高考数学一轮总复习 专题25 平面向量的基本定理和向量的坐标运算检测 文
高考数学一轮复习专题：平面向量的基本定理及向量坐标运算
5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶 点D的坐标为_(_1_,_5_) _. 答案 解析 设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即41＝ ＝56－ －xy， ， 解得xy＝＝15，.
考点自测
1.设e1，e2是平面内一组基底，那么 答案 A.若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
A.(4,0)
B.(0,4)
C.(4，－8)
D.(－4,8)
因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b， 所以1×4＋2m＝0，即m＝－2， 所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8).
∴A→F＝A→D＋D→F＝12a＋12b＋16a－16b＝23a＋13b，故选 C.
思维升华
平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三 角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该 基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
(江西专用)高考数学一轮复习 5.2 平面向量的基本定理与坐标运算名师课件 文 新人教A版
(B)(0,-2). (D)(0,2).
【解析】由已知得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=λm+μn=
λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
λ μ 2,
则由
λ
2
μ
4
⇒
λ 0,
μ
2,
所以a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下
2.向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于 该向量终点的坐标减去起点的坐标.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔x1y2-x2y1=0.
1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c用a、b可表示为 ( )
. 【解析】平行四边形ABCD中,易知BC=AD,又∵BC =(2,-2),设 D点坐标为(x,y),则(2,-2)=(x+2,y),解得x=0,y=-2,故D点坐标为 (0,-2).
【解析】当ka+2b与2a-4b平行时,存在唯一实数λ,使ka+2b=λ
(2a-4b).
∵ka+2b=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),
2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),
∴由(k-6,2k+4)=λ(14,-4)得
k 6 14λ, 2k 4 4λ,
. 4
3
【答案】 4
3
7.(基础再现)已知点A(1,-2),若点A,B的中点坐标为(3,1),且
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题25 平面向量基本定理及坐标表示(解析版)
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。
高考数学一轮复习专题训练—平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示考纲要求1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然．2．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)共线向量不可以作为基底．(3)若b ＝(0,0)，则x 1x 2＝y1y 2无意义．2.若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为()A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案A解析由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3)，设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)，所以x ＝2，y ＝2，则点P (2,2)．3．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(2,1)，则3a －2b ＝()A ．(－7,7)B ．(－3，－2)C ．(6,2)D ．(4，－3)解析3a －2b ＝(－3,9)－(4,2)＝(－7,7)．4．(2021·南阳调研)已知向量a ＝(m,1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a ∥b 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件答案A解析∵a ＝(m,1)，b ＝(3，m －2)，若a ∥b ，则m (m －2)－3＝0，得m ＝3或m ＝－1，所以“m ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．5．(2020·合肥质检)设向量a ＝(－3,4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为()－65，B ．(－6,8)C D ．(6，－8)答案D解析因为向量b 与a 方向相反，则可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b ＝(6，－8)．6．(2021·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝()A ．1B ．6C ．16D ．13解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，AD →＝BC →，因为CE →＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF ，在△AEF 中，所以EF →＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →，又因为EF →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23y ＝－12，故x ＋y ＝16.考点一平面向量的坐标运算1．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为()B C ．(3,2)D ．(1,3)答案A解析设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →＝2x ，＝2y －2，解得＝2，＝72，故选A.2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.3．(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA →＝32，12OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →＝()A ．(0,1)B ．(1,0)32，－12D ．12，－32答案A解析∵OA →32，12，∴OA →与x 轴的夹角为30°，依题意，向量OB →与x 轴的夹角为90°，则点B 在y 轴正半轴上，且|OB →|＝|OA →|＝1，∴点B (0,1)，则OB →＝(0,1)．4．(2021·衡水检测)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝3，若OC →＝λOA →＋μOB →，则μλ＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3答案D解析由三角函数定义，易知A (2,0)，－32，C (3cos 240°，3sin 240°)，即－32，－因为OC →＝λOA →＋μOB →，－32，－λ(2,0)＋－32，－32μ＝－32，＝－332，＝－3，＝－33.所以μλ＝ 3.感悟升华1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．2．向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．考点二平面向量基本定理及其应用【例1】如图所示，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)依题意，A 是BC 的中点，∴2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB→＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)设OE →＝λOA →(0<λ<1)，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b .∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，(λ－2)a ＋b ＝a －53b λ＝45.感悟升华1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【训练1】(2021·银川调研)在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA →＋3OB →＋4OC →＝0(λ≠0)，则λ＝________.答案7解析法一由已知得OA →＝－3λOB →－4λOC →，①由M ，O ，N 三点共线，知∃t ∈R ，使OM →＝tON →，故2OM →＝2tON →，故OA →＋OB →＝t (OA →＋OC →)，整理得OA →＝1t －1OB →＋t 1－tOC →，②对比①②－3λ＝1t －1，－4λ＝t 1－t，t ＝－43，λ＝7.法二因为M 是AB 的中点，所以OM →＝12(OA →＋OB →)，于是OB →＝2OM →－OA →，同理OC →＝2ON →－OA →，将两式代入λOA →＋3OB →＋4OC →＝0，整理得(λ－7)OA →＋6OM →＋8ON →＝0，因为M ，O ，N 三点共线，故∃p ∈R ，使得OM →＝pON →，于是(λ－7)OA →＋(6p ＋8)ON →＝0，显然OA →，ON →不共线，故λ－7＝6p ＋8＝0，故λ＝7.考点三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求向量或点的坐标【例2】已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．角度2利用向量共线求参数【例3】(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)(2021·福州八校联考)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，其中O 为坐标原点，且a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为()A ．8B ．9C ．6D ．4答案(1)12(2)A解析(1)由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由题意知AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．因为A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，则(a －1,1)＝λ(－b －1,2)．－1＝λ－b －1，＝2λ，得2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，则1a ＋2b＝a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即a ＝14，b ＝12时，等号成立．∴1a ＋2b 的最小值为8.感悟升华1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【训练2】(1)(2021·太原联考)已知向量e 1＝(1,1)，e 2＝(0,1)，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ＝________.(2)(2021·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝310，则向量OC →的坐标为________．答案(1)－32(2)(－3,9)解析(1)由题意知a ＝e 1＋λe 2＝(1,1＋λ)，b ＝－(2e 1－3e 2)＝(－2,1)．由于a ∥b ，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－32.(2)因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得OC →＝∴OC →＝λ(0,1)＋－35，－35λ，95λ又|OC →|＝310，所以－35λ＝(310)2，解得λ＝5.故向量OC →＝(－3,9).A 级基础巩固一、选择题1．设A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于()A ．－2AD →B ．2AD→C ．－3AD→D ．3AD→答案C解析由题意得AB →＝(1,2)，AC →＝(－1,4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0,6)＝－3(0，－2)＝－3AD →.2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5,5)，λc ＝(λ，λm )＝5，＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.3．(2021·郑州质检)已知向量AB →＝(1,4)，BC →＝(m ，－1)，若AB →∥AC →，则实数m 的值为()A.14B ．－4C ．4D ．－14答案D解析∵向量AB →＝(1,4)，BC →＝(m ，－1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(1＋m,3)，又AB →∥AC →，所以1×3－4(1＋m )＝0，解得m ＝－14.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝()A ．22B ．2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．(2020·济南调研)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为()A ．－4B ．－1C ．1D ．4答案B解析根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n 5AC →.又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.6．(2021·东北师大附中等五校联考)已知向量a tan b ＝(cos α，1)，αa ∥b ，则()A ．－13B ．13C ．223D ．－223答案C解析向量a tan b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则13＝tan α·cos α＝sin α，又αcos α＝－223，所以cos α＝223.7.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是()A ．1B ．2C ．3D ．2答案B解析因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB→＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1.又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，当x ＝y 时取等号，故x ＋y 的最大值为 2.8．(2021·合肥检测)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案D解析由m ∥n 得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，可得sin 2B ＝sin 2A ，因为角A ，B ，C 分别是△ABC 的内角，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，可得△ABC 是等腰三角形或直角三角形．因此，由“m ∥n ”不能推出“△ABC 是等腰三角形”．因为由“△ABC 是等腰三角形”不能推出“A ＝B ”，所以由“△ABC 是等腰三角形”也不能推出“m ∥n ”．故“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．二、填空题9．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________．答案(8，－15)解析设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，－2＝32x －4，－3＝32y ＋3.＝8，＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．10．(2021·百校联盟联考)已知非零向量a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，则xy ＝________.答案－14解析因为a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，所以2x ·(－2)－y ·1＝0，所以x y ＝－14.11．已知矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，点E 为线段AO 的中点，若DE →＝mAB →＋nAD →，则m ＋n 的值为________．答案－12解析如图所示，因为点E 为线段AO的中点，所以DE →＝12(DA →＋DO →)＝12DA →＋14DB→＝－12AD →＋14AB →－14AD →＝14AB →－34AD →.又DE →＝mAB →＋nAD →，所以m ＝14，n ＝－34，故m ＋n ＝－12.12．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.B 级能力提升13．(2021·西安质检)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.233B ．33C ．3D ．23答案A解析如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1,0)，C 点的坐标为(0,2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m >0)．AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ，所以λμ＝233.14．已知点P 为四边形ABCD 所在平面内一点，且满足AB →＋2CD →＝0，AP →＋BP →＋4DP →＝0，AP →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.76B ．－76C ．－13D ．13答案D解析如图，取AB 的中点O ，连接DO .由AB →＋2CD →＝0，知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以CD 綉OB ，所以四边形OBCD 为平行四边形．又由AP →＋BP →＋4DP →＝0，得－2PO →＋4DP →＝0，即PO →＝2DP →，所以D ，P ，O 三点共线，且P 为OD 上靠近D 的三等分点，所以AP →＝AO →＋OP →＝12AB →＋23OD →＝12AB →＋23BC →，所以λ＝12，μ＝23，所以λμ＝13.15．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.答案85解析以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝1，12，BN →－12，1AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →λ－12μ，λ2μ，λ－12μ＝1，λ2μ＝1，λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.16．(2021·兰州调研)在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上的两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则xy 的最大值为________．答案1解析设DE 的中点为M ，连接AM (如图)．则AD →＋AE →＝2AM →＝xAB →＋yAC →，所以AM →＝x 2AB →＋y 2AC →，又B ，C ，M 三点共线，所以x ＋y ＝2，且x >0，y >0，又x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，取等号，∴xy ≤1，即xy 的最大值为1.。
高考数学一轮复习 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(测)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是【解析】因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0， ∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝(AB ＋AD )的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为 AC ＝AB ＋AD ＝．∴OC ＝12AC ＝∴CO|OC |，若OC ＝OA ＋OB ，则|OC |，又OC ＝OA ＋OB ，所以7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.【解析】AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.9．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．【解析】P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.设BA，BC ＝为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－CD ＝CF ＋FD ＝－的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中。
高考数学一轮复习平面向量基本定理及向量的坐标运算
A．(8,1)
1 C.4，－2
[答案]
D
[解析]
1 －4， . 2
1→ 1 → 1 → MN ＝ (ON －OM )＝ [(－5，－1)－(3，－2)]＝ 2 2 2
→ → 5．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且 OA′ ＝2 OA ， → → OB′ ＝3 OB ，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为 → ________，向量A′B′的坐标为________．
)
[答案]
B
[解析]
根据基底的定义知，非零且不共线的两个向量
才能可以作为平面内的一组基底．A中显然e1∥e2；C中e2＝ －2e1，所以e1∥e2；D中e1＝－2e2，所以e1∥e2.
2．(2012· 临川模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝ (4,2)，则c＝( A．3a＋b C．－a＋3b
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. 向量 a b a＋b (x1＋x2， y1＋y2) a－b (x1－x2， y1－y2) λa (λx1，λy1)
坐标 (x1，y1) (x2，y2)
(2)向量坐标的求法 → 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即一 个向量的坐标等于其终点 的坐标减去 起点的相应坐标． (3)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a ＝λb ⇔ x1y2－y1x2＝0 .
A．(－2，－4) C．(6,10)
[答案] A
[解析]
本题考查向量的线性运算．
→ → → → → BC＝BA＋AC＝BA－CA＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
2021高考数学一轮复习专练25平面向量基本定理及坐标表示含解析文新人教版
专练25 平面向量基本定理及坐标表示命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件[基础强化]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)3．已知a ＝(2,1)，b ＝(1，x )，c (－1,1)．若(a ＋b )∥(b －c )，且c ＝m a ＋n b ，则m ＋n 等于( )A.14 B ．1 C ．－13 D ．－124．[2020·海南中学高三测试]设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)；OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．85．[2020·保定九校联考]已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)6．[2020·银川一中高三测试]已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π27．[2020·江西南昌一中高三测试]已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( )A ．2 6 B.2512C.2524D.2568．[2020·吉大附中高三测试]设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则x ＋y ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－29．如图所示，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝( )A.83B.32C.53D ．1 二、填空题10．已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________.11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.12．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.[能力提升]13．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．2D ．814．[2020·湖北武汉一中高三测试]如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C ．2 D.8315．[2020·河北武邑中学高三测试]已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x ，y ＞0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.43＋233C.52D.7216．如图，已知平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．专练25 平面向量基本定理及坐标表示1．D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．D 12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32＝(－1,2)3．C ∵a ＋b ＝(3,1＋x )，b －c ＝(2，x －1)， ∵(a ＋b )∥(b －c )，∴3(x －1)＝2(x ＋1)， 得x ＝5，∴b ＝(1,5)，又c ＝m a ＋n b ， ∴(－1,1)＝m (2,1)＋n (1,5)∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，m ＋5n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝13，∴m ＋n ＝－23＋13＝－13.4．D ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，CB →＝(a ＋b ，－1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －1)×(－1)＝1×(a ＋b )，∴2a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b ＝8(当且仅当b a ＝4a b 即a ＝14，b ＝12时等号成立)5．A 设点N 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6) 又MN →＝－3a ＝(－3,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.6．C ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.故选C.7．C ∵a ∥b ，∴3y －5＝－2x ，∴2x ＋3y ＝5，又x ，y 均为正数，∴5＝2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，(当且仅当2x ＝3y ，即：x ＝54，y ＝56时等号成立)，∴xy ≤2524，故选C.8．A 因为a ⊥c ，所以2x －4＝0， 因为b ∥c ，所以－4－2y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以x ＋y ＝0.9．B 设OA →＝a ，OB →＝b ，则OE →＝OA →＋AE →＝a ＋13b ，OF →＝OB →＋BF →＝b ＋13a ，∴OE →＋OF →＝43(a ＋b )＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →.又OC →＝λOE →＋μOF →，∴λ＝μ＝34，∴λ＋μ＝34＋34＝32.10．－3解析：∵a ∥b ，∴2λ＝－6，λ＝－3. 11.12解析：∵2a ＋b ＝(4,2)，又c ∥(2a ＋b )，∴1×2＝4λ，∴λ＝1212．3解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，设D 为BC 边的中点，则AM →＝12(AB →＋AC →)×23＝13(AB →＋AC →)，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 13．C建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)，∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2，故选C.14．B 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2,0)，A (0,2)，B (1,2)，E (0,1)，∴CA →＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.15．B 设BC 的中点为D ，则AG →＝23AD →＝13AB →＋13AC →＝13x AM →＋13yAN →，∵M ，G ，N 三点共线， ∴13x ＋13y＝1. 又x ＞0，y ＞0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝43＋y 3x ＋x y ≥43＋213＝43＋233. 当且仅当y 3x ＝x y ，即x ＝13＋39时取等号，∴3x ＋y 的最小值是43＋233.故选B.16．6解析：解法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt△OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)． 由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.。
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专题25平面向量的基本定理和向量的坐标运算本专题特别注意：1.平面向量基本定理的应用问题2. 基本定理的两条路径法表示向量问题3. 数形结合的应用4.向量于线性规划问题等综合问题5. 向量的坐标表示及运算性质6.向量共线与垂直的坐标表示7.向量与数列的综合8.向量与解析几何的综合 【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件． 【方法总结】1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量――→对应实数对(x ，y )，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系。
2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.高考模拟：一、单选题1．在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A. 3B. 2C.D. 2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3．若直线与函数，图像交于异于原点不同的两点，且点，若点满足，则( )A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】C【解析】分析：由直线x+ky=0过原点，函数f（x）是定义域R上的奇函数；知直线x+ky=0与函数f （x）图象的交点A，B关于原点对称，得出，再由向量相等列方程组求出m、n的值，再求m+n．由直线x+ky=0（k≠0）与函数f（x）的图象交于不同的两点A，B，则A、B关于原点对称，∴，又点C（9，3），，∴，即（m﹣9，n﹣3）=（﹣2m，﹣2n），∴，解得，∴m+n=4．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查了奇函数的性质与平面向量的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是先要研究函数f(x)的奇偶性，后面才能迎刃而解.研究函数的问题，要联想到利用函数的性质（奇偶性、单调性和周期性）来分析解答问题.4．一直线与平行四边形中的两边分别交于，且交其对角线于，若，则（）A. B. C. D.【答案】A点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，理清点M的位置是关键，所以显得尤为重要，之后利用向量的关系求得结果.5．设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.6．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用向量的线性运算把用表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系．详解：∵，∴，即，又，∴，∴，∴．故选B．点睛：等差数列问题可用基本量法求解，即把已知条件用首项和公差表示并求出即可得通项公式和前项和公式．基本量法的两个公式：，．7．已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8．如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，由相似比可以求出m的值，根据的面积为，求出,再求，根据基本不等式求出最小值。
详解：过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，则,因为，所以求出，设，则由三角形面积公式有，而，则，故的最小值为，选D.点睛：本题主要考查平面向量的数量积的应用以及基本不等式等，属于中档题。
由向量加法的平行四边形法则和相似比求出实数的值，是解题的关键。
9．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A. 3B. 4C.D.【答案】A【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值.详解：三点共线，则当且仅当即时等号成立.故选A.点睛：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.10．在中，点满足.若存在点，使得，且，则（）A. 2 B. C. 1 D.【答案】D【解析】分析：由，可得，求得，解得，从而可得结果.详解：，，，可得，，故选D.点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于难题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.11．设点在的外部，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：有公共边，故以为轴建立平面直角坐标系后的比和的两点的纵坐标的比值有关，再把题设中的向量关系转化为坐标关系可得两点的纵坐标的比值.同理可得的面积之比，两者结合求得.详解：如图，建立平面直角坐标系，则.设，，，故，所以，同理，，故，故，选B.点睛：向量的线性运算，如果几何运算比较复杂，则可以转化为坐标来进行计算.12．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.13．已知O 为锐角ABC ∆的外心， 3AB =， 23AC =AO x AB y AC =+，且9128x y +=.记1l OA OB =⋅ ， 2l OB OC =⋅， 3l OA OC =⋅，则（ ）A. 213l l l <<B. 321l l l <<C. 312l l l <<D. 231l l l << 【答案】D∴21922AO AB AB ⋅==， 2162AO AC AC ⋅==. ∵AO x AB y AC =+∴()99cos 2AO AB xAB y AC AB x BAC ⋅=+⋅=+∠=① ()63cos 126AO AC xAB y AC AC x BAC y ⋅=+⋅=∠+=②∵9128x y +=③∴由①②③得cos BAC ∠=根据余弦定理可得BC ==∴BC AC AB >>在ABC ∆中，由大边对大角得： BOC AOC AOB ∠>∠>∠. ∵OA OB OC ==，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 ∴OB OC OA OC OA OB ⋅<⋅<⋅ ∴231l l l << 故选D.点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. (3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 14．设是△所在平面上的一点，若，则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用向量的加法运算，设的中点为D ，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD 中点，从而得解.详解：由，可得.设的中点为D ，即.点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，为AD 中点.∴.当且仅当，即点与点重合时，有最小值.故选：C.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.详解：以为原点，以为轴，建立坐标系，为边长为的正三角形，，，，，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.16．在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则，，，，，即，，. ∵∴∴，∴，∴∵∴∴故选A.17．已知椭圆，，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，可得G为的重心，即有G点坐标为，由，可得IG∥x轴，即有I的纵坐标为，在中，，则．因为I为的内心，故有I的纵坐标即为内切圆半径，所以，故，即，整理得，故椭圆C的离心率．选B．点睛：（1）本题中的向量条件较多，解题时要根据所给的向量式得到相应的位置和数量关系，如在本题中得到点G为三角形的重心是解题的关键，并由此得到内心的纵坐标，然后利用面积的两种不同表现方式得到2c=a，从而得到离心率．（2）求椭圆的离心率或其范围时，将提供的条件中的几何关系转化为关于椭圆的基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式可得所求．18．在给出的下列命题中，是假命题的是（）A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D19．过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.20．平行四边形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， 120BAD ∠=︒， P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，如AP x AB y AD =+，则32x y +的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】∵AP x AB y AD =+， ∴2AP =()2xAB y AD+=9x 2+4y 2+2xy×3×2×（﹣12） =（3x+2y ）2﹣3•3x•2y≥（3x+2y ）2﹣34×（3x+2y ）2=14×（3x+2y ）2； 又2AP =1， 即14×（3x+2y ）2≤1， 所以3x +2y≤2，当且仅当3x=2y ， 即x=13，y=12时， 3x+2y 取得最大值2． 故选：B ． 二、填空题21．如图，在扇形AOB 中，OA=4，∠AOB=120,P 为弧A B 上的一点，OP 与AB 相交于点C,若，则的值为______.【答案】4.【解析】分析：首先求得∠AOP 的大小，然后利用数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：，则，，结合平面几何知识可得：，由向量的运算法则可知：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．22．已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)【答案】②③.【解析】由题意，①若，，则，则，所以不正确；②由，其中，向量的夹角取得最小值，两向量同向时，存在实数，满足，根据仿射的定义，可知是正确的；③已知，，则，所以，所以是正确的；④由，则三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，所以不正确，故选②③.点睛：本题主要考查了向量的新定义运算，此类问题正确理解新定义的运算方式是解答的关键，对于向量问题：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.23．已知C 是平面ABD 上一点， AB AD ⊥， 1CB CD ==． ①若3AB AC =，则AB CD ⋅=____；②若AP AB AD =+，则AP 的最大值为____． 【答案】 34-2 【解析】 由题意，（1）中，因为3AB AC =，所以C 为线段AB 的三等分点，因为1CB CD ==，所以31,22AB AC ==，如图所示， 则()3130cos 224AB CD AB AD AC AB AD AB AC π⋅=⋅-=⋅-⋅=-⨯=-，（2）中，因为AP AB AD =+， 所以222222AP AB AD AB AD AB AD AB AD BD BD =+=++⋅=+==，如图所示，当点C 是线段BD 的中点时，此时BD 取得最大值， 此时最大值为2BD BC CB =+=，所以AP 的最大值为2．点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．24．在平面向量中有如下定理：设点O 、P 、Q 、R 为同一平面内的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使()1O P t O Q tO R =-+.试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且2CF FA =， BF 交CE 于点M ，设AM xAE y AF =+，则x y +=__________．【答案】75【解析】∵,,B M F 三点共线，∴存在实数t ，使得()1AM t AB t AF =-+，又12,3AB AE AF AC ==， ∴()1213AM t AE t AC =-+，又,,E M C 三点共线，∴()12113t t -+=，解得35t =． ∴()432155AM t AE t AF AE AF =-+=+∴43,55x y ==， 75x y +=．答案： 7525．如图，在等腰梯形ABCD 中， 1//,1,2DC AB AD DC CB AB ==== F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 上变动， E 为圆弧DE 与AB 交点．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2+λμ的取值范围是____________．【答案】[]0,226．在ABC 中， 22CA CB ==， 1CA CB ⋅=-， O 是ABC 的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=________________.【答案】136【解析】由题意可得： 120,2,1CAB CA CB ∠===，则：()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作,OE BC E OD AC D ⊥=⊥=, 则221112,222CO CA CA CO CB CB ⋅==⋅==，综上有： 42{ 12x y x y -=-+=，求解方程组可得： 56{ 43x y ==，故136x y +=.27．如图所示，在O 中， AB 与CD 是夹角为60︒的两条直径， ,E F 分别是O 与直径CD 上的动点，若0OE BF OA OC λ⋅+⋅=，则λ的取值范围是________．【答案】⎡-⎣【解析】设O 的半径为r ，以O 为原点， OB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示，则()1,0,,22B r C r r ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设()()cos ,,0,E r rsin αααπ∈， 11,,2222OF OC r r r r μμμμ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中[]1,1μ∈-， 13,2BF r r r μ⎛⎫∴=-⎪⎪⎝⎭， ()1cos ,,2OE BF r rsin r r r ααμ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭22131cos 2r r sin μαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()21310,22OA OC r r r ⎛⎫⋅=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭， 0OE BF OA OC λ⋅+⋅=，()2cos OE BFsin OA OCλμαα⋅∴=-=-⋅ ()()21αθαθ⎫=+=+，又[]1,1,34μ∈-∴≤≤ ()αθ∴-≤+≤，λ∴-≤≤λ的取值范围是⎡-⎣，故答案为⎡-⎣.28．如图所示,已知OAB ,由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.（1）若D 为AB 中点, OD =______（用OA ,OB 表示） （2）已知下列四个向量:①12OM OA OB =+; ②23143OM OA OB =+; ③31123OM OA OB =+; ④43145OM OA OB =+.对于点1M ,2M ,3M ,4M ,落在阴影区域内（不含边界）的点有_____（把所有符合条件点都填 上） 【答案】()12OA OB + 12,M M 【解析】若D 为AB 中点,则由向量的加法法则可得()12OD OA OB =+ ； 设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数01]t ∈（，，使得11ON tOA t OB =+-（）（）， 且存在实数1r ≥，使得OM rON =， 从而1OM rtOA r t OB =+-（），且11rt r t r +-=≥（）． 又由于01t ≤≤ ，故10r t -≥（）． 对于①中112rt r t =-=，（） ，解得233r t ==，，满足1r ≥也满足10r t -≥（）．，故①满足条件． 对于②31143rt r t =-=，（），解得1391213r t ==， ，满足1r ≥也满足10r t -≥（）．故②满足条件， 对于③11123rt r t =-=，（），解得5365r t ==，，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④31145rt r t =-=，（），解得19152019r t ==， ，不满足1r ≥，故④不满足条件，故答案为(1). ()12OA OB + (2). 12,M M29．在中，，，且在上，则线段的长为______．【答案】1 【解析】∵， ∴，∴，∵且在上，∴线段为的角平分线，∴，以A 为原点，如图建立平面直角坐标系，则，D∴故答案为：130．如图,在ABC 中，2,AD BEDC EA==若,DE AC CB λμ=+ 则λμ-=_______．【答案】23-【解析】依题意有1233DE AE AD AB AC =-=-，而()()DE AC CB AC AB AC AB AC λμλμμλμ=+=+-=+-，故13{23μλμ=-=-，所以填23-31．在各棱长都等于1的正四面体O ABC -中，若点P 满足()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=,则OP 的最小值为_____________.【答案】3故答案为：3. 32．向量a ， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示.若(),c a b R λμλμ=+∈，则λμ=__________．【答案】1【解析】()()()1,1,6,2,1,3a b c =-==-- 所以()()()1,31,16,2λμ--=-+216{ { 11322λλμλμλμμ=--=-+∴∴∴=-=+=-33．设，向量且，若不等式恒成立，则实数k 的最大值为____． 【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得： ，其中整理可得： ，当 时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k 的最大值为.34．如图，在梯形ABCD 中， 2DC AB =，P 为线段CD 上一点，且3DC PC =，E 为BC 的中点，若()1212,EP AB AD R λλλλ=+∈，则12λλ+的值为______．【答案】13【解析】2433EP EB BA AD DP EB AB AD DC EB AB AD AB =+++=-++=-++，整理得到13EP EB AB AD =++，又1233EP EC CP EC CD EC AB =+=+=-，所以123EP AB AD =-+，也就是1162EP AB AD =-+， 12111623λλ+=-+=，填13．35．矩形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， P 矩形内部一点，且1AP =，若A P xA B yA D =+，则32x y +的取值范围是__________．【答案】(【解析】以点A 为原点， AB 为x 轴， AD 为y 轴建立平面直角坐标系， ()0,0A , ()3,0B , ()0,2D ,根据AP x AB y AD =+ 可知， ()3,2P x y ，因为1AP = ，所以()()22321x y += ， 0,0x y >> 那么()()()()()22232322321232x y x y x y x y +=++⨯⨯=+⨯⨯ ，而()()22232321x y x y ⨯⨯≤+= ，所以()21322x y <+≤ ，即32x y + 的取值范围是(.【点睛】求32z x y =+ 这类型含有两个变量的值的取值范围问题，（1）一般可将问题转化为线性规划问题，前面的条件可转化为关于,x y 的约束条件，（2）或是利用基本不等式求取值范围，可将条件转化为和或积的定值求解，（3）或是转化为函数问题， 根据条件转化的等式，通过消元转化为一个变量的函数问题求解. 36．已知分别是的边的中点，且则（1）；（2）；（3）；（4）,其中正确的等式是__________． 【答案】点睛：1、本题考查平面向量的基本定理的应用等知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力. 2、在解答此类问题时，熟练掌握向量的三角形法则、平行四边形法则是解题的关键．3、用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底表示向量，再通过向量的运算来解决．37．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，则下列命题正确的有__________． ①2PA PD=；②P 是ABC ∆的重心；③ABC ∆和PBC ∆的面积满足ABC PBC S S ∆∆=； ④P 是ABC ∆的内部. 【答案】①③【解析】由0PA BP CP ++=得： PB PC PA +=，所以P B A C ，，，组成平行四边形，所以P 在ABC 的外部，∵D 为ABC ∆的边BC 的中点，∴2PA PD=， ABC ∆和PBC ∆的面积满足ABC PBC S S ∆∆=即①正确，②错误，③正确，④错误，故答案为①③.38．已知平面向量a b c ，和 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a 的分解有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+ ；②给定向量b 和c ，总存在实数λμ和，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ ，总存在单位向量C 和实数λ，使a b c λμ=+ ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+ . 则所有正确的命题序号是________. 【答案】①②【解析】逐一考查所给的命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+ ；②给定向量b 和c ，总存在实数λμ和，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ ，不一定总存在单位向量C 和实数λ，使a b c λμ=+ ； ④给定正数λ和μ，不一定存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+ . 则所有正确的命题序号是①②.39．平面上点O 为坐标原点， ()()0,2,1,0A B ， C 是平面上任意一点且满足2AC AO OB BA =++，则C 点坐标是_____________。