数学：2.3运用公式法(第2课时)教案(北师大版八年级下)
数学北师大版八年级下册第二章《运用公式法》
北师大版八年级下册第二章《运用公式法》的教学设计佛山市南海区西樵镇西樵中学林健【教材分析】《运用公式法》选自义务教育课程标准实验教材北师大版八年级下册第二章分解因式的第三节。
用平方差公式分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。
它被广泛地用于初等数学之中，为解决许多数学问题的计算提供一种优化的方法，同时也为学习分式，利用分解因式解一元二次方程奠定基础，对整个教科书起到了承上启下的作用。
学生在此之前已经学习了整式乘法和提公因式法分解因式，对如何分解因式已经有了初步的认识，但对于平方差公式进一步的应用及正确判断分解因式的彻底性，可能会产生一定的困难，所以通过问题串的形式，引导学生去思考，经历自学、合作交流、归纳等活动，完成教学任务，从而增强学生学好数学的愿望与信心。
【学情分析】从心理特征来说，初中阶段的学生已经具备了一定的观察能力，思考能力和分析问题的能力。
同时，这一阶段的学生爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中抓住这些特点，通过提出问题，引发学生思考，创造条件和机会，让学生发表见解，展示自我，获得成功的体验。
从知识基础来说，在七年级整式乘法运算的学习中，学生已经学习了平方差公式。
在本章前几节课学习了分解因式的概念，并了解整式乘法与分解因式之间的互逆关系，这为这节课的学习提供了必要的基础【设计理念】1、教师的教学活动必须建立在学生的认知发展和已有的知识经验基础上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会。
设计中通过设计一连串的问题，引导学生自主构建新概念，力争达到水到渠成效果。
2、教学过程既是学生认识的过程，又是学生发展的过程。
教师的主要任务是为学生设计学习的情境，使问题符合学生的最近发展区，引导学生在情境中，自己开动脑筋进行学习，解决问题。
设计中通过课前创设情境引课，课中自主探究，巩固练习导课，体现了学习过程的环环相扣。
3、根据新课程目标：倡导学生主体参与、乐于探究、勤于动手，培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
数学初二下北师大版2.3.2运用公式法(二)教案
数学初二下北师大版2.3.2运用公式法（二）教案●课题§2.3.2运用公式法〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.〔二〕能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观看、归纳和逆向思维的能力.〔三〕情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观看和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观看多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观看—发明—运用法●教具预备投影片两张第一张〔记作§2.3.2A〕第二张〔记作§2.3.2B〕●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们明白，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大伙自然会想，还有哪些乘法公式能够用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2而且还学习了完全平方公式〔a±b〕2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大伙能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］能够.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=〔a+b〕2;a2－2ab+b2=〔a－b〕2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］特别好.那么什么样的多项式才能够用那个公式分解因式呢？请大伙互相交流，找出那个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边基本上三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，确实是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有〔1〕多项式是三项式；〔2〕其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；〔3〕另一项为哪一项这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和〔差〕的平方.用语言表达为：两个数的平方和，加上〔或减去〕这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和〔或差〕的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系能够看出，假如把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影〔§2.3.2A〕［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项为哪一项这两数或式乘积的2倍.［生］〔1〕是.〔2〕不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；〔3〕是；〔4〕不是.ab不是a与b乘积的2倍.〔5〕不是，x2与－9的符号不统一.〔6〕是.2.例题讲解［例1］把以下完全平方式分解因式：〔1〕x2+14x+49;〔2〕〔m+n〕2－6〔m+n〕+9.［师］分析：大伙先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再依照公式分解因式.公式中的a,b能够是单项式，也能够是多项式.解：〔1〕x2+14x+49=x2+2×7x+72=〔x+7〕2〔2〕〔m+n〕2－6〔m+n〕+9=〔m+n〕2－2·〔m+n〕×3+32=［〔m+n〕－3］2=〔m+n－3〕2.［例2］把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2;〔2〕－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，假如发明它不能直截了当用完全平方公式分解时，要认真观看它是否有公因式，假设有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.假如三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，能够先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：〔1〕3ax 2+6axy +3ay 2=3a 〔x 2+2xy +y 2〕=3a 〔x +y 〕2〔2〕－x 2－4y 2+4xy=－〔x 2－4xy +4y 2〕=－［x 2－2·x ·2y +〔2y 〕2］=－〔x －2y 〕2Ⅲ.课堂练习a .随堂练习1.解：〔1〕是完全平方式x 2－x +41=x 2－2·x ·21+〔21〕2=〔x －21〕2〔2〕不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.〔3〕是完全平方式41m 2+3mn +9n 2 =〔21m 〕2＋2×21m ×3n +〔3n 〕2=〔21m +3n 〕2 〔4〕不是完全平方式2.解：〔1〕x 2－12xy +36y 2=x 2－2·x ·6y +〔6y 〕2=〔x －6y 〕2;〔2〕16a 4+24a 2b 2+9b 4=〔4a 2〕2+2·4a 2·3b 2+〔3b 2〕2=〔4a 2+3b 2〕2〔3〕－2xy －x 2－y 2=－〔x 2+2xy +y 2〕=－〔x +y 〕2;〔4〕4－12〔x －y 〕+9〔x －y 〕2=22－2×2×3〔x －y 〕+［3〔x －y 〕］2=［2－3〔x －y 〕］2=〔2－3x +3y 〕2b .补充练习投影片〔§2.3.2B 〕这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：〔1〕要求多项式有三项.〔2〕其中两项同号，且都能够写成某数或式的平方，另一项那么是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了假设一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题2.51.解：〔1〕x2y2－2xy+1=〔xy－1〕2;〔2〕9－12t+4t2=〔3－2t〕2;〔3〕y 2+y +41=〔y +21〕2; 〔4〕25m 2－80m +64=〔5m －8〕2;〔5〕42x +xy +y 2=〔2x +y 〕2;〔6〕a 2b 2－4ab +4=〔ab －2〕22.解：〔1〕〔x +y 〕2+6〔x +y 〕+9=［〔x +y 〕+3］2=〔x +y +3〕2;〔2〕a 2－2a 〔b +c 〕+〔b +c 〕2=［a －〔b +c 〕］2=〔a －b －c 〕2;〔3〕4xy 2－4x 2y －y 3=y 〔4xy －4x 2－y 2〕=－y 〔4x 2－4xy +y 2〕=－y 〔2x －y 〕2;〔4〕－a +2a 2－a 3=－〔a －2a 2+a 3〕=－a 〔1－2a +a 2〕=－a 〔1－a 〕2.3.解：设两个奇数分别为x 、x －2,得x 2－〔x －2〕2=［x +〔x －2〕］［x －〔x －2〕］=〔x +x －2〕〔x －x +2〕=2〔2x －2〕=4〔x －1〕因为x 为奇数，因此x －1为偶数，因此4〔x －1〕能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式〔要求三项式含有字母a 和b ，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：此题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a 和b ；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a 3b －4a 2b 2+ab 3=ab 〔4a 2－4ab +b 2〕=ab 〔2a －b 〕2●备课资料参考练习把以下各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.〔s+t〕2－10〔s+t〕+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－〔4x2+4xy+y2〕=－〔2x+y〕2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a〔b2+2ab+a2〕=3a〔a+b〕2;3.〔s+t〕2－10〔s+t〕+25=［〔s+t〕－5］2=〔s+t－5〕2;4.0.25a2b2－abc+c2=〔0.5ab－c〕2;5.x2y－6xy+9y=y〔x2－6x+9〕=y〔x－3〕2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x〔x2y2－8xy+16〕=2x〔xy－4〕2;7.16x5+8x3y2+xy4=x〔16x4+8x2y2+y4〕=x〔4x2+y2〕2.。
初中数学八年级下第二章分解因式23运用公式法2教案
北师大版初中数学八年级（下）第二章分解因式2.3运用公式法（2）教案一、学情分析：认知基础：学生的知识储备中对于乘法公式的运用还是比较熟练的，但在能力上，对于公式的变形问题可能会处理不当。
二、教材处理中的问题与思考：1、教材采用直接将乘法公式逆过来应用，这种呈现新知方式，不适于学习基础较为困难的学生，如何让学生更好地理解整式乘法与因式分解之间的关系？2、对于形式上与完全平方公式相近的式子与完全平方公式的区别，进一步牢记公式有什么特点？三、教学设计：（一）教学目标：1、知识与技能：会用完全平方公式法（直接用公式不超过两次）分解因式。
2、过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生的整体意识，以及逆向应用公式的能力。
（二）教学重点：掌握公式的形式和特点并能正确运用。
（三）教学难点：将多项式适当变形后运用公式分解因式。
（四）教学过程：创设问题情境，导入新课：某小区规划在边长为a米的正方形场地上，修建两条宽为b米的通路，其余组织学生观察并思考：（1）先求出甬道面积，ab+ab-b2，然后不难求出草地的面积为a2-2ab+b2（2）将两条甬道运用平移法，移到边沿，不难求出种草的面积为(a-b)2。
● 2、尝试发现、探索新知：探索：由上面的问题，可以求出a 2-2ab+b 2=(a-b)2即：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2实际上，这也是乘法公式中的完全平方公式的逆变形所得到的分解因式的方法。
组织学生观察，讨论这类式子的共同特点：x 2+14x+49 216364x x -+ a 4+2a 2b 2+b 4 (m+n)2-6(m+n)+9 总结这类式子的共同特点：（1）公式的左边是一个三项式；（2）在这个三项式中前后两项是两数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数的积的2倍，符号可正可负。
八年级下学期数学第2章教案练习6份北师大版23运用公式法2.doc
§2.3运用公式法（2）【学习目标】1.会用完全平方公式分解因式2.综合运用分解因式的方法分解因式【学习重点】1.熟练掌握完全平方公式分解因式【学前准备】1.什么是分解因式？我们己经学习了哪些因式分解的方法?2.把下列各式分解因式:② a2-4① 2ax2 -a 'x④ 3x5 - 3x③ 4a' - a【师生探究合作交流】1.请你写出完全平方公式.这个公式倒过来可以写成：a2 + lab + b2 = a2 - lab + b' =2.观察（ci + b）2 = a1 +2ab + h2与 / +2cib + b' = （a + /，）'的不同点是什么？发现：①第一•个等式的左边（。
+月2表示相乘关系；第二个等式的左边/ +赤+ b2表示一•个多项式。
②第-•个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
(1) A -4 -2x 2 +1 3. 完全平方式的特点：形如/+2沥+史和/一2沥+屏的式子都称为完全平方式。
其特点是:（1）公式中的字母a, b 可以用单项式或多项式代替.(2) 能运用完全平方公式分解的多项式必须是三项式，其中首末两项是两个 数的完全平方，且这两项符号相同，而中间的一项是首项与末项乘积的2倍4. 把下列各式分解因式：(1) 必 + 6x + 9(2) (m — — 1 0(/M — 〃) + 25 解：(1) X 2+6x + 9=x 2+2X 3X + 32= ()2 (2) -10(/n-/?)+25 = (/n-/t)2 - 2x5()+( )2=( )2 (3) ax 1 -ax + — a(4) - 2)/+4y - 24 5. 把下列各式分解因式：(注意方法，观察结果是否不能再分解了)(2) -xy- — x 2 - —y 2. 2 2，【议一议】1 .两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么?你用了 分钟(真棒！)【小试牛刀】1.随堂练习【课堂小结】1.用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处:【今日作业】1.课后习题2.5第1, 2【拓展与延伸】1.课本复习题写P63.第11。
数学北师大版八年级下册公式法教学设计
21.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（师生合作完成板书计算）用配方法解下列方程（1）x ²＋8x －9=0 （2）2x ²＋6=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a =即x=2b a-∴x 1=2b a -+x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-± （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．三、巩固练习由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（师生合作完成）（3）2x ²＋5＝7x（4）4x(x －1)＋3＝0（5）4(y ²＋0.09)＝2.4y分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0==∴x 1=22+x 2=22 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0x=(5)57236--±=⨯ x 1=2，x 2=-13四、 加强练习1、用公式法解下列方程．(1) 2x ²－9x ＋8＝0（2）9x ²＋6x ＋1＝0（3）16x ²＋8x ＝33（4）x(x －3)＋5＝0（5）5x ²＋x ＝7（6）(x ＋1)(4x ＋1）＝2x教师巡视、指导例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9134±= x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．B ．C ．x=32-± D ．x=32±22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 2 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？五、总结1、b²﹣4ac的符号判别得知方程根个数2、直接用公式求出方程a acbbx24 2-±-=（b²﹣4ac ≧0）六、作业布置1、课本后练习2、课外延伸题七、教学反思本节课通过复习用配方法解一元二次方程的方法导出（b²﹣4ac ≧0）这公式法解一元二次方程及判别根的个数。
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(2)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法（2）【学习目标】1． 会用完全平方公式分解因式2． 综合运用分解因式的方法分解因式【学习重点】1．熟练掌握完全平方公式分解因式【学前准备】1．什么是分解因式? 我们已经学习了哪些因式分解的方法?2．把下列各式分解因式：① x a ax 222- ② 42-a③ a a -34 ④ x x 335-【师生探究合作交流】1．请你写出完全平方公式．这个公式倒过来可以写成: 222b ab a ++= 222b ab a +-=2．观察()2222b ab a b a ++=+与()2222b a b ab a +=++的不同点是什么？ 发现：①第一个等式的左边()2b a +表示相乘关系； 第二个等式的左边222b ab a ++表示一个多项式。
②第一个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
3．完全平方式的特点：形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子都称为完全平方式。
其特点是：（1）公式中的字母a,b 可以用单项式或多项式代替.（2）能运用完全平方公式分解的多项式必须是三项式,其中首末两项是两个数的完全平方,且这两项符号相同,而中间的一项是首项与末项乘积的2倍4．把下列各式分解因式：（1） 962++x x （2） ()()25102+---n m n m 解：（1）962++x x =22332+⨯+x x =（ 2)（2）()()25102+---n m n m =(52)(2⨯--n m )+( 2) =（ 2)（3） a ax ax 412+- （4） 2422-+-y y5．把下列各式分解因式：（注意方法，观察结果是否不能再分解了）（1） 1224+-x x （2） 222121y x xy ---【议一议】1．两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1．随堂练习【课堂小结】1． 用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处：【今日作业】1． 课后习题2.5第1，2【拓展与延伸】1．课本复习题写P63．第11。
北师大版八年级下数学2.3运用公式法(教案)
2.3运用公式法教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） 教学重点和难点：重点：发展学生的逆向思维和推理能力难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.快速反应：1.分解因式：①x 2-y 2= ; x 2-4= ;②a 2b 2-2ab+1= ;412+-a a = ; 2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．16a 2-25b 3 B ．-16a 2-25b 2 C ．16a 2+25b 2 D ．-(16a 2-25b 2)3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )A ．x 2+y 2+2xyB ．-x 2+y 2+2xyC ．-x 2-y 2-2xyD ．-x 2-y 2+2xy4. 把下列各式分解因式：(1)9a2m2-16b2n2; (2)22144425b a -; (3)9(a+b )2-12(a+b )+4 (4)2241ay axy ax +- 自主学习：1. (1)观察多项式x 2-25.9x-y 2,它们有什么共同特证？(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。
如x 2-25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y 2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2,可知x 2-25= x 2-52=(x+5)(x-5),9x 2-y 2=(3x )2-y 2=(3x+y )(3x-y ).2. 把乘法方式(a+b )2=a 2+2ab+b 2, (a-b )2=a 2-2ab+b 2,反过来，就得到 a 2+2ab+b 2=(a+b )2， a 2-2ab+b 2=(a-b )2 上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
数学初二下北师大版2.3运用公式法学案
数学初二下北师大版 2.3 运用公式法（ 2）教案课型：新授主编：张玮审查：周明丽学生姓名：_________[ 目标导航 ]1.学习目标〔1〕经历经过整式乘法的完整平方公式等逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，进展逆向思想能力和推理能力。
〔2〕会用公式法分解因式。
〔3〕在逆用乘法公式的过程中，认识换元的思想方法2.学习要点：会逆用完整平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
3.学习难点：熟练逆用完整平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
[ 课前导学 ]1.课前预习：阅读课本 P57—P58 并完成课前检测。
2.课前检测(1) 分解因式：①0.16a 2 b249m 4 n 2② (2x 3y) 24x2③ (x y) 3( y x)(2) ① (______) 2 20 pq 25q 2 (________) 2；② 4x 2 9x _______ (_________ ) 2；③ ( x 3)( x 2) __________ ______ ；④ ( x 1)( x 2) _________________ ；(3) 默写平方差公式：__________________________________________________ ；( x a)( x b) ___________________________________________________________ ；3.课前学记〔课前学习疑难点、教课要求建议〕[ 课堂商议 ]1.新知研究(1)新课引入：①填空：2 2〔a+b〕〔a-b 〕 =； a –b =；a2 +2ab+b2=；a2-2ab+b2=、②结论：形如：______________________ 和 ____________________ 的式子称为完整平方式。
③填空：〔x+a〕〔x+b〕=；〔ax+b〕〔cx+d〕=；x2+(a+b)x+ ab=； acx2+(ad+bc)x+bd= ；〔x-a 〕〔x-b 〕 =；〔ax-b 〕〔cx-d 〕 =；x2-(a+b)x+ ab=； acx2-(ad+bc)x+bd= ；经过上边的填空说说你的收获：_______________________________________________________ ；④结论：由分解因式与整式乘法的关系能够看出，若是把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式，这类分解因式的方法叫做______________________ ；(2) 新课讲解①例 1 把以下完整平方式分解因式：x 2 14 49 ( m n) 2 6(m n)9②例 2 逆用乘法公式分解因式：x 2 3x 2 2x 2x 1③例 3 把以下各式分解因式3ax 2 6axy 3ay 2 x 2 4 y 2 4xy2ax 2 3ax a2. 学习过关〔 1〕以下多项式中，哪几个是完整平方式？请把是完整平方式的多项式分解因式：① x 2x 1 () ② 9a 2b 2 3ab 1()③ 1 4m 2 3mn 9n 2 () ④ x 6 10x 3 25 () 4〔2〕把以下各式分解因式：① x 2 12 xy 36 y 2 ② 16a 4 24a 2b 29b 4③ 2xy x 2y 2 ④ 4 12( x y) 9( x y) 2〔3〕运用“十字相乘法”把以下各式分解因式：① x22x3 ② 2x 2 5x 2 ③ ( a b) 23(a b) 2、[ 课外拓展 ]1. 课后记〔收获、领会、疑惑〕2. 分层作业〔班级： _____________ ，学生姓名： ____________ 〕 A 必做题〔限时 10 分钟，实质完成时间： _______分钟〕 〔1〕把以下各式分解因式① x 2 y 22xy1② 9 12t 4t 2 ③ y 2 y 11 x 24④ 25m 280m 64 ⑤ xy y 2 ⑥ a 2 b 2 4ab4〔2〕把以下各式分解因式4① ( x y)2 6(x y) 9 ② a 2 2a(b c) (b c) 2 ③ 4xy 2 4x 2 y y 3④ a 2a 2a 3 ⑤ x 45x 2 4 ⑥ 2x 2 5xy 2y 2B 选做题〔 1〕多项式 x 2 1与一个单项式和一个整式的完整平方，请你找出一个满足条件的单项式、〔 2〕把以下式子分解因式：① ax+bx+2a+2b. ②a 2－ ab － 4b+4a. ③ ab －5a+3b － 15.C 思虑题〔 1〕假设 (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k 是完整平方式，求K 的值。
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(1)3ax2+6axy+3ay2
互动 3 (师):在(1)中,如何分解因式? (生):此式有公因式 3a 可提,应先提公因式,再套用公式. (师):说得很好,对于(2),又如何处理呢? (生):先提出 “－” 号， 得-(x2+4y2-4xy),然后再按字母 x 的降幂排列为-( x2-4xy+4y2), 显然括号里的二次三项式恰好满足完全平方公式的条件. 明确 例3 引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式,然后分解因式. 已知 x2+2x-y2+6y-8=0,且 x+y≠2,求 x-y 的值.
b a
a 2-3-4
b
来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. 明确 在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公式 ,并通过整式乘法的
完全平方公式的比较,加深对因式分解的完全平方公式的认识.了解运用公式法的意义. 2.解读探究 a2+2ab+b2=(a+b)2 互动 2 (师):大家观察上式有怎样的结构特点? (生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可化为两个数(或整式)的 平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的 2 倍. (师):在以上公式中涉及几个数或式子? (生):在公式中涉及两个数或式子. (师):公式中的 a、b 分别代表什么? (生):与平方差公式一样,a、b 可代表数,也可以代表代数式,这里既可为多项式,也可为 单项式. (师):你能用自己语言表述上面的公式吗? (生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的 2 倍,等于这两个数(式)的和 (差)的平方. (师):凡是符合完全平方公式特征的多项式都可以运用公式分解因式. (师):形如 a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 的式子称为完全平方式,大家观察此式的结构特点. (生):完全平方式都是二次三项,若以 a 为字母,则第三项(b2)是中间一项的系数(±ab) 的一半的平方. 明确 通过分析公式特征,让学生准确掌握公式,熟练而灵活地利用公式分解因式,了解 a2-2ab+b2=(a-b)2
【分析】 观察发现,由 x2+2x 联想到 1,由 y2 和 6y 联想到 9,于是可以把-8 拆成 1 和-9, 原式可写成 x2+2x+1-y2+6y-9=0,即(x+1)2-(y-3)2=0,使原式变为 A2-B2=0 的形式,左边可以 利用平方差公式再继续分解为(A+B)(A-B)=0 的形式,从而由 A+B=0 或 A- B=0 求值,因为 x+y ≠2,所以可求出 x-y 的值. 3.学习小结 (1)内容总结 通过本节课的学习 , 你了解因式分解的完全平方公式吗 ? 你了解完全平方式的意义 吗?(因式分解的完全平方公式是整式乘法的完全平方公式的逆运用.) (2)方法归纳 如何运用完全平方公式分解因式?(了解公式的结构特征, “对号入座”套用公式.) 4.目标检测 课本第 51 页随堂练习. 补充:(1)若 x=156,y=144,求代数式
2.3 运用公式法(第 2 课时)
(一)本课目标 本课时学习运用完全平方公式分解因式的方法,让学生了解公式特点,掌握运用技巧,熟 练地运用公式. (二)教学流程 1.情境导入 一块长为 a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加 b 米,形成四块实验田( 如图 2-3-4 所示),以种值不同的 新品种. (多媒体显示题目并动画演示图形变化过程) 互动 1 (师):你能用不同的形式表示实验田的总面积吗? (生):可以表示为(a+b)2. (生):若将此田分成四块看:还可以表示为:a2+ab+ba+b2,即 a2+2ab+b2. (师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2. (生):还可以表示为 a2+2ab+b2=(a+b)2. (师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式: (a+b)2=a2+2ab+b2 ① a2+2ab+b2=(a+b)2 ② 第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗? (生):是整式乘法中的完全平方公式的一种. (师):观察这两个式子有何联系? (生):它们是互逆的关系. (师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程? (生):因式分解. (师):与此类似 a2-2ab+b2=(a-b)2 也成立. (师):因此我们把 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 看作是因式分解的完全平方公 式. (师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出 ,如果把乘法公式反过来, 那么就可以用
1 2 1 x xy y 2 . 2 2
(2)若 9x2+kx+16 是一个完全平方式,则 k=_____. (3)已知 a+b=1,ab=-12,则 a2+b2 的值为________. (4)当 x 取何值时,多项式 x2+4x+9 取得最小值? 【答案】(1)45000 (三)延伸拓展 1.链接生活 链接一:一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2+8x+11,并对小刚说:“无论 x 取何值,这 个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 小刚动笔演算许多次,结果正如小明所说,小刚很困 (2)±24 (3)25 其中的道理吗? 【答案】4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7,而(x+1)2≥0 则 4x2+8x+11>0. 【点评】 通过对代数式的变形,加强对完全平方式的认识及对非负数的再认识,培养学生 的结合思维能力. 链接二:某商场有四层,第一层有商品(a+b)2 种,第二层有商品 a(a+b)种,第三层有商品 (a+b)b 种,第四层有商品(a+b)3 种,则这商场共有商品多少种? 【答案】(a+b+2)(a+b)2 种. 【点评】在实际情境下,提高学生应用分解因式解决问题的能力. 2.实践探索 (1)实践活动 ①自编几道应用完全平方公式来分解因式的习题 , 同学之间写几道完全平方式并互相 检查. ②阅读课本第 51 页了解“智慧数”并会写相应的“智慧数”. (2)巩固练习 课本第 53 页习题 2.5. (四)板书设计 运用公式法 完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 完全平方式:a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 例1 例2 例 3.
完全平方式的组成. 例1 把下列完全平方式分解因式: (2)(m+n)2-6(m+n)+9
(1)x2+14x+49
【分析】(1)中可化为 x2+2×7×x+72,这里 a 相当于 x,b 相当于 7, 然后“对号入座” 套用公式分解因式;(2)中将(m+n)作为一个整体,此式可化为(m+n)2-2 ×3( m+n)+32,这里 a 相当于(m+n),b 相当于 3. 例2 把下列各式分解因式: (2)-x2-4y2+4xy