【课堂新坐标】16-17学年高中数学人教B版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1

②当焦点在 y 轴上时， y2 x2 设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．
2 2 （－ 2 ） （ 3 ） ＋ b2 ＝1， 2 a2 a ＝5， 依题意有 解得 2 2 b ＝15， 1 （－2 3） ＝1， 2＋ b2 a
因为 a＞b＞0，所以无解． x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为15＋ 5 ＝1．
【自主解答】 ＝5． 在△PF1F2 中，
75 25 5 2 由椭圆方程知，a ＝25，b ＝ ，∴c F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． 由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|， 即 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|． ②－①得 3|PF1|·|PF2|＝75， 所以|PF1|·|PF2|＝25， 1 25 3 所以 S△F1PF2＝2|PF1|·|PF2|·sin 60°＝ 4 ． ② ①
图2­2­2
【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关 点法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为： (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为 P(x，y)，已知曲线上动点坐标为 Q(x1， y1 ) ． (2) 求 关 系 式 ： 用 点 P 的 坐 标 表 示 出 点 Q 的 坐 标 ， 即 得 关 系 式
x1＝g（x，y）， y1＝h（x，y）.
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把 所得方程化简即可． x2 2 所求点 M 的轨迹方程为 4 ＋y ＝1．
一个动圆与圆 Q1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 Q2：(x－3)2＋y2＝ 81 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程． 【导学号：18490040】
【精彩点拨】 由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得 轨迹．
【自主解答】 由已知，得两定圆的圆心和半径
分别为 Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9． 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，如图．
由题设有 |MQ1|＝1＋R， |MQ2|＝9－R， 所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6． 由椭圆的定义，知点 M 在以 Q1，Q2 为焦点的椭圆上， 且 a＝5，c＝3． 所以 b2＝a2－c2＝25－9＝16， x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为25＋16＝1．
图2­2­1
【提示】 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件 转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴 是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量 a，b，c． x2 y2 所求点 Q 的轨迹方程为 9 ＋ 5 ＝1．
探究 2 如图 222，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足．当点 P 在圆上运动时， 线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是什么？ 为什么？
3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代 入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的 方法叫做代入法(又称相关点法)．
(2)在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于 F1F2”的常数，其它条 件不变，点的轨迹为线段．( )
(3)到两定点 F1(－2，0)和 F2(2，0)的距离之和为 3 的点 M 的轨迹为椭 圆．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理 2
椭圆的标准方程
阅读教材 P39～P40“例 1”以上部分，完成下列问题． 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点 a，b，c 的关系
y → → → 为(0，y0)，∵OQ＝OM＋ON，∴(x，y)＝(x0，2y0)，即 x0＝x，y0＝2，又∵x2 0＋
2 y 2 y2 ＝ 4 ，∴ x ＋ ＝4．由已知，直线 m 平行于 x 轴，得 y≠0，∴Q 点的轨迹方 0 4
y2 x2 程是 ＋ ＝1(y≠0)． 16 4
【答案】 y2 x2 16＋ 4 ＝1(y≠0)
x y 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b _________________
2 2
焦点在 y 轴上 y2 x2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
(－c，0)与(c，0)
(0，－c) 与________ (0，c) ________
a2－b2 c2＝________
x2 y2 x2 y2 椭圆 ＋ ＝1 的焦点在________轴上， 焦距为________， 椭圆 ＋ 25 9 9 16 ＝1 的焦点在________轴上，焦点坐标为________．
[再练一题] 1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 A(0，2)和
1 B2， 3，求椭圆的标准方程．
【解】
设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
4n＝1， 将 A，B 两点坐标代入方程得1 m＋3n＝1， 4 m＝1， 解得 1 n＝4，
法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意 1 m＝15， 3 m ＋ 4 n ＝ 1 ， 有 解得 12m＋n＝1， n＝1. 5 x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为15＋ 5 ＝1．
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0， n＞0)．因为它包括焦点在 x 轴上(m＜n)或焦点在 y 轴上(m＞n)两类情况，所 以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a． 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 构成的△PF1F2，称为焦点三角 形． 解关于椭圆的焦点三角形的问题， 通常要利用椭圆的定义， 结合正弦定理、 余弦定理等知识求解．
2 2
1 3 因此 S△PF1F2＝2·|F1F2|·|PF1|＝2． 3 故所求△PF1F2 的面积为2．
[探究共研型]
与椭圆有关的轨迹问题
探究 1 如图 221，P 为圆 B：(x ＋2)2＋y2＝36 上一动点，点 A 的坐标为 (2， 0)， 线段 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程．
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法， 本例所用方法为代入法． 2．对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已 知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在 我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
[小组合作型] 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0); 【导 学号：18490039】 (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
[构建· 体系]
x2 y2 1．若椭圆 ＋ 2＝1 过点(－2, 16 b A．2 5 C．4 5
3)，则其焦距为(
)
B．2 3 D．4 3
【解析】 将点(－2, ＝4 3．
3)代入椭圆方程求得 b2＝4， 于是焦距 2c＝2 16－4
【答案】 D
2．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点 P(2，0)在椭圆上，则椭圆的 方程为( ) x2 2 B． 4 ＋y ＝1 y2 2 D． 4 ＋x ＝1
x2 y2 A． 4 ＋ 3 ＝1 y 2 x2 C． 4 ＋ 3 ＝1
[再练一题] 3．(2016· 北大附中高二检测)已知圆 C：x2＋y2＝4，过圆 C 上一动点 M 作 → ＝OM → ＋ON →， 平行于 x 轴的直线 m，设直线 m 与 y 轴的交点为 N，若向量OQ 则动点 Q 的轨迹方程为____________．
【解析】
设点 M 的坐标为(x0，y0)，点 Q 的坐标为(x，y)，点 N 的坐标
(3)法一 ①当焦点在 x 轴上时， x2 y2 设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．
2 2 （ 3 ） （－ 2 ） ＋ ＝1， 2 2 2 a a b ＝15， 依题意有 解得 2 2 b ＝5. （－2 3） 1 ＋ 2＝1， a2 b
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1． 15 5
常数(大于|F1F2|) 把平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的和等于__________________ 的点 两个定点 两焦点间的距离 的轨迹叫做椭圆，这_______________ 叫做椭圆的焦点，________________
叫做椭圆的焦距．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( )
阶 段 一
阶 段 三
2．2 椭圆 2．2．1 椭圆及其标准方程
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
1．了解椭圆标准方程的推导． 2．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 3．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 椭圆的定义 阅读教材 P38“思考”以上部分，完成下列问题．