫什么?问题(ຫໍສະໝຸດ )这种因式分解是根据什么方法进行的?
问题(3)平方差公式的项、指数、符号有什么特点?
当学生思考并回答上述问题后,教师应适当指出:多项式的乘法公式的逆向(从右到左)的应用就是多项式因式分解公式,,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.
运用公式法
教学内容
运用公式法
教学目标
1.理解平方差公式
2.会用平方差公式分解因式
3.培养学生逆向思维的意识.
教学重点
掌握公式的结构特征,将所给多项式进行因式分解.
教学难点
选择适当方法因式分解.
教学探究
平方差公式特点的辨析
教学方法
启发式
教学用具
小黑板
教学时数
一课时
教学过程
1.复习引入
(1)你能叙述多项式因式分解的定义吗?
(1)同类变式:
课本例3后练习第1、2、3题.
(2)思维迁移:
①两个连续奇数的平方差一定是( )
A . 16倍数; B . 8的倍数;
C . 12的倍数; D . 4的倍数.
4.3公式法(1)平方差公式
C. -(2a +1)(2a+1) D.
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
3.x2-64因式分解为( D ). (A)(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8). 4. 64a8-b2因式分解为( C ). (A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b); (C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b).
⑶在乘法公式中，“平方差”是计算结果； 在因式分解中，“平方差”是要分解的多项式。
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式 （1）x2-16 （2）9m2-4n2 解:(1) x2－16 x x ４４ ＝x2 － 42 ＝ ( ＋ ) ( － ) ……① a2 － b2 ＝ (a＋ b) (a － b) (2) 9m2-4n2 3m 3m 2n 2n ＝(3m)2 － (2n)2＝( ＋ ) (
( 4 ) –9x² + 4m
2 4 （5）x y -9
2
=(2m+3x)(2m-3x)
解：2） 4x² - m² n²
原式=(xy2)2-32 =(xy2+3)(xy2-3)
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
下列多项式可否用平方差公式分解 因式，如果可以应分解成什么式 子？如果不可以请说明理由。
初中数学《公式法-平方差公式》教学设计及说课稿模板
初中数学《公式法-平方差公式》教学设计及说课稿模板《公式法-平方差公式》教学设计一、教学目标【知识与技能】理解和掌握公式(平方差)的结构特征，会运用公式法(1)因式分解。
【过程与方法】培养观察、分析能力，深化逆向思维能力和数学应用意识，渗透整体思想。
【情感态度价值观】让学生在自主学习的过程中探究新知，体验获取新知的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。
二、教学重难点【教学重点】会运用公式法(1)因式分解。
【教学难点】准确理解和掌握公式的结构特征，并灵活运用公式法因式分解。
三、教学过程(一)引入新课提问：1.我们学过哪些因式分解的方法?2.我们学过哪些整式乘法的公式?(二)探索新知课件展示以下问题，由学生独立完成：1.还记得七年级学过的整式的乘法公式吗?2.你能用数学语言描述平方差公式吗?3.如果将平方差公式反过来，就可以得到一个什么样的公式：这种因式分解的方法叫做公式法。
请用数学语言描述这一公式。
4.思考：什么样的多项式可以用这一公式因式分解?(1)公式有什么结构特征?(二次二项式)(2)两个平方项的符号有什么特点?(3)公式中的字母a、b可以表示什么?小组内三分钟内交流答案，把解决不了的难点归纳总结出来由老师帮忙解决。
(三)课堂练习让学生自己尝试完成书上的例1和例2。
(四)小结作业提问：今天学到了什么?本节课的课后作业我设计为：完成书后练习题。
四、板书设计《栽蒜苗（二）-折线统计图》说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《公式法-平方差公式》。
新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。
今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材首先谈谈我对教材的理解，《公式法-平方差公式》是北师大版-初中数学-八年级下册-第四章-第3节-《公式法》的内容，因式分解是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
因式分解公式法1——平方差公式
19y
2
4x
2
21 25x
2
9 2 2 3 m 16 n 25
把 x y x y 因式分解．
2 2
因式分解：
1x y y x
2
2
216a b
2
9a b
2
把
x y
4
4
因式分解．
将下列多项式因式分解：
分解因式注意事项：
1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、答案要写成最简形式。
作业
课作：习题3.3A组第1题 家作：基训P28 1至9题
分解因式
你会做了吗？
x 25
2
解：原式=
x 5 x 5x 5
2 2
3.3 因式分解—— 公式法1 平方差公式
一、回顾旧知
2-b2 a 1、（a+b)(a-b)=_________. 平方差公式 。 这个公式叫____________
整式乘法 从左边到右边的这个过程叫___________ 。 （a+b)(a-b) 2、反过来，a2-b2=__________. 因式分解 从左边到右边的这个过程叫___________ 。 3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解 中的一个公式。
1x
4
16
29x4 36y 2
把 x y x
3 2
5
因式分解．
将下列多项式因式分解：
13x
3
12x
2a
3
ab
2
交流与探讨： 归纳:因式分解的一般步骤： 1）提公因式 2）运用公式 注意：分解必须彻底。
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－ (x +
2 q)
(3)原式＝[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
＝(2x+p+q)(p-q)
学一学
4 y 能否化为 □－△ 2 2
例2 :把下列各式分解因式
①
4 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－
解：原式=(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y)
分解因式，必 须进行到每一 个多项式因式 都不能再分解 为止!
回顾交流
说说平方差公式的特点
2−b2= a
(a+b)(a−b)
相同部分a 相反部分 ± b
①一边： 平方差 ②一边： 和与差的积
形象地表示为
2 2 □－△＝(□＋△)(□－△)
学以致用
例1、把下列各式分解因式： （1） 4x2－ 9 1 2 先化为 （2）9a2－ b 4 (3) (x+ p)2 － (x + q)2
首先提取公因式 然后考虑用公式 最终分解要彻底 而且必是连乘式！
8xy ④64x2y2 ＝ (_____)2 1 1 2 b ⑤ b ＝ (_____)2 2 4 9 2 2 3 ⑥ c ＝（ ） c 16 4
回顾 & 思考 ☞
口算
1） ( x 5)( x 5) _______
9x 2） (3x y)(3x y) ______
2
x 25
2、把下列各式分解因式：
2 - 1 b2 (1)a
25
2-4b2 (2)9a
(3)9(m＋ n)2 － (m － n)2
4+16 (4)-a
2y－4y (5)x
想一想
在多项式x² , x² +y² -y²,-x² , -x² 中, +y² -y² 能利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
随堂练习
1、判断正误
(1)x² =(x+y)(x+y) +y²
(
)
(2)x² =(x+y)(x-y) -y²
(
)
) )
(3)-x² =(-x+y)(-x-y)( +y²
(4)-x²-y²=-(x+y)(x-y) (
回顾 & 小结 ☞
你有什么收获
①运用a2−b2= (a+b)(a−b)分解因式
②分解因式顺序
回顾 & 思考 ☞ 把下列各式分解因式：
（1）9a2－12ab+4b2
2+12xy-9y2 （2）-4x
(3)(a+c)2+14(a+c)(b-c)+49(b-c)2
回顾 & 思考 ☞ 填空
5x ①25 x2 ＝ (_____)2 ②36a4
6a2 2 ＝ (_____)
0.7 b ③0.49 b2 ＝ (_____)2
□－△
2
2
解(1)原式= (2x)2－32 =(2x+3)(2x-3) 2 2 1 b） （2 ）原式 (3a) （ 2
1 b)(3a 1 b) ＝(3a 2 2
学一学
把(x+p)和(x+q)各 看成一个整体，设 x+p=m,x+q=n,则 原式化为m2-n2
(3) (x+
2 p)
2
y
2
3)
(1 3a)(1 3a)
2 2
1 － 9a2 ______ （整式乘法）
(a b)(a b) a b
a b (a b)(a b)
2 2
（分解因式）
—平方差公式
学习目标
1、理解分解因式公式法的依据 和意义； 2、能够准确熟练运用平方差公 式分解因式；