等比数列的定义上课讲义
等比数列的概念及通项公式-上课PPT课件
等比数列
-
1
引例：
❖ ① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
-
2
引例：
a1 q a1 q
2 3
12 18
-
a312,a14118,
an 1 an
q
例1. 一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和
１８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
16 与 8 .
ana1•qn1
3
解得 a1a4 a 2 a 3
因此， q
3 2
不是
等比数列中不 能存在为0的
项。
-
7
二、等比数列的通项公式：a n 1
an
q
思考：如何用a1和q表示第n项an？
❖ 方法：叠加法
等 a3 a2 d
差 数 列
a4 a3 d
ana1(n1)d
……
类比
+）an a1qn1
累乘法 a 3 q
等 比
a2
a4 q a3
数 列
an q n1
…a1 …
×） a2a1d
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木
棒，每日取其一半，
1 1 1 1 永远也取不完” 。 1，，，， ，… 如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
2 4 8 16
则每日剩下的部分依次为：
8.3 等比数列——讲义
8.3等比数列【考纲要求】1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，了解等比数列与指数函数的关系；2. 能熟练应用等比数列的性质解决有关问题；3. 掌握等比数列的前n 项和公式；【考情分析】本节在高考中主要考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式和等比数列性质等，同时考查等差、等比数列的综合应用，方程思想，分类讨论思想，以及整体代换思想；以定义及其等比中项为背景考查等比数列的判定；以填空填的形式考查基本概念，基本公式和基本方法，综合性问题多以解答题形式出现，包括数列内部知识的综合和与其他内容的综合等.【知识回顾】一、 等比数列的定义1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示.2.数学符号语言：在数列{}n a 中，若1(),n nq n N a q a *+∈=为常数，则{}n a 称这等比数列.二、 等比数列的通项公式1.若已知等比数列的首项为1a ，公比为q ，则11(0)n n a q a q -=≠. 2.若已知等比数列的第m 项m a 和公比q ，则(0)n mn m a qa q -=≠.三、 等比数列的递推公式：1(0)n n a q q a +≠=.四、 等比中项如果,,a G b 成等比数名，那么G 叫做a 与b的等比中项，且0)G ab =>.在等比数列中，从第二项起每一项（有穷数列最后一项除外）都是它前一项与后一项的等比中项，即211(2)n n n a a a n N n *-+=⋅∈≥且.五、 等比数列的公比公式：11n n q a a -=或n mn mqa a -=.六、 等比数列的通项公式的推导方法1. 归纳法：由定义可知：2321321431,,,a q a a a q a q a a q a q =====⋅⋅⋅归纳得：11n n a qa -=2. 迭代法：根据等比数列的定义有：232112321n n n n n n a qa q a q a q a q a -----====⋅⋅⋅==3. 累商法：由递推关系有：3241231,,,,n n a a a a a q q q q a a a -===⋅⋅⋅=累乘得：132121n nn a a a q q q qa a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=即11()n n a qa n N -*=∈七、 等比数列的性质1. 若(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈，则m n p q a a a a ⋅=⋅；若2(,,)m n r m n r N *+=∈，则2m n r a a a ⋅=；2. 在有穷等比数列{}n a 中，与首末两项等距离的两项之积相等，且等于首末两项之积，即122n n a a a a -⋅==⋅⋅⋅3. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，从中每隔m 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为mq ，即2,,,k k m k m a a a ++⋅⋅⋅成等比数列，公比为mq .4. 若{}n a ，{}n b 是等比数列，则（1）{}(0)n a λλ≠仍是公比为q 的等比数列；（2）1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（3）{}kn a 是公比为kq 的等比数列；（4）{lg ||}n a 是公差为lg ||q 的等差数列； （5）{}n n ma b ⋅是公比为qq '的等比数列. 5. 等比数列的单调性（1） 若10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列{}n a 为单调增数列； （2） 若10,01a q ><<或10,1a q <>时， 数列{}n a 为单调减数列； （3） 当1q =时，数列{}n a 为常数列；（4） 当0q <时，数列{}n a 为摆动数列，且正负两项交替出现.八、 等比数列前n 项和1.公式：设{}n a 为等比数列，公比为q ，则其前n 项和公式为111(1))(1)(1)11n nn na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2.推导：等比数列{}n a 前n 项和公式的推导方法——错位相减法（1） 归纲法：由定义知：3321321431,,,a a q a a q a q a a q a q =====⋅⋅⋅ 归纳得：11()n n a a qn N -*=∈（2） 迭代法：2311231n n n n n a a q a q a q a q ----====⋅⋅⋅= （3） 累商法：由递推关系式知3241231,,,,nn a a a a q q q q a a a a -===⋅⋅⋅=累乘得：2a 31a a ⋅2a 4a ⋅3a 1n n a a -⋅⋅⋅1n q q q q q-=⋅⋅⋅⋅⋅=所以1111n n n n a a qa a q--=⇒=九、 等比数列前n 项和的性质1. 等比数列{}n a 的前n 项和n S ,则232,,n n n n n S S S S S --构成等比数列.（当1,q n =-为偶数时，上述性质不成立）证明：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，当1q =时，12131,2,3,n n n S S S na na na ===显然232,,n n n n n S S S S S --成等比数列. 当1q ≠时，2311123(1)(1)(1),,,111nnnn n n S S S a q a q a q qqq ---===---则2112()(1)11nnnnn n S S a q qa q q qq---==--，2321132()(1)11nnnnn n S S a qq a qq qq---==--所以2222122((1))(1)nnn n S S a qq q --=-，2222111322(1)(1)(1)()11(1)nnnnnn nn S S S a q a q q a q q q q q ----=⋅=--- 2322()()n n n n n S S S S S ∴-=- 232,,n n n n n S S S S S ∴--成等比数列.2. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则(,)nm n n m S S S q m n N *+=+∈. 证明：121m n n n n m S a a a a a +++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12()n n m S q a a a =+++⋅⋅⋅+ nn m S S q =+3. 在等比数列{}n a 中，公比为q ，项数为2n ，若用,S S 奇偶分别表示奇数项与偶数项的和，则有S S q =偶奇.十、 等比数列与函数1. 通项公式与函数的关系等比数列{}n a 的通项11n n a a q -=还可以改写成1()nn a a q q=⋅.当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，所以n a 可以看成一个非零常数与指数函数的积，因此，等比数列的通项公式n a 是关于n 的函数，其各点(,)n n a 是函数1()nn a a q q=⋅上一群孤立的点.2. 前n 项和与函数的关系等比数列{}n a 的前n 项和1(1)1nn S a q q -=-可以改写成1111nnn S a a q mq m q q=-+=-+--.则n S 可以看成由一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数互为相反数，由此又可得到判定一个数列是等比数列的一种方法，公比1q ≠的等比数列是(0,1,0)n n S mq m m q q =-+≠≠≠的充要条件.十一、 判断等比数列的常用方法1.利用定义：1n n a a q -=（q 是常数且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列.2.等比中项法：211(20)n n n n a a a n a -+=⋅≥≠且⇔{}n a 为等比数列.3.通项公式法：11n n a a q -=（,a q 均不为0的常数）⇔{}n a 为等比数列.4.前n 项和：(0,1,0)n n S mq m m q q =-+≠≠≠⇔{}n a 为等比数列.。
高中数学讲义：等比数列性质(含等差等比数列综合题)
等⽐数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ¹，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q-=×，也可以为：n mn m a a q-=×3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=Þ=（2）若{}n a 为等比数列，则n N *"Î，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+Û=4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na =当1q ¹时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，设11ak q =-，可得：n n S k q k=×-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有①数列{}n ka （k 为常数）为等比数列②数列{}na l （l 为常数）为等比数列，特别的，当1l =-时，即1n a ìüíýîþ为等比数列③数列{}n n a b 为等比数列④数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212k m n mm m m k mkn n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L 2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=Î（2）通项公式：n n a k q =×（指数类函数）（3）前n 项和公式：n n S kq k=-注：若()n n S kq m m k =-¹，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *"Î，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ìüíýîþ前n 项和n T 的关系()111n n a q S q-=-，因为1n a ìüíýîþ是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n n n n q a q q q T q a q q a q q-éùæö--êúç÷èøêú-ëû===---×()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T qq ----=×=--例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（）A.64 B.64- C.8 D.8-思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-×=-思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =-答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
(经典)讲义：等比数列及其前n项和
（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，同乘q得：qS n＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1q n，两式相减得(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1?1－q n?1－q(q≠1)．7.1由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．632++若已“知三求二”.1.,成公比为的公比为q,成等比数列理解例题1:在等比数列中， （1）已知13,2,a q ==求66,a S ；（2）已知1112.7,,,390n a q a =-=-=求n ；（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；（4）已知3339,22a S ==求1,a q ；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)55613296a a q ==⋅=.66161S =(2)n a (3) (4) a S ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （2 2∴ 当知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.理解例题分析: 解法一: 2m m S S ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩解法二: ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.三、 例题（一） 题型分类全析1．等比数列前n 项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a 及n . 思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n .本题有关等比数列前n 项和的基本运算的考查.解:由已知可得 总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠∴96320q q q --=,即63210q q --=,即33 故2笔记不明确,转化为关于1,a q 的方程组求解. 本题考查了等比数列前n 项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知q 的2例3思路直现:解: {n a2,S S ∴故4S 4,S ∴笔记：次k 项和,成等比数列来解决3,n n S S ,例4 首项为1的等比数列的和为思路: 解： q ∴=故8n =阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.增根. 本题考查了等比数列的性质. 注意S qS =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.3．某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+，求该数列的前n 项和n S ； (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+，求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++ (2)笔记:例6思路:解：n S 笔记:的前n 考查数列的分组求和问题.例7:（2007天津）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．思路直现: (1)由递推关系式构造出数列n a n -,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出{}n a 的前n 项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n N *∈．本小题考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明 利用递推关所以数列{}n a n -是首项为111a -=，且公比为4的等比数列． (Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=， 14n n a n -∴=+．(Ⅲ)证明：对任意的n N *∈，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出n a n -的形式,并证明其为等比数列.例8: （3414n n n n a a b a --⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（I ）令n c （II 思路:(1) （II 阅题: 解答本题的方法,应整体考虑.系式证明数列成等比. 利用分组求和法求和 利用作差比较法证明不等式. 建议：学会解题的技巧，有时候题目的四、习题一、选择题1.（2008福建) 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为A.63B.64C.127D.128 2.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=A.16(14)n --B.16(12)n --C.32(14)3n --D.32(12)3n --3.（2008海南）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A. 2B. 4C.152 D. 1724．(2007陕西) 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,14n n S S == 则4n S 等于A.80B.30C. 26D.16 5．（2006辽宁） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -6.数列11111,2,3,4,24816的前n 项和为（ ）211n 111n -211n 11n 7.2n ++=B.112n --8.9 15n 712-2. C. 分析：{}n a 为等比数列，352a a q ∴=，311242q q ∴=⋅⇒=设1n n n b a a +=，{}n b ∴是首项为8，公比为14的等比数列.122311218[1()]324(14)1314n n n n na a a a a ab b b -+-+++=+++==--，3. C 分析: 414421(1)1215122a q S qa a q ---===-4. B 分析: {}n a 为等比数列，23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ∴---成等比2322()()n n n nnS S S S S -=-即22222(14)(2)6n n n S S S -=-⇒=或24n S =-{}n a 各项均为正数，故2n n S S >，故26n S =，432,4,8,n n S S ∴-成等比，所以4316n n S S -=，430n S ∴=5. D 分析: 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为328=的前4n +项和，根据等比数列的求和公式可得D6.C 分析：因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则2212112221(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++=++⇒+=++⇒+=2(12)01n a q q q ⇒+-=⇒=，即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列课件
等比数列课件一、等比数列定义等比数列是一种特殊的数列，它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。
这个常数被称为公比。
定义一个等比数列需要给出它的首项和公比，通常用符号表示为{an}，其中a1是首项，q是公比。
二、等比数列通项公式等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中n是项数，a1是首项，q是公比。
这个公式表明，等比数列的任意一项都是首项乘以公比的n-1次方。
三、等比数列的性质1. 等比数列的任意两项之积等于这两项之和，即a(n+2)/a(n+1) = a(n+1)/a(n)。
2. 等比数列的各项之和等于首项乘以公比减去1，即Σan = a1 * q - 1。
3. 等比数列的各项之积等于首项乘以公比的n次方减去1，即Πan = a1 * q^n - 1。
四、等比数列的图像表示等比数列的图像是一条递减或递增的曲线，它的图像可以用来直观地了解等比数列的性质和特点。
在图像中，公比q的大小决定了曲线的陡峭程度，而首项a1的大小决定了曲线在y轴上的位置。
五、等比数列的应用等比数列在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经济、工程等领域都可以找到它的踪迹。
例如，在银行利率计算中，等比数列可以用来计算复利；在股票价格计算中，等比数列可以用来计算股息等等。
六、等比数列的例题讲解例题1：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
解：根据等比数列的性质，该数列的前5项之和为Σan = a1 * q - 1 = 2 * 3^5 - 1 = 242。
例题2：一个等比数列的各项之和为10，前三项之积为91，求该数列的公比。
解：根据等比数列的性质，该数列的公比q满足方程：Σan = a1 * q - 1 = 10 和Πan = a1 * q^3 - 1 = 91。
解得q = 3或-3/2。
七、课后练习与答案1. 计算下列等比数列的前5项之和：a) 首项为4，公比为2；b) 首项为-3，公比为-4。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的世界里，等比数列是一种非常有趣且重要的数列形式。
那到底什么是等比数列呢？简单来说，等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
这个常数就被称为公比，通常用字母 q 来表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，公比 q ＝ 2。
再比如数列 10，5，25，125，0625也是等比数列，公比 q ＝ 05。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是研究等比数列的重要工具，它可以帮助我们快速求出数列中的任意一项。
通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。
以等比数列 2，4，8，16，32为例，首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2。
那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 2×2^4 ＝ 2×16 ＝ 32，与数列中的实际值相符。
通项公式的作用非常大，只要知道了首项、公比和项数，就可以轻松求出任意一项的值。
三、等比数列的性质1、等比中项如果在 a、b 两个数之间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a、b 的等比中项。
根据等比数列的定义可得：G^2 ＝ ab ，所以 G ＝±√（ab) 。
例如，在 2 和 8 之间插入一个等比中项 G，G ＝±√（2×8) ＝ ±4 。
2、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。
比如在等比数列 3，6，12，24，48中，a2×a5 ＝ 6×48 ＝ 288 ，a3×a4 ＝ 12×24 ＝ 288 ，两者相等。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式有两种情况：当公比 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 。
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半
半
半
半
木
棰
长
度 为
1
......
木棰
1
1
1
1
长度
2
4
8
16
......
观察上述情境中得到的这几个数列，看有 何共同特点?
2, 4, 8, 16, …;
①
111
1, , , ;
②
248
1, 20, 202, 203, … ；
③
-2, 2, -2, 2, ….
④
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
注意：
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
思考：
如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b 成等比数列，那么G应该满足什么条件？
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 aq2 12 1
aq3 18 1
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a aq1638
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是
3
与 8.
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课堂互动
(1)一个等比数列的第5项是 4 ,公比是 1 ，求它的第1项；
即： G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
G ab (ab 0)
注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.
练习：
（ 1 ） 求 4 5 与 8 0 的 等 比 中 项
60
（ 2）已 b是 知 a与 c的等比中 ab项 c2,7 ， 求 b且
b3
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an(qa1q0n， 1 nN*)
通项 公式1
ana1((nn 1N)d* )
an(qam0q， nnm,mN*)
通项 公式2
anam(n(n, mm)Nd*)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2Aab
课后作业
精讲精练、创新
已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成 等比数列,求a2=？
(0，… (7) 1, a, a2, a3 , … (8) x0, x, x2, x3 , … (9) 1，2，6，18，…
不是 不是 是 a1=x0, q=x 不是
小结：判断一个数列是不是等比数列， 主要是由定义进行判断：
看 a n 1 是不是同一个常数？ an
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如 果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
是
a1
1 2
，q 1 2
是 a1=5, q=1
(4) 1，-1，1，-1，… 是 a1=1, q= -1
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练习： 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝5, 且2an＋1＝－3an .
(2)a31, a59
课堂小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数 概念 一项的差等于同一个常数
公比(q )
公差(d )
q可正、可负、不可零 常数 d 可正、可负、可零
5.等比数列通项公式的推广：
a n a m q n m (a m ,q 0 ； m ,n N * )
6.等比数列的公比公式：
qa n 1 ， q n 1a n ， q n m a n
a n
a 1
a m
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
例、一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
9
3
解：设它的第一项是 a ，则由题意得 1
a1
( 1)51 3
4 9
解得， a1 3 6
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是
a ，公比是 1
q
，则由题意得
a1q10 ， a1q2 20
解得， a1 5 ， q 2
因此 a4 a1q340 答：它的第一项是5，第4项是40.
一、等比数列的通项公式:递推法
a2 a1
qa2
a1q
a aa a 4 32 3 … …q q a a4 3
a2qa1q2
a3qa1q3
an a1qn1
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等比数列的通项公式：叠乘法
a2a 3a 4a 5...a .n ..anqn 1 a 1 a2 a 3 a4 an 1 a 1
an a1qn1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0，即an 0 （3） q=1时，{an}为常数列；
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4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通
项公式为：a n a 1q n 1 (a 1 ,q 0 ； n N * )
分析： 由a, G, b成等比数列得：
Gb G2a bGab aG
反之，若 G2 ab, (ab>0)
则
G b, aG
即a,G,b成等比数列. 2
∴a, G, b成等比数列 G ab (ab>0)
3.等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G， b成等比数列，那么称这个数G为a与 b的等比中项.
等比数列的定义
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对折
对
对
对
纸的 n
次数
折 一 次
折 二 次
折 三 次
对
对
折 四 次
…...
折
n
次
…...
纸的
2
层数
48
1 6 …...
情境二:《庄子·天下篇》中写到： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
第
第
第
第
第
一
二
三
四
n
天 取
天 取
天 取
天 取
......
天 取
设
半
练习．在等比数列{an}中，
a 1 a n 6 6 ,a 2a n 1 1 2 8 ,且q=2，求a1和n.
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，每一
项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q (q≠0) 表示.
2.等比数列定义的符号语言:
a n1 q an
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
[或 a n a n1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)