3.4 随机变量的独立性与条件分布
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概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)
即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1
1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e
x1
/
3
d
x1
)dx2
x1
9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0
§3.4相互独立的随机变量
故有b 1
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
3.4 随机变量的独立性
则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于 两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
3.4多维随机变量的独立性
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1
Y 0 2/9 0 1/9 1/3 1 1/9 2/9 0 1/ 3 2 0 1/9 2/9 1/3
X
0 1 2
p
X i
pi
1/3 1/3 1/3
p j
例2
Y
若X,Y具有联合分布率
xe ( x y ) , x 0, y 0 f (x, y) f X ( x) fY ( y) f ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
问X和Y是否独立？
解：f X ( x )
0
xe
( x y )
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
3. 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对任意的 x, y, 有
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
几乎处处成立，则称X,Y相互独立 .
这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立.
例3
设(X,Y)的概率密度为
一切x, y, 均有
15 45 60
y
x
xy
x
=1/2
1 dy ]dx 1800
40
10
0
15
45
x
1 [60 30 2(10 30 30 30 / 2)] 1800
解二：P(| X-Y| 5) 1 dxdy 1800 | x y | 5
y
60
40
概率论第三章第3,4节条件分布,独立性
1,2,
P X m， Y n q n2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,
1 P{ X , Y 0} 1 2 ( 3) P{ X | Y 0} 2 P{Y 0} y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x , y ) lim [F ( x, y ) F ( x, y )]/ 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u, v )dudv f ( u, y )du y . fY ( y) fY ( y)
n 2
2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m}
P{ X m ,Y n} P{ X m }
p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq
P X m， Y n q n2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,
1 P{ X , Y 0} 1 2 ( 3) P{ X | Y 0} 2 P{Y 0} y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x , y ) lim [F ( x, y ) F ( x, y )]/ 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u, v )dudv f ( u, y )du y . fY ( y) fY ( y)
n 2
2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m}
P{ X m ,Y n} P{ X m }
p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq
概率论与数理统计3-4
1 当 0 x y , 0 y 20 200 f ( x, y ) 0 其他
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，
+
+
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，
+
+
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
3.4随机变量的独立性与条件分布
fY
( y)
2π
1
16
2
e
1[ 2
(
x
1 12
)2
(
y
2
2 2
)2
]
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又
f (x, y)
1
e
1 2 (1
2
)
(
x1 12
)2
2
(
x1 1
)
(
y
2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2π1 2 1 2
故当ρ=0时，fX (x) fY ( y) f (x, y) 即X 和Y相互独立。
Px X x
2020年4月7日星期二
8
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lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
dy
x
x f X (x)dx
y
f (x, y)dy
fX (x)
y f (x, y) dy
f X (x)
称
f (x, y) fX (x)
为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。记为:
反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有
fX (x) fY ( y) f (x, y)
特别地，令 x 1, y 2
得到
1
1 从而ρ=0。
2π1 2 1 2 2π1 2
2020年4月7日星期二
7
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连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
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f X ( x) fY ( y) f ( x, y) 即X 和Y相互独立。 故当ρ=0时，
反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有
f X ( x) fY ( y ) f (x , y )
特别地，令 x 1, y 2 得到
1 2π1 2 1
2
1 2π1 2
7
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相互独立．
2018年9月4日星期二 1
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3.4 随机变量的独立性与条件分布 连续型随机变量的独立性
设 X ， Y 是二维随机变量，其联合分布函数为 F x， y ，又随机变量 X 的分布函数为 FX x ， 随机变量 Y 的分布函数为 FY y ．如果对于任意 的 x， y ，有 F x， y FX x FY y 则称 X ， Y 是相互独立的随机变量．
9
2018年9月4日星期二
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例：已知(X, Y)的概率密度为 1 2 2 , x y 1, f ( x, y ) π 其它. 0, 求 f X Y ( x | y) .
解：由
由于f(x,y)=0.故 fY ( y) f ( x, y)dx 0 当y<-1或y>1时，
当-1 ≤ y ≤ 1时， fY ( y) f ( x, y)dx
1 y 2
fY ( y)
f ( x, y)d .x 可得：
2018年9月4日星期二
1 y 2
1 2 dx 1 y2 π π
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10
因此
2 2 1 y , 1 y 1, fY ( y ) π 0, 其它. 于是，当-1 ≤ y ≤ 1时，
2018年9月4日星期二 2
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连续型随机变量的独立性
设 X ， Y 是二维连续型随机变量，其联合密度函 数为 f x， y ，
又随机变量 X 的边缘密度函数为 f X x ， 随机变量Y的边
f x， y f X x fY y
缘密度函数为 f Y y ， 如果对于几乎所有的 x， y 有，
2 X N (1,12 )，Y N (2 , 2 )
即
f X ( x) 1 e 2π 1
( x 1 )2
2 21
, x
fY ( y )
1 e 2π 2
( y 2 ) 2
2 2 2
, y
故
f X ( x ) fY ( y )
从而ρ=0。
2018年9月4日星期二
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连续型随机变量的条件分布
且对任意实数 y ，极限
0
定义:对任意给定的正数 ， 若 P x X x 0 ，
lim P Y y | x X x lim P x X x , Y y P x X x
f ( x, y) f X Y ( x | y) fY ( y )
2018年9月4日星期二
1 2 2 π , 1 y x 1 y , 2 1 y2 π 0, 其它. 目录 上页 下页
11
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即
1 2 2 , 1 y x 1 y , f X Y ( x | y) 2 1 y 2 0, 其它.
问X 和Y 是否独立？
解： 当x≤0时， 由于f(x,y)=0.故 f X ( x) 0
当x>0时， f X ( x)
f ( x, y)dy xe
( x y )
x x e dy
因此
0
2018年9月4日星期二
xe x , x 0, f X ( x) x 0. 0,
3.4 随机变量的独立性与条件分布
独立性的引入
由于 F x， y P X x， Y y
以及 FX x PX x ， FY y P Y y
可知，随机变量X 与Y 相互独立，实际上是指 ：
对于任意的x， y ，随机事件
X x
与
Y y
4
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同理
e y , fY ( y ) 0,
y 0, y 0.
从而 f X ( x) fY ( y) f ( x, y) 即X 和Y相互独立。
2018年9月4日星期二
5
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例：如果二维变量 ( X , Y ) N (1, 2 ,12 , 22 , ) ，试证： X与Y相互独立的充要条件是ρ=0． 证明：
则称 X， Y 是相互独立的随机变量 ．
特别地，上式对 f x， y 的所有连续点x， y 必 须成立．
2018年9月4日星期二 3
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例：已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为
xe ( x y ) , x 0, y 0, f ( x, y) 其它. 0,
2018年9月4日星期二 13
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同理
f X ( x)
f ( x, y )dy
x 2 6 dy 6( x x ), 0 x 1 x2 0, 其它.
于是，当0<y<1时的条件密度函数为：
1 , f ( x, y ) f X /Y ( x / y) yy fY ( y ) 0,
0
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。 记为 FY | X ( y | x)
P Y y | x X x 由于 FY | X ( y | x) lim 0
lim
2018年9月4日星期二
P x X x , Y y P x X x
8
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0
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x f ( x, y)dx dy x lim x 0 f X ( x)dx
y x
y
f ( x, y )dy f X ( x)
y
f ( x, y ) dy f X ( x)
f ( x, y ) 称 为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。 记为: f X ( x) f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X ( x) 同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为 f ( x, y) f X Y ( x | y) fY ( y )
2018年9月4日星期二
12
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例：已知(X, Y)的概率密度为
6, x 2 y x, 0 x 1, f ( x, y ) 其它. 0,
求（X,Y）的条件密度函数. 解：
fY ( y )
f ( x, y )dx
y 6dx 6( y y ), 0 y 1 y 0, 其它.
1 2 π 1 2
6
e
1 ( x 1 )2 ( y 2 )2 [ ] 2 2 2 1 2
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又
f ( x, y) 1 2π1 2 1
2
e
( x 1 )2 ( x 1 ) ( y 2 ) ( y 2 )2 1 2 2 2 2(1 2 ) 1 2 1 2
yx 其它.
y,
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