最新人教A版必修一高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教学设计
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案精讲 新人教A版必修1
3.1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[读教材·填要点]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．[小问题·大思维]1．函数的“零点”是一个点吗？提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a为何值？提示：f(1)＝a＋2＝0，∴a＝－2.3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？提示：不一定．可能y＝f(x)在x＝a或x＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如图所示．求函数的零点[例1] 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．[自主解答] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，即(x3－x)－(6x－6)＝0，∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.——————————————————求函数y＝f x的零点通常有两种办法：其一是令f x＝0，根据解方程f x＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f x的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.——————————————————————————————————————1．求下列函数的零点．(1)y＝x2－2x；(2)y＝ln x－2.解：(1)令y＝x2－2x＝0，则x＝0或x＝2，∴y＝x2－2x的零点为0,2.(2)令y＝ln x－2＝0，则ln x＝2＝lne2.∴x＝e2.∴函数y＝ln x－2的零点为e2.[例2] 函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[自主解答] 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数一个零点在(0,1)．[答案] C——————————————————确定函数零点、方程根所在区间，通常利用函数零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应函数值符号是否相反.——————————————————————————————————————2．方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是( )A．(－∞，0) B．(0.1,1)C．(1,2) D．(2,4)解析：由于lg x有意义，所以x>0.令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点．答案：B[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[自主解答] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．——————————————————1若函数f x在[a，b]上单调，且f a f b<0，则f x存在零点，且在a，b上只有1个零点.2若通过构造有f x＝g x－h x，且g x、h x图象容易作出，则f x的零点个数就是g x与h x图象交点个数，通过作图容易得到f x零点个数.3特别地，对于二次函数的零点个数可以通过Δ来判断.——————————————————————————————————————3．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图所示．由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，∴函数f(x)有一个零点．f(2)＝log22＋22－7＝－2，f(3)＝log23＋23－7>0，∴f(2)·f(3)<0.∴零点的一个大致区间为(2,3).k的取值范围．[巧思] 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，知函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧k >0f1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f1>0，解出即可．[妙解] 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．1．函数f (x )＝lg x ＋12的零点是 ( )A.110 B.10C.1010D ．10解析：∵lg x ＋12＝0，∴lg x ＝－12，∴x ＝10－12＝1010.答案：C2．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A ．[0，18]B ．[18，14]C ．[14，12]D ．[12，1]解析：f (14)·f (12)＝(π4＋log 214)(π2＋log 212)＝(π4－2)(π2－1)＜0答案：C3．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．不能确定解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：A4．若函数f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，则a 的取值范围是________． 解析：∵Δ＝(－1)2－4×1×a ＝1－4a .而f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，即方程x 2－x ＋a 有两个不相等的实数根．∴Δ>0即a <14.答案：(－∞，14)5．若函数f (x )＝x －1x，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是________． 解析：∵f (x )＝x －1x ，∴f (4x )＝4x －14x. 则g (x )＝4x －14x －x ，令g (x )＝0.有4x －14x －x ＝0，解得x ＝12. 答案：126．试判断方程x 3＝2x在区间[1,2]内是否有实数根？解：因为函数f (x )＝x 3－2x的图象在区间[1,2]上是连续曲线，并且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－4＝4>0，所以f (1)·f (2)<0，所以函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数根．一、选择题1．若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0B ．若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )·f (b )＞0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0D ．若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0 解析：由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B ，可通过反例“f (x )＝x (x －1)(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C 可通过反例“f (x )＝(x －1)·(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．答案：D2．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12)x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－(12)x在定义域内有唯一零点．答案：B3．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 003B ．1 004C．2 006 D．2 007解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 003个零点，∴在(－∞，0)上也有1 003个零点，又∵f(0)＝0，∴共有2 006＋1＝2 007个．答案：D4．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解有( )A．3个B．2个C．至少一个D．0个解析：令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.答案：C二、填空题5．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为________.x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5解析：令f(x)x由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，由于f(1)·f(2)＜0，所以一个根所在的区间为(1,2)．答案：(1,2)6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．答案：①②③7．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．解析：取g (x )＝ln x h (x )＝x －2则f (x )的零点也就是g (x )与h (x )的交点如下图：答案：28．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．讨论函数f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )的零点． 解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，综上所述其零点为x ＝1a或x ＝2.10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1) (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的零点；解：(1)要使函数有意义：则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0解之得：－3＜x ＜1， 所以函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3) ＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1， 即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.∵－1±3∈(－3,1)，∴f (x )的零点是－1± 3.。
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1
3．1.1 方程的根与函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．[知识链接]考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案[1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在的判定方法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )＜0不一定成立．要点一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0， 得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1， 所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．跟踪演练1 判断下列说法是否正确： (1)函数f (x )＝x 2－2x 的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f (x )＝x －1(2≤x ≤5)的零点为x ＝1.解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错． 要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上． 规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．跟踪演练2 函数f (x )＝e x＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0，∴f (x )在(0,1)内有零点． 要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 方法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10) 答案 D解析 因为f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f (9)·f (10)＜0，所以y ＝lg x －9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 在同一坐标系画出函数y ＝2x，及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x 2＝0的解的个数为3.5．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个不同零点，则实数a 的范围是________． 答案 (－∞，1)解析 由题意可知，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同解， 故Δ＝4－4a ＞0，即a ＜1.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是( )A.(－1,0) B．C．(1,2) D．(2,3)答案 C解析由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．4．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案 B解析f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f(2)·f(3)＜0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )A．(0,2) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1，a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0，f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点， 故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点． 三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3，∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝4＞0，f ＝5－2a ＜0，f ＝40－12a ＜0，f＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.。
高中-数学-人教A版-数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 教学教案
3.1.1方程的根与函数的零点一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版A 版必修1第三章第一节第一课时的内容，本节课是属于基本初等函数第一部分的知识，在此之前，学生已经学习了指数函数，对数函数，幂函数及其基本性质，这为过渡到本节课的学习奠定了基础。
本节内容是对学生已经学习过的函数知识的延伸和拓展，又是后续学习运用二分法求解方程的近似解的基础。
它是整个高中数学教材体系中起着承上启下作用的核心知识之一，地位至关重要。
二、 教学目标知识与技能目标：理解函数零点的概念以及方程的根与函数的零点之间的关系，掌握函数零点存在的判定方法，能够利用函数单调性判断函数零点的个数。
过程与方法目标：通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论，体验从特殊到一般的认知的过程和数形结合的思想方法。
情感态度与价值观目标：通过师生，生生之间的讨论互动，学生提高合作交流的能力，在探索解决问题的过程中，体验学习的成就感。
4 教学重难点重点 函数零点的概念；函数零点的判别定理以及函数与方程的关系。
难点 函数零点概念的理解 。
三、教学过程 （一）新课导入1、判断下列方程根的个数，并求出方程的解（1）2230x x --= （2）2210x x -+= （3）2230x x -+= 2、分别作出（1）中方程相对应的函数图象，并完成下列表格：通过对以上两个问题观察与解答，请学生进一步思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系呢？根据学生的回答，引导学生得到以下结论：以上三个方程的根就是其对应的函数图象与x 轴交点的横坐标。
设计意图：从学生所熟知的二次函数入手，使学生发现问题，这样既训练了学生的观察和识图能力，更重要的是使学生体会知识之间的相互联系，也为后面继续学习一元二次不等式奠定基础。
二、一般探索，得出结论这样的结论对于特殊的一元二次方程及其相对应的函数是成立的，那么对于一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？带着这样的问题，我将引导学生填写下列表格。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1
§3．1函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用4．培养学生动手操作的能力教学重点：确定方程实数根的个数教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法教学过程：引入问题一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：1．函数零点的定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有2．一般结论方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3．函数变号零点具有的性质对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有（1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。
如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。
（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
4．注意点（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。
（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。
5．勘根定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教学设计1新人教A版必修1
师：提出探究，请一个小组到大屏前进行探究过程，巡视各小组完成情况，帮助学生解决相应问题，参与小组内的讨论，给予恰当及时的评价与鼓励，小组成果展示后教师对每个小组的成果进行点评总结
生：小组合作探究，明确分工，完成小组探究，完成进行展示，出现问题向教师求助
五、教学资源和工具设计
教师制作PPT，设计学案（纸质）
图形计算器或者图形计算器软件，计算机，交互式触摸白板
图形计算器为教师和学生提供了一个研究函数的平台，利用图形计算器可以给学生提供一个高效快捷研究函数的环境，有助于学生的理解和探究。
六、教学重点及难点
教学重点：方程的根与函数的零点的关系
教学难点：函数的零点的判断
生：独立按时完成，能力较弱的只要完成1、2两题即可
分层完成课堂反馈有助于不同的学生得到适于本身的收获
学生回归数学方法，教师检验学生对所学知识的掌握情况
PPT展示
（六）收获小结
要解决函数 的零点问题，我们可以通过什么方法？
师：提出问题
生：进行解决方法说明
对本节课所学知识和解决本节课相关问题的方法于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点
师：提出问题，根据学生回答板书问题的答案
生：思考分析定义并回答问题
检验学生的自学成果，并且落实教学重点，完成部分教学目标。
PPT展示
函数零点的定义
（三）
合作探究
结合函数的零点的定义，利用图形计算器探究函数 的图象形状与函数的零点个数之间的关系。
15
10
5
0
会应用所学知识解决函数的零点的相关问题
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15
10
5
过程与方法
高中数学 3.1 函数与方程 1 方程的根与函数的零点(一)教学案新人教A版必修1
§3.1.1 方程的根与函数的零点(一)【教学目标】1.知识与技能理解函数(二次函数)零点的概念;领会函数零点与相应方程的关系;掌握零点存在的判断条件. 2.过程与方法通过观察二次函数的图像,并计算函数在区间端点处的函数值的积的符号,找到图像连续不断的函数在某个区间上存在零点的判断方法.3. 情感、态度、价值观从函数的零点和方程根的内在联系中体验数学中的转化思想的意义和价值;培养学生观察能力和抽象概括能力【预习任务】阅读P86-88页，完成下列任务1.理解一元二次函数y=ax2+bx+c的图象与相应方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根之间的关系.设判别式△=b2-4ac（1）当△>0时，一元二次方程有两不等实数根，写出与相应二次函数的图象间的关系（2）当△=0时，一元二次方程有两相等实数根，写出与相应二次函数的图象间的关系（3）当△＜0时，一元二次方程没有实数根，写出与相应二次函数的图象间的关系2.理解函数零点概念并记忆①写出函数的零点定义；②函数的零点与相应方程的根、与相应函数的图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？③如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数且图像是连续不断的，零点c (a,b),判断f(a)·f(b)的符号.3.写出零点存在定理并记忆；【自主检测】1．函数f(x)= x 2-2x -3①判断方程x 2-2x -3=0根的个数.②方程x 2-2x -3=0的根与二次函数f(x)= x 2-2x -3的零点有什么关系？③-1是方程x 2-2x -3=0的一个根，介于-2与0之间，判断f(-2)∙f(0)的符号.2．函数f(x)=lnx －2x的零点所在的大致区间是（ ） A.（1，2） B.（2，3） C.（1e ,1）和（3，4） D.（e,+∞）【组内互检】1.写出函数的零点定义；2.函数的零点与相应方程的根、与相应函数的图象与x 轴交点的横坐标之间的关系。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1
3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)教学目标：知识与技能：理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件.过程与方法：零点存在性的判定.情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定.难点：零点的确定.一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根与二次函数y ax2 bx c(a 0)数的图象有什么关系?先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型.方程x22x30与函数y 2 x2x3;方程 2x2x10与函数y 2 x2x1；方程 2x2x30与函数y 2 x2x3;交点的横坐标.二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数y f (x)，我们把使f(x) 0的实数x叫做函数y f (x)的零点(zero point ).显然，函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0的实数根，也就是函数y f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.一兀二次方程ax bx c0(a0)有两不同根就是相应的—次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)无实数根就是相应的二次函数y 2 ax bx c0的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2bx c0(a 0)的根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴的再请同学们解方程, 并分别画出三个函数的草图.方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x 轴有交点 函数y f(x)有零点.2、函数零点的判定:第I 组能说明他的行程中一定曾渡过河 ，而第n 组中他的行程就不一定曾渡过河。
高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教案1 新人教A版
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学内容分析：本节课选自高中数学人教A版必修1第三章《函数与方程》第一节《方程的根和函数的零点》。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
学生在学习了基本初等函数之后，对于函数的概念已经有了更进一步的认识，并掌握了研究函数性质的一些方法，初步了解数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法。
函数作为高中的重点知识，有着广泛的应用，与其他数学有着有机联系。
本节课选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的焦点的横坐标之间的关系作为教学的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，充分体现了函数图像与性质的应用。
因此把握课本要从三方面入手：新旧知识的练习，学生的认知规律，数学思想方法。
学生学习情况分析学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，故采用一些形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。
学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。
这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。
但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。
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课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
教学目标：
知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法零点存在性的判定．
情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点：
重点零点的概念及存在性的判定．
难点零点的确定．
教学程序与环节设计：
结合二次函数引入课题．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．
教学过程与操作设计：。