江西九江地区瑞昌第四中学2014-2015学年九年级下学期第一次月考数学试题

2014—2015学年下学期瑞昌四中第一次月考数学试卷暨中考模拟试卷2015.4一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.1、下列各数中，最大的是（ ）A 、0.1B 、0.11C 、0.02D 、0.12 2． 2011年云南省第二产业实现增加值3990.97亿元， 3990.97亿元用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（ ）元A 、399×109B 、3.99097×1011C 、4.00×1011D 、3.99×10113、下列运算不正确的是（ ）A 、﹣（a ﹣b ）=﹣a+bB 、a 2•a 3=a 6C 、a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2D 、3a ﹣2a=a 4、已知一次函数y=﹣x+b 的图象经过第一、二、四象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、25.已知函数y 1=x 2与函数y 2=-x+3的图象如图所示,若y 1<y 2,则自变量x 的取值范围是().A.-<x<2B.x>2或x<-C.-2<x<D.x<-2或x>6．如图，已知A 、B 是反比例函数y ＝ kx（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7、计算：（﹣2）2﹣1= ．8、因式分解：3a+12a 2+12a 3= ．9．如图，现有一个圆心角为90°，半径为16cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm. 10.如图,有一长为4 cm,宽为3 cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点A 的位置变化为A→A 1→A 2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板边沿A 2C 与桌面成30°角,则点A 翻滚到A 2位置时,共走过的路径长为.11．把二次函数y=（x ﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ． 12.如果不等式组有解,则m 的取值范围是___________13．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是 ．三、（本大题共4小题，每小题6分，共18分）15解方程组．16．化简代数式，并判断当x 满足不等式组时该代数式的符号．17．小张同学去展览馆看展览，该展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？出口C出口D展览大厅验票口A验票口B18在格点图中画出一条直线AM,点M必须在格点上.图(1) AM把三角形周长平分。

图（2）AM把三角形面积平分图(3) AM把三角形周长面积同时平分。

四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．20．已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km ，一艘货轮从B 港口以40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min 后达到C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长（精确到0.1km ）．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24）A D C E PB FM NQ21.如图，矩形ABCD的顶点A坐标为（0，0），顶点B的坐标是（﹣2，1），顶点C在y轴上．（1）求点D的坐标；（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点H．过点H的反比例函数图象交FG于点I．求△AHI的面积；（3）小明猜想△AHI是一个直角三角形，他的猜想对吗？请谈谈你的看法．22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当DF：DE=2：1时，∠BAC的度数为多少？说明理由．23.（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F 分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥C F；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．24.（12分）已知：如图1，二次函数y=a（x﹣1）2﹣4的图象交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，且OB=3OA．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，M是抛物线的顶点，P是抛物线在B点右侧上一点，Q是对称轴上一点，并且AQ⊥PQ，是否存在这样的点P，使得∠PAQ=∠AMQ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，设（1）中抛物线的顶点为M，R为x轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R旋转180°得到抛物线C：y=﹣a （x﹣h）2+k交x轴于D，E两点．若1tan∠BME=1，求R点的坐标．答案一．DDBDCA二．3；2(1)2=-+-y xa a+； 4； 3.5π；23(21)3m≤；（14，14）； 1或22三．15.16略17.18.略19. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，∵QE⊥AB，MF⊥BC，∴∠AEQ=∠MFB=90°，∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，又∵PQ⊥MN，∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°，∵∠1=∠2，∴∠EQP=∠FMN，又∵∠QEP=∠MFN=90°，∴△PEQ≌△NFM；（2）解：分为两种情况：①当E在AP上时，∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，∴PA=1，PE=1﹣t，QE=2，由勾股定理，得PQ==，∵△PEQ≌△NFM，∴MN=PQ=，又∵PQ⊥MN，∴S===t2﹣t+，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S=2．最小值②当E在BP上时，∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，∴PA=1，PE=t﹣1，QE=2，由勾股定理，得PQ==，∵△PEQ≌△NFM，∴MN=PQ=，又∵PQ⊥MN，∴S==[（t﹣1）2+4]=t2﹣t+，=2．综上：S=t2﹣t+，S的最小值为2．∵0≤t≤2，∴当t=1时，S最小值20. 解：在Rt△ADB中，sin∠DAB=，sin53.2°≈0.8，所以AB==20，如图，过B作BD⊥AD于点D，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC﹣∠DAB=79.8°﹣53.2°=26.6°，tan∠BAH=，∵tan26.6°≈0.50，∴0.5=，AH=2BH，BH2+AH2=AB2，BH2+（2BH）2=202，BH=4，所以AH=8，∵货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，∴BC=40×=10km，∴CH===2（km）在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，CH=2km，所以AC=AH﹣CH=8﹣2=6≈13.4km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km．21. 解：（1）过B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，在△ABC和△ACD中，，∴△ABC≌△ACD，∴BM=DN=2，过点B，D作x轴的垂线BP，DQ，则OP=AQ=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAP+∠DAQ=90°，又∵∠BAP+∠ABP=90°，∴∠BAP=∠ADQ，∴△OBP∽△DAQ，∴=，即=，∴DQ=4，则D的坐标是（2，4）．（2）（3）设直线OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，因而函数解析式是y=2x，在直角△OBP中，根据勾股定理得到OB=，∴OE=OB=，即H点的纵坐标是，把y=代入y=2x，得到x=，则H点的坐标是（，），设反比例函数的解析式是y=，把H点的坐标（，）代入解得k=，则解析式是y=，在直角△ADQ中，根据勾股定理得到OD==2，∴OG=OD=2，则I点的横坐标是2，把x=2代入解析式得到y=，则I点的坐标是（2，），∴OH2=，OI2=HI2=，∵+=，即AH2+HI2=AI2，∴△AHI是一个直角三角形，∴△AHI的面积是•÷2=．22.解：（1）证明：连接OD，AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，又AB=AC，∴AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，又EF⊥AC，∴EF⊥OD，则EF为圆O的切线；（2）∵OD∥AE，DF：DE=2：1，∴DF：DE=FO：AO=2：1，即FO=2AO，∵FO=OB+BF，∴OB=BF，在Rt△ODF中，B为斜边的中点，∴BD=OB=BF=OF，∴OD=OB=BD，即△OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，∵OD∥AC，∴∠BAC=∠DOB=60°．23. 解：（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=A C﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．关于抛物线对称轴对称，所以∴△AMG∽△PAQ，得：=，即∴△AQG∽△QPH，得：==AG=1=，即：；BQ=10。