江苏省徐州市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质(1)学案(无答案)苏教版选修11
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件苏教版选修21
∴|BF1|＝c，|BF2|＝ 3c. 据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a， 即 c＋ 3c＝2a，∴ac＝ 3－1. ∴椭圆的离心率 e＝ 3－1.
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[探究共研型]
直线与椭圆的位置关系 探究 1 直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那 样判断吗？如何判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征 分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为 充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断． (2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方 程联立，消去一个未知数 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一个一元二次方程．利用 一元二次方程根的判别式 Δ，根据 Δ>0，Δ<0 还是 Δ＝0 即可判断方程组解的个 数，从而得出直线与椭圆的交点情况．
轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标. 【导学号：09390025】
【解】
椭圆方程可化为x2＋ m
y2 m
＝1(m>0)，
m＋3
因为 m－m＋m 3＝mmm＋＋32>0，所以 m>m＋m 3，所以焦点在 x 轴上，即 a2＝m，
b2＝m＋m 3，c＝ a2－b2＝
mm＋2 m＋3 .
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若椭圆的焦点在 y 轴上，则设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
2a＝5×2b， 由题意得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求椭圆的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y2＝1 或6y225＋2x52 ＝1.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的几何性质b11b高二11数学
对称 性
对称轴：___坐__标_轴____；对称中心：__(_0，__0_)__
焦点 F1__(－__c_，__0_)_，F2__(_c_，__0_) _ F1___(0_，__－__c_)_，F2___(_0_，__c)__
焦距
|F1F2|＝____2_c____
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第四页，共四十页。
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1．椭圆的简单几何性质 标准方程 xa22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
图形
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标准 方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
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A 为 y 轴上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点， △AF1F2 为正三角形，且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上，则 此椭圆的离心率为________．
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解析：如图，连接 BF2. 因为△AF1F2 为正三角形，且 B 为线段 AF1 的中点． 所以 F2B⊥BF1. 又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c， 所以|BF1|＝c，|BF2|＝ 3c， 由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a， 即 c＋ 3c＝2a，所以ac＝ 3－1. 所以椭圆的离心率 e＝ 3－1. 答案： 3－1
轴长
长轴___|A__1A_2_|_＝__2_a__，短轴__|_B_1_B_2_|_＝__2b___
离心
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质高效测
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第二章圆锥曲线与方程 2。
2。
2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－错误!，0)，（错误!，0），离心率是错误!，则椭圆C的方程为( )A。
错误!＋y2＝1 B。
x2＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析：因为错误!＝错误!，且c＝错误!，所以a＝错误!，b＝错误!＝1.所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.故选A.答案：A2．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1(k〈9）的（)A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,前者焦距为2c＝2错误!＝8，后者焦距为2c＝2错误!＝8.故选D。
答案: D3．过椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A.错误!B。
江苏省徐州市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆的几何性质(2)学案(无答案)苏教版选修1_1
2.2.2椭圆的几何性质(2)一、预习检查1、椭圆13610022=+y x 的离心率为 . 2、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，若直线220x y -+=过椭 圆的左焦点和上顶点，则该椭圆的离心率为 ．3、对称轴都在坐标轴上，长半轴为10，离心率是0.6的椭圆的标准方程为 .二、问题探究 探究1: 焦点在y 轴上的椭圆()012222>>=+b a bx a y ，其范围、顶点、对称轴、对称中心、长轴位置及长度、短轴位置及长度？探究2: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的1F 和2F 两点，当绳长大于1F 和2F 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．若细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，想象椭圆的“扁”的程度的变化规律．探究3:椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？例1 求椭圆192522=+y x 的离心率．例2 求焦距为8，离心率为0.8的椭圆标准方程．例3 已知椭圆1422=+m y x 的离心率为23，则=m ________________．例4 (理) 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.三、思维训练1、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ．2、椭圆过点(3,0)A ，离心率为3，则椭圆的标准方程为 ． 3、设21,F F 为椭圆的两个焦点，以2F 为圆心作圆2F ，已知圆2F 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线1MF 恰与圆2F 相切，则该椭圆的离心率e 为 ．3、已知椭圆的一个焦点将长轴分为2:3两段，则其离心率为 ．四、知识巩固1、已知椭圆的焦距为4，离心率为32，求椭圆的短轴长。
2.2.2椭圆的简单几何性质
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质
难点：利用几何性质分析解决有关问题.
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第二页，共二十九页。
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理
02 课堂(kètáng) 合作探究 03 课后 巩固提升 课时(kèshí)作业
第三页，共二十九页。
焦点的位置 图形
标准方程
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[自主梳理] 焦点在 x 轴上
(－a,0)，(a,0)，
(－b,0)，(b,0)，
(0，－b)，(0，b)
(0，－a)，(0，a)
长轴长＝ 2a ，短轴长＝ 2b
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焦点的位置 焦点 焦距 对称性 离心率
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焦点在 x 轴上 (－c,0)，(c,0)
焦点在 y 轴上 (0，－c)，(0，c)
的离心率 e＝______.
解析：由题意知椭圆焦点在 x 轴上，
∴在直线 x＋2y－2＝0 中，
令 y＝0 得 c＝2；令 x＝0 得 b＝1.
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∴a＝ b2＋c2＝
5.∴e＝ac＝2
5
5 .
答案：2 5 5
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探究一 由方程研究 圆的性质 [典例 1] 求椭圆 4x2＋9y2＝36 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解析：由已知 2a＝6，ac＝ 36， 解得 a＝3，c＝ 6，所以 b2＝a2－c2＝3， 故椭圆 C 的方程为x92＋y32＝1.
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探究三 离心率问题 [典例 3] 若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F，则满足三角形 ABF 为等边三角 形的椭圆的离心率是________．
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2.2.2椭圆的几何性质(1) 预习导读 (文)阅读选修1-1第31--34页，然后做教学案，完成前三项。
(理)阅读选修2-1第33--36页，然后做教学案，完成前三项。
学习目标 1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点、长轴、短轴等简单几何性质
2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及c b a ,,的相互关系
3．感受如何运用方程研究曲线的几何性质．
一、预习检查
1、椭圆22
66x y +=的长轴的端点坐标为 ．
2、椭圆的长轴长与短轴长之比为2：1，它的一个焦点是(215,0)，
则椭圆的标准方程为 ． 3、已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，若直线220x y -+=过椭圆的 左焦点和上顶点，则该椭圆的标准方程为 ．
二、问题探究
探究1: “范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围。
椭圆标准方程22
221(0)x y a b a b +=>>中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
探究2: 标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？能否借助标准方程用代数方
法推导？
探究3: 椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是
多少？c b a ,,的几何意义各是什么？
例1．求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，并画出这个椭圆．
例2 . 求符合下列条件的椭圆标准方程（焦点在x 轴上）：
（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为105-，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．
（2）已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程．
例3． 1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了 “铱星”系
统通信卫星，卫星运行的轨道是椭圆，12,F F 是其焦点，地球中心为焦点1F ，设地球半径为m ，已知椭圆轨道的近地点A （离地面最近的点）距地面3
m ，远地点B （离地面最远的点）距地面3m ，并且1F 、A 、B 在同一直线上，求卫星运行的轨道方程．
三、思维训练
1、根据前面所学有关知识画出下列图形 ①1342
2=+y x ．
②1422=+y x ．
2、在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( )
A ．y x 42=
B ． 0
22
=++y xy x C ． x y x 5422=- D ． 4922=+y x 3、当k 取区间(),4-∞中的不同的值时，方程22
194x y k k
+=--所表示的曲线是一组具有 相同 的椭圆．
四、知识巩固
1、求出下列椭圆的长轴长、短轴长、定点坐标和焦点坐标：
（1）12
32
2=+y x ；（2）11003622=+y x ；（3）400251622=+y x ；（4）16422=+y x .
2、椭圆22
149
x y +=的内接正方形ABCD 的面积为 ．
3、椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的焦点到直线2
x =的距离为 ．
4、已知1F (-3，0)，2F (3，0)是椭圆n
y m x 2
2+=1的两焦点，P 是椭圆上的点， α=∠21PF F ，当23
πα=时，21PF F ∆面积最大，则m = ，n = ．。