专题六

专题六：整体把握必修四2010年7月25日-2010年7月26日尚未开始∙课程视频∙课程计划表∙课程文本一∙课程文本二∙拓展材料∙专题六作业∙专题六作业∙专家声音∙专题评论课程视频、课程文本、拓展资料点击可展开/关闭课程计划表课程文本一专题6-1.doc专题六第一讲主持人：各位老师大家好，欢迎老师们继续参加高中数学的新课程远程研修。

这一讲开始是针对模块四的一系列研修。

前面说过了，模块四里我们将对三角函数向量、三角恒等变换作为我们的载体来分析模块四的各种各样要求。

为了使讨论更具体，我们也走访了山东威海、淄博的一些学校和北京的一些学校和老师们座谈，老师们就这个模块的教学提出了自己的问题和想法。

我们先来看老师们座谈中的一些说法。

定位有一些变化，从面上来看，三角函数定义、应用在第一章，恒等变变换是在第三章，以及解三角形放在第五章。

从面上看是这样的变化。

新层次的定位是不是这样理解，第一更加强调函数的本质，我们现在对函数的教学强调函数是现实与变量形成一种对应关系，所以放在第一章，它是有一个客观周期现象的函数模型，所以放在第一章位置。

而第二章强调学习的完整性，我们从三角函数来讲要讲背景，而且还要将应用，听清华老师说上课讲五到十分钟讲完以后大量练习，重结果，轻过程。

把背景和应用抹去了，倒形成了知识的缺失。

为什么要讲背景与应用？我的理解是要知道这些知识从那里来，这个提高学生的学习求职欲望，而且知道这个知识用到哪去。

第二个是在三角函数当中如何突出作用？这里根据学生的学习规律来展开，我们不断在构建周期性，要按照这个周期的过程来展开。

准备函数应用角范围突出，再一个是角第一和第十五级的运用关系。

角范围的突出，因为有锐角到钝角，角的大小就是这个点旋转的程度，这样大小会有一个形式。

再说说对函数应用这一块，因此函数的性质是从函数的图象来研究。

第三个问题三角横匾过程当中如何来提升计算能力。

我想这个和一个画家作画一样一定要有一个好的工具。

第二就是人的因素，就是这个画家应该有一个好的思维、好的布局。

包括教学这个工具是公式，这个公式就要正确理解，准确应用。

正确理解里比较关注算术过程当中来理解。

其实在公式推动当中有很多的转化思想可以给他们提供。

准确应用不但要注意形式的变化，应该来看一下角的变化，背景的相对性、公式的应用等等。

再有一个提升计算能力，形成思维有序性和表述的条例性。

最后一个是为什么从向量来推断仰角差的预选。

这个加进了三角函数中间，第一章是三角函数的定义和性质，第三章是变量。

为什么会加在这个位置，我的个人理解是，第一我们要研究衡量表我要选择一系列的公式，而且这个公式和这个角的有关系。

公式和公式之间也有很多的联系，然后用逻辑推理来这个公式。

我们对计算公式也做了很多的探索，向量质量因算很容易推出来，不必要因为有些条条框框训练思维价值比较高再进行计算。

另外，我们教材在于向量推导仰角有一个非常重要的思想，就是（6：42）都是螺旋式上升的。

比如说立体几何都是螺旋式上升的，都有遵循一种规矩。

所以在角的三角函数和相对函数这两者之间要有一定联系，联系方式比较多，横向也是，三角函数和方程，函数算法，还有积分。

另外还有内部研究和外部研究，内部比如说三角函数和向量，形式方面研究三角函数和直角函数的经验，外部研究来考虑一下应用，包括物理上的解决这些联系的非常多。

主持人：刚才我们看到了老师们讨论当中提出了各种各样的想法，我们把老师提出的问题进行了一些梳理，大概有这些问题。

这节课就三角函数部分的问题进行梳理。

老师们提到关于三角函数定位有哪些变化，三角函数教学当中要突出什么，为什么单位元要贯穿三角函数的始终，三角函数中为什么要突出解析几何的思想，三角函数与交流电，以及和其他学科有什么联系，这个标准的三角函数在教学当中要突出什么，物理背景是什么。

我们在回答这些问题之前，还是请两位嘉宾：首都师范大学王志教授和首都师范大学的张应慈教授帮助我们先从整体上分析一下，作为这个模块立一个特别重要的三角函数到底起着什么样的作用。

王尚志：我先说一下三角函数的定位发生了哪些变化。

应该说三角函数定位在高中数学中是发生了一些变化，在我念高中的时候，当初的三角函数基本是以三角学作为整个三角函数的核心问题展开的。

也就是讨论三角形当中的一些边角关系，三角函数仅仅是为了描述边角函数的一些概念，所以基本是以静态的数学为主的一个安排。

随着大纲的修订和大纲的不断完善，一直到课程标准，发生了一个明显的变化就是三角函数整个内容是以三角函数作为主线，就是把三角函数作为刻划周期现象的一个基本数学模型作为定位为主的一个基本定位。

所以就把三角恒等变形这一部分相比落在一个比较次要的位置上。

所以说整个三三角函数首先围绕着作为刻划周期现象的一个重要数学模式展开的，这是定位上一个基本的变化。

因为有了这个变化，所以整个处理上要突出什么，就相应的出现了一些调整。

我想这个变化菲丽丝克莱因对于整个中学数学教育的建议是相吻合的。

大家都知道克莱因是现代数学教育的创始人之一，他当时对中学数学教育提出最大的一个建议中小学数学应该突出函数，应该围绕着函数展开中小学的课程。

这个建议在我们以后的中小学的课程的改进过程当中逐步的实现了克莱因的建议。

所以我们看出克莱因是非常有远见的一个数学家，同时是数学教育的改革家。

王尚志：当初在我们念书的时候是以方程为主，所以三角学基本上全部都是公式，包括诱导公式，和差备办公式，全部是以这样一个形式和边角关系来处理，不讨论它作为函数的单调性，把这个放在一个比较次要的位置。

王尚志：所以三角函数的教学当中应该突出什么就顺理成章了。

第一件事情要突出函数，要突出三角函数作为一个函数一个基本的性质，而三角函数作为函数的一个基本性质就是周期性，这是三角函数不同于其他的函数的最基本东西。

第二件事要突出的就是解析几何，我们研究函数都是在直角坐标系的框架下完成的，因此在三角函数的学习中理所当然的要突出解析几何的思想，在所有的函数学习中，除了突出函数应该突出解析几何思想。

所以我们学习解析几何不仅仅研究直线、圆，圆锥曲线，以及他们的位置关系等等，非常重要的是在函数中体现了解析几何的作用。

这样的一件事情将来在大学的学习中依然是基本重要的。

第三件事需要突出就是我们通常所说的数型结合，因为三角函数的引入离不开单位元，无论是从角的拓展以及弧度的引入都是和单位元有着密切关系。

在单位元的基础上引入三角函数的定义，并且贯穿始终，这一点一会张老师会给出一个详细的分析。

三角函数第四个要突出的背景就是物理背景，因为三角函数是刻划周期现象的基本模型。

有哪些物理现象需要三角函数去刻划呢？第一个很容易想到的就是交流电，其次就是最基本的一种运动模型叫间歇振动，另外一个是潮汐现象，所有这些它的刻划和描述都离不开三角函数。

也就是说，三角函数从另一个角度来说它有着非常丰富的物理背景、生活背景、是我们解决现实问题的一个基本数学模型。

所以，三角函数要突出这么四件事情，函数、坐标、数形结合和背景。

这些在三角函数的教学当中，都不是一点一点的体现，而是需要贯穿在三角函数教学的自始至终。

这些希望我们的老师能够对于三角函数的教学，能够结合我们已有的经验有所提升，需要有一个再认识。

这是我们的一个建议。

关于三角函数单元的问题请张老师来作个分析。

张老师：关于三角函数我们初中就出现了三角函数这个词，但是在初中讲的是锐角三角函数，虽然出现函数这两个词，但是在初中标准里并没有当成函数来讲，只是讲边和角对应的关系，通过这样一种关系来求值，这是历史上是这样产生的，也就是说历史在测量当中求面积，求边长角度的时候产生了这样一个东西。

但是随着工业革命的出现，锐角产生就必须要出现了。

也就是说三角函数真正作为函数的理解这件事情必然就要出现了。

要想讲锐角三角函数的话，在讲变化的时候函数得变，所以首先要扩充角的概念，把锐角扩充到一般角的概念，随之而来就是扩容三角函数的概念。

这里一个非常好的载体，或者是非常突出一点的就是用单位元来考虑，也就是说我们借助于单位元来描述锐角运作是非常方便的一件事，也是几何上非常直观的事情。

随着三角函数作为函数来应用的话，就必须要有一个弧度制。

要想引用弧度制最自然的还是利用单位元来刻划弧度制，这样使得三角函数推广到一般。

过去传统的讲法不是这样来讲的，用三角函数线来讲，拉屎可能觉得那样很习惯，但是回过头来看，虽然老师们讲的很习惯，实际这种推广是不自然。

因为锐角三角函数是对边和斜边之比出来的，只要角一超过锐角的话，对边也找不到了，斜边也找不到了，硬要刻划出来去找其他的线很不自然。

另外原来都是正的值，现在都要成为负的值，也很不自然。

虽然过去很熟，但是这种推广是不自然的。

而月单位元这样三角函数的话，这个推广就变成一件非常自然的事情。

在直角坐标系里把点放在坐标原点上，始边是X轴的边，中边逆时针旋转，然后引进单位元，把L角的中边和单位元的焦点两个坐标分别定义成这个度的余旋和正旋。

这个就是我们用单位元来定义的。

这样一个定义首先我们要看到它跟我们原来用锐角来定位的三角函数是一样的。

现在很好体现出函数的思想，样角在变化的时候，这两个坐标也在变化，也就是说三角函数跟着变化。

用这样的东西动态来刻划三角函数这个值是怎么随着这个角来变化在图形上也很直观。

从这个图上来看，这样一个图形非常简单清楚，而且几乎把三角函数所有性质都描述出来了。

比如角是任意一个角，可以是正的，也可以是负的，这样这个角可以取任意一个值，所以对函数的定义域很清楚，可以取任何一个实数。

同样由于在单位元上，所以这两点坐标的取值绝对值不超过1，也就是从负1到正1的变化，所以这个函数的值域可以看的非常清楚。

我们可以看到这个函数的最大值和最小值也很清楚，这个中边和单位元焦点的中坐标，最大的是在1，最小的是-1。

所以它的值域和最值也看的很清楚，这个角的符号也可以看的很清楚。

作为Sina来说是这个点的纵坐标，纵坐标什么时候大于0呢？在X轴上方大于0，下于0是在下面。

横坐标是cosx，在外轴是大于零，这边是小于零。

现在有一些老师要背一些口诀，其实从这个图形当中可以非常清楚的看出来。

另外这个函数的单调区间也可以看的非常清楚，也就是说y轴上，随着角度变化纵坐标越来越高，所以它是增的。

这边就是越来越低。

对于cosl来说，单点在这的时候横坐标越来越大。

在另外一边就是越来越小，所以它的单调区间可以看的很清楚，周期性更显然，每转一圈要回到原来的位置。

所以，这个函数它几乎所有性质都可以在这上面显现出来。

另外可以从这里看出它的单调性，甚至我们大部分诱导公式可以通过这个图很明显的显示出来。

比如这个角是α，-α正好是在另外一个位置，所以-α所对应的cos-α和α是什么关系呢？无论是α在哪个象限，这两个点都是关于X轴对称的。