高三数学阶段性测试卷
高三数学阶段性复习试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 的图像与直线 \( y = kx + b \) 有三个不同的交点，则 \( k \) 和 \( b \) 的取值范围是（）。
A. \( k > 0, b > 0 \)B. \( k < 0, b < 0 \)C. \( k > 0, b < 0 \)D. \( k < 0, b > 0 \)2. 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \( a_1 = 3 \)，\( a_5 = 11 \)，则\( a_{10} \) 的值为（）。
A. 21B. 23C. 25D. 273. 若复数 \( z = a + bi \) 满足 \( |z - 1| = |z + 1| \)，则 \( z \) 在复平面上的位置是（）。
A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于第二象限D. 位于第三象限4. 已知函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)，则 \( f(x) \) 的定义域是（）。
A. \( x \neq 2 \)B. \( x \neq 0 \)C. \( x \neq 4 \)D. \( x \neq -2 \)5. 在直角坐标系中，点 \( P(2, -3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点 \( Q \) 的坐标是（）。
A. (2, -3)B. (-3, 2)C. (-2, 3)D. (3, -2)二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，则 \( \sin \alpha \cos \alpha \) 的值为 _______。
7. 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的首项 \( a_1 = 2 \)，公比 \( q = 3 \)，则\( a_5 \) 的值为 _______。
江苏省连云港市灌南县第二中学2023-2024学年高三上学期阶段性测试一数学试卷(含解析)
灌南县第二中学数学阶段性测试姓名：班级：学号：一．单选题1．函数f （x ）＝lg （x 2+3x +2）的定义域是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．[﹣2，﹣1] C ．（﹣∞，﹣2）⋃（﹣1，+∞） D ．（﹣∞，﹣2]⋃[﹣1，+∞） 2．设集合A ＝{x |x ＞1}，集合，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．B ．C ．{x |x ≤1}D ．3．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a 2＜b 2C ．a |c |＞b |c |D ．的值为（）则已知函数)4(,0),3(0,12)(.42f x x f x x x f ⎩⎨⎧>-≤+= 3.A 9.B 19.C 33.D的最小值为则已知121,0,0,1.5++>>=+y xx x y y x （ ）45.A 0.B 1.C 22.D6．若不等式mx 2+mx ﹣4＜2x 2+2x ﹣1对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣10，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）7.若集合A={x|2a +1≤x ≤3a -5},B={x|5≤x ≤16},则能使A ⊆B 成立的所有a 组成的集合为 ( )A.{a |2≤a ≤7}B.{a |6≤≤7}C.{a |a ≤7}D.{a |a<6}8.已知方程05)2(2=-+-+m x m x 有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-5,-4)∪(4,+∞)B.(-5,+∞)C.(-5,-4)D.(-4,-2)∪(4,+∞) 二．多选题9．“关于x 的不等式ax 2﹣4ax +4＞0对∀x ∈R 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．0＜a ＜1C ．0≤a ＜1D ．a ≥010．已知实数x ，y 满足﹣1≤x +y ≤3，4≤2x ﹣y ≤9，则4x +y 可能取的值为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．1611．下列命题中正确的是（ ）A ．命题：“∀x ≥0，x 2≥0”的否定是“∃x ＜0，x 2＜0”B ．函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）恒过定点（4，2）C ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]D ．若函数，则f （x ）＝x 2﹣x ﹣2（x ≥﹣1） 12．下列命题中的真命题有（ ） A ．当x ＞1时，的最小值是3B ．的最小值是2C ．当0＜x ＜10时，的最大值是5D ．若正数x ，y 为实数，若x +2y ＝3xy ，则2x +y 的最大值为3 三．填空题的最小值为则，且，已知21131,73231.13-+-=+>>y x y x y x ．的取值范围为则已知y x y x -<<-<<,31,42.14 ．15．若函数f （x ）＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．. 则实数,123+234,=+满足,实数16.2取值范围为的恒成立且不等式若正m m m yx y x y x --≥+四、解答题17.已知二次函数y ＝f （x ）的图象过点A （1，1），不等式f （x ）＞0的解集为（0，2）． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数y ＝f （x ）图象的顶点在函数g （x ）＝b （x ﹣m ）2+f （m ）（m ≠1）图象上，求关于x 的不等式g （x ）＜（2﹣m ）x 的解集．18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的中点.(1)求证：PB 平面AEC ；(2)设PA=AB=1，求平面AEC 与平面AED 夹角的余弦值.．已知ABC 的内角；6，求ABC 面积的最大值．(n na ++=21．已知函数()ln f x x ax =-，()()211g x a x =+-，()R a ∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当()()()2h x f x g x =-时，讨论()h x 的单调性.22．已知双曲线C 的渐近线为430x y ±=，右焦点为()5,0F ，右顶点为A . (1)求双曲线C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点（与点A 不重合），当0AM AN ⋅=时，求直线l 的方程.参考答案1. C2.A3.D4.B5.A6.B7.C8. C9.AB 10.BC 11.BCD 12.AC13.1 14.(-1,5) 15.(-2,2) 16.[-1,3]17.解：（1）因为f（x）＞0的解集为（0，2），所以设f（x）＝ax（x﹣2），因为f（1）＝﹣a＝1，所以a＝﹣1，所以f（x）＝﹣x（x﹣2）；（2）由（1）可知f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2+1，函数y＝f（x）的顶点（1，1）在g（x）的图象上，则g（1）＝b（1﹣m）2﹣m（m﹣2）＝1，则b（m﹣1）2＝（m﹣1）2，m≠1，所以b＝1，所以g（x）＝（x﹣m）2﹣m（m﹣2）＜（2﹣m）x，整理为：x2﹣（m+2）x+2m＜0，即（x﹣2）（x﹣m）＜0，当m＞2时，不等式的解集为（2，m），当m＝2时，不等式的解集为∅，当m＜2且m≠1时，不等式的解集为（m，2），综上，当m＞2时，不等式的解集为（2，m），当m＝2时，不等式的解集为∅，当m＜2且m≠1时，不等式的解集为（m，2）．18.【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，E为PD的中点，OE PB∴∥AEC PB⊄平面AEC，又OE⊂平面,∴平面AEC.PB（2）方法一：由于CD AD ⊥,,ADPA A AD PA =⊂平面AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥由于,PA AD E =为PD 中点，所以因此CED ∠即为平面AEC 与平面由于1,CD ED =22⎝⎭(110,,,1,1,022AE AC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭平面ADE 的法向量为(1,0,0AB =设平面AEC 的法向量为(,,n x y z =0,0,AE AC ⋅=⋅=即(1,n ∴=-1,13AB n =⨯设平面AEC 与平面ADE3,3AB n =，与平面ADE 夹角的余弦值为）由正弦定理可得3,sin 0,A A ≠π3⎫=⎪，由于所以π3B -=2ac +，，当且仅当a =(n na ++=222a S +=()1n n a -++-()122n n S --+也适合上式，所以)2，故数列()1n ++-()1n ++-122222n n =+++-)12+.定义域为()0,∞+，(f '，77而()(1123,,AM x y AN x =-=-，则(1AM AN x ⋅=-()212122(3)x x m x x m +-+++)214418(7m m ++化简得27542250m m --=，即75)(3)0m +=，而75。
高三数学阶段性试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + b，若f(1) = 0，f(2) = 4，则a、b的值为：A. a=1, b=1B. a=2, b=1C. a=1, b=2D. a=2, b=22. 下列命题中正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则ac < bc3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 24，则数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)5. 若等比数列{an}的公比q > 1，首项a1 > 0，则下列结论正确的是：A. an > 0B. an < 0C. an > a1D. an < a16. 函数y = 2^x + 3在定义域内的值域为：A. (3, +∞)B. [3, +∞)C. (0, +∞)D. [0, +∞)7. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，∠B = 30°，则sinC的值为：A. 1/2B. √3/2C. 1/√3D. √38. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 2]上单调递增，则下列结论正确的是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c > 0D. a < 0, b < 0, c > 09. 在直角坐标系中，若点P(x, y)到点A(2, 1)的距离等于点P到直线x + y - 3 = 0的距离，则点P的轨迹方程为：A. x + y - 3 = 0B. (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 + y^2 = 910. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上有极值，则f(x)在区间[0, 2]上的极值点为：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = -1二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则a、b、c的取值范围分别为______。
北京市第四中学2023-2024学年高三下学期阶段性测试(零模)数学试题(解析版)
高三数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则A B ⋃=（）A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]【答案】A 【解析】【分析】先解对数函数不等式化简集合B ，然后利用并集运算求解即可.【详解】因为3log 1{|}{|03}B x x x x =<=<<，又{|03}A x x =≤≤，所以A B ⋃=[]{|03}0,3x x ≤≤=.故选：A2.在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A 【解析】【详解】试题分析：()212i i i -=+，对应的点为()1,2，在第一象限考点：复数运算3.命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x =-”的否定是（）A.()0,x ∃∈+∞，ln 1x x ≠-B.()0,x ∃∉+∞，ln 1x x =-C.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D.()0,x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】【分析】结合特称命题的否定的方法即可.【详解】命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x =-”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-.故选：C4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 是双曲线22:12y C x -=的两个焦点，点M 在C 上，且120MF MF ⋅= ，则12F F M △的面积为（）A.B.2C.D.4【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点M 在C 上，12,F F 是双曲线的两个焦点,由双曲线的对称性不妨设12MF MF >，则1222MF MF a -==①，122F F c ===，因为120MF MF ⋅=，所以12MF MF ⊥，由勾股定理得222121212MF MF F F +==②，①②联立可得11MF =+，21MF =，所以1212122F F M S MF MF == ，故选：B5.函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为（）A.a b c >>B.b a c>> C.b c a >> D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.【详解】令()0f x =，即2x x =-，令()0g x =，即2log x x =-，令()0h x =x =-，分别作出2xy =，2log y x =，y =和y x =-的图象，如图所示：由图象可知：0c =，所以b c a >>.故选：C .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是圆()()22:341C x y -+-=上的动点．若(),0A a -，(),0B a ，0a ≠，则PA PB +的最大值为（）A.16B.12C.8D.6【答案】B 【解析】【分析】根据题意得到2PA PB PO +=，max1PO OC =+ ，即可得到答案.【详解】因为2PA PB PO +=，max116POOC =+== ，所以max12PA PB +=.故选：B7.在无穷项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，则“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】设出公比为()0q q ≠，分10a >且1q >，10a >且01q <<，10a <且1q >，10a <且01q <<，10a <且10q -<<，10a <且10q -<<，1q <-及1q =±等情况，进行分类讨论，从而得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，当10a >，1q >时，110n n a a q -=>，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=->，故10n n a a +>>，所以{}n a 为单调递增数列，此时{}n a 无最大值，{}n S 无最大值，当10a >，01q <<时，110n n a a q -=>，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，故10n n a a +<<，所以{}n a 为单调递减数列，此时{}n a 无最小值，{}n S 无最大值，当10a <时，1q >时，110n n a a q -=<，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，故10n n a a +<<，所以{}n a 为单调递减数列，此时{}n a 无最小值，{}n S 无最小值，当10a <时，01q <<时，110n n a a q -=<，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=->，故10n n a a +>>，所以{}n a 为单调递增数列，此时{}n a 无最大值，{}n S 无最小值，当10q -<<时，11n n a a q-=，{}n a 为摆动数列，且()11111110nn n n n a a a q a q a qq --+-=-=-<，故1n n a a +<，所以随着n 的增大，11n n a a q -=趋向于0，故{}n a 有最大值，也有最小值，若10a >且10q -<<，()1101nn a q S q-=>-，111n n n n S a S a q ++-==，当n 为奇数时，1n n S S +<，当n 为偶数时，1n n S S +>，且随着n 的增大，()111nn a q S q-=-趋向于11a q-，其中111011a a q S q q -=<--，()21112110111a a a q S a q q q q -=-+=>---，故111a S q <-且121a S q>-，故{}n S 有最大值1S ，也有最小值2S ，若10a <且10q -<<，()1101nn a q S q-=<-，111n n n n S a S a q ++-==，当n 为奇数时，1n n S S +>，当n 为偶数时，1n n S S +<，且随着n 的增大，()111nn a q S q-=-趋向于11a q-，其中111011a a q S q q -=>--，()21112110111a a a q S a q q q q-=-+=<---，故111a S q >-且121aS q<-，故{}n S 有最大值2S ，也有最小值1S ，当1q <-时，11n n a a q-=，{}n a 为摆动数列，且()11111110n n n n n a a a q a q a qq --+-=-=->，故1n n a a +>，所以随着n 的增大，11n n a a q -=趋向于正无穷或负无穷，故{}n a 无最大值，也无最小值，此时{}n S 无最大值，无最小值，当1q =时，{}n a 为常数列，此时{}n a 有最大值，也有最小值，此时{}n S 无最大值或无最小值，故充分性不成立，当1q =-时，{}n a 有最大值，也有最小值，此时{}n S 有最大值和最小值，综上，当{}n S 既有最大值，又有最小值时，{}n a 既有最大值，又有最小值，必要性成立，故“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件.故选：B8.在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A.31010 B.1010C.1010-D.31010-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2,2,sin cos ,sin ,cos cos2AD a AB CD a AC a A ααββ=⇒=⇒==⇒10cos()10αβ=+=-,故选C.考点：解三角形.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1CC 的中点，P 是正方体表面上的一点，若1D P AF ⊥，则线段1D P 长度的最大值是（）A. B.344C.32D.【答案】C 【解析】【分析】通过线面垂直的性质找到点P 的轨迹，然后利用梯形的性质求解即可.【详解】连接1111,,,AC BD A C B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，四边形1111D C B A 是正方形，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，又1111AC B D ⊥，1111AA AC A ⋂=，且1AA ⊂平面11AACC ，11AC ⊂平面11A ACC ，所以11B D ⊥平面11A ACC ，因为AF ⊂平面11A ACC ，所以11B D AF ⊥，所以当点P 在线段11B D （点1D 除外）时，1D P AF ⊥，取BC 的中点E ，连接1,BF B E ，在正方形11B BCC 中，因为E 为BC 的中点，F 是棱1CC 的中点，所以1BF B E ⊥，因为AB ⊥平面11B BCC ，1B E ⊂平面11B BCC ，所以1AB B E ⊥，因为AB BF B = ，且AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以1B E ⊥平面ABF ，又AF ⊂平面ABF ，所以1B E AF ⊥，因为1111B E B D B = ，且11B D ⊂平面11D B E ，1B E ⊂平面11D B E ，所以AF ⊥平面11D B E ，设平面11D B E ⋂平面ABCD GE =，则11//GE D B ，所以//GE DB ，则G 是棱CD 的中点，所以当点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面线段1111D B B E EG GD ---上时，1D P AF ⊥,由题意可知，在梯形11D GEB 中，11D B =1152D G B E ==，22EG =，132D E ===，所以线段1D P 长度的最大值是132D E =.故选：C10.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.123x x x >>B.132x x x >>C.231x x x >>D.321x x x >>【答案】C 【解析】【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <，同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.已知等差数列{}n a 满足12a =，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则d =______.【答案】4【解析】【分析】由等差数列通项公式结合等比数列性质计算求解即可.【详解】因为11252,,,a a a a =成等比数列，所以2215a a a =，即()()22224d d +=+，即240d d -=，解得4d =或0d =（舍）.故答案为：412.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】15【解析】【详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()122123166C 1C 1r r r r r rr r T x x x ---+=-⋅⋅=-⋅，令1230r -=，4r =，故该展开式中的常数项为46C 15=，故答案为15．【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.抛物线24x y =-的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的渐近线方程，再利用点到直线距离公式计算即得.【详解】抛物线24x y =-的焦点(0,1)F -，双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以点F到直线0y -=的距离为12d ==.故答案为：1214.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P （P 不在坐标轴上）．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记()f α为点M 到直线OP 的距离，则()f α的最大值为___________，此时α的一个取值为___________.【答案】①.12##0.5②.π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义得(cos ,sin )P αα，再利用等面积法求得()f α，借助正弦函数性质求得答案.【详解】依题意，(cos ,sin )P αα，R α∈且π,Z 2k k α≠∈，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得11()|cos |sin ||sin 2|22|f αααα=⋅=≤，当且仅当sin 21α=-或sin 21α=，即π2π,Z 2k k α=+∈，ππ,Z 42k k α=+∈时取等号，所以()f α的最大值为12，ππ,Z 42k k α=+∈.故答案为：12；π415.设n 是正整数，且2n ≥，数列{}{},k k a b 满足：()10a a a =>，()211,2,,1kk k a a a k n n+=+=⋅⋅⋅-，()11,2,,k k b k n a n==⋅⋅⋅+，数列{}k b 的前k 项和为k S .给出下列四个结论：①数列{}k a 为单调递增数列，且各项均为正数；②数列{}k b 为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，{}1,2,,1k n ∈⋅⋅⋅-，111k k S a a +=-；④对任意正整数{}1,2,,k n ∈⋅⋅⋅，1k S <.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】由210k k k a a a n+-=>和10a >可确定①正确；由10k k b b +-<知②错误；根据已知等式可得11111k k k k a n a a a ++⋅=-及1k k k a a n a n ++=，推导得到111k k k b a a +=-，加和可得③正确；由已知等式可推导得到1111k k a a n +->-，累加得到1111k a a+>-，进而得到1k S <，知④正确.【详解】对于①，，()10a a a => ，210k k k a a a n +∴-=>，∴数列{}k a 为单调递增数列，10a > ，0k a ∴>，即数列{}k a 各项均为正数，①正确；对于②，()()111111k k k k k k k k a a b b a n a n a n a n ++++--=-=++++，由①知：10k a n ++>，0k a n +>，10k k a a +-<，∴数列{}k b 单调递减数列，②错误；对于③，由21k k k a a a n +=+得：21k k ka a a n +=-，11111k k k k a n a a a ++∴⋅=-又11k k k k a a a n a n n ++=+=，11111k k k k k k a b a n na a a ++∴===-+，122311111111111111k k k k k S a a a a a a a a a a +++∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-=，③正确；对于④，由21k k k a a a n +=+得：()1111k k k k k n a a a n a a n +==-++，11111k k k a a a n n +∴-=->-+，1112111111111111k k kkk a a a a a a a a a ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111k a a +∴-<-，1111111k a a a a+∴-<+-=，即1k S <，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式研究数列相关性质及前n 项和的问题；求解关键是能够对已知递推关系式进行变形，得到111k k k b a a +=-、1111k k k a a a n+-=-+等关系式，结合累加法、放缩法来进行求解.三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数1()cos cos )2f x x x x =-+.（1）求π()3f 的值；（2）当π[0,2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1(1,)2--.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再代入求值即可；（2）由x 的取值范围求出π26x -的取值范围，从而得到函数的值域，由()2c f x c <<+，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）()21cos cos +2f x x x x-1=sin 2cos222x x -π=sin(2)6x -，所以π()13f =.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的性质的应用，属于基础题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面π,//,32ABCD AD BC ABC PA PB ∠===，1,2,3BC AB AD ===，点O 是AB的中点．（1）求证：PO CD ⊥；（2）求直线CP 与平面POD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理即得.（2）以点O 为原点建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，利用空间向量求出线面角的正弦.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，由PA PB =，点O 是AB 的中点，得PO AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作Oy AB ⊥，由（1）知直线,,OB Oy OP 两两垂直，以点O 为原点，直线,,OB Oy OP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，由π//,,32AD BC ABC PA PB ∠===，1,2,3BC AB AD ===，得PO ==则(0,0,0),(1,1,0),(1,3,0)O P C D -，(1,1,(1,3,0)PC OP OD =-==-，设平面POD 的一个法向量(,,)n x y z =，则030n OP n OD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，得(3,1,0)n = ，所以直线CP 与平面POD所成角的正弦值为||2|cos ,|5||||n PC n PC n PC ⋅〈〉==.18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻1月1日7∶364月9日5∶467月9日4∶5310月8日6∶171月12日7∶314月28日5∶197月27日5∶0710月26日6∶362月10日7∶145月16日4∶598月14日5∶2411月13日6∶563月2日6∶476月3日4∶479月2日5∶4212月1日7∶163月22日6∶156月22日4∶469月20日5∶5912月20日7∶31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻2月1日7∶232月11日7∶132月21日6∶592月3日7∶222月13日7∶112月23日6∶572月5日7∶202月15日7∶082月25日6∶552月7日7∶172月17日7∶052月27日6∶522月9日7∶152月19日7∶022月29日6∶49（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7∶00的概率；（2）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7∶00的人数，求X的分布列和数学期望()E X；（3）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7∶31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s，判断2s与2*s的大小﹒（只需写出结论）【答案】（1）3 4（2）分布列见解析，()2 3E X=（3）22*s s<【解析】【分析】（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，由此能求出从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51()153P B ==．2(1()3P B P B =-=，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）由方差性质推导出22*s s <．【小问1详解】记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，()P A ∴153204==．【小问2详解】X 可能的取值为0，1，2．记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51()153P B ==．2(1()3P B P B =-=．4(0)(()9P X P B P B ===，()121241C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1(2)()()9P X P B P B ==⋅=，所以X 的分布列为：X012P 4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由表1所有升旗时刻对应数据比较集中，而表2所有升旗时刻对应数据比较分散，可得22*s s <．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点()1,0P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列关于,,a b c 的方程组，即可得到结果；（2）设方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线MN 方程和椭圆的方程可得()121232my y y y =+，表示出直线NQ 方程，对称性可知直线NQ 恒过的定点在x 轴上，令0y =，将()121232my y y y =+代入化简即可得出答案.【小问1详解】由题意得，2,a b ==，所以222244b c c a +===，解得1c =，所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意直线MN 过点()1,0P 且斜率不为0，故设直线MN 方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234690m y my ++-=，所以122122Δ0634934m y y m y y m ⎧⎪>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，所以()121232my y y y =+，因为112AM PQ y k k x ==+，则PQ ：()1112y y x x =-+，令52x =，解得11324yy x =+，所以1135,224y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故直线QN 的方程为：()12122232452y y x y y x x x -+-=--，根据对称性，直线QN 所过的定点在x 轴上，不妨令0y =，则222211221121221510532332424y x y y x y x x x y y y x y y x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=+=---+，将11221,1x m y x m y =+=+代入得所以()()()()()2211221122112212121212121221051311533153218232143623639y y my y my y y y y y y my y y x y y my y y y my y y y y y y --+++-+-+-+--=====-+-----+-，故直线NQ 恒过定点()2,0.20.已知函数()ln .f x x a x =-（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若关于x 的方程ln =0x a x -有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a -＞【答案】（1）(1)y a x a =-+；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()af x x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证0(1)a x a ->，0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，利用导数证得0()0g x >，即可得证．【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：(1)y a x a =-+，（2）函数()ln f x x a x =-定义域为(0,)+∞，()1a x a f x x x'-=-=当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上()0f x '<，()f x 单调递减，在(,)a +∞上()0f x ¢>，()f x 单调递增，综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）证明：由（2）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立），所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减，当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增，所以0()g x g （1）0=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明0111a x ->即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明00011lnx x x ->，利用构造函数的方法即可.21.对给定的正整数n ，令(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i a a a a a i n Ω==⋯∈=⋯∣，对任意的()12,,,…=n x x x x ，()12,,,n n y y y y =⋯∈Ω，定义x 与y 的距离()1122,n n d x y x y x y x y =-+-++- ．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合(){},,,D d x y x y x y A =≠∈中的最小值称为A 的特征，记作()A χ．（1）当3n =时，直接写出下述集合的特征：()(){}()()()(){}()()()(){}0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1A B C ===；（2）当2020n =时，设2020ΩA ⊆且()2A χ=，求A 中元素个数的最大值；（3）当2020n =时，设2020ΩA ⊆且()3A χ=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（1）()3A χ=，()2B χ=，()1C χ=（2）20192（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（2）一方面先证明A 中元素个数至多有20192个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为20192个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（3）设{}12,,,m A x x x = ，定义x 的邻域2020(){Ω|(,)1}i i N x a d a x =∈≤，先证明对任意的1i j m ≤≤≤，()i N x 中恰有2021个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x 中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202个元素，所以202020212m ≤，进而证明结论．【小问1详解】依题意可得()3A χ=，()2B χ=，()1C χ=．【小问2详解】（a ）一方面：对任意的()12320192020,,,,,a a a a a a A =∈ ，令()()12320192020,,,,,f a a a a a a = ，则()()2020,1212d a f a a =-=<，故()f a A ∉，令集合(){}|B f a a A =∈，则A B ⋂=∅，则2020ΩA B ⊆ 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω中共有20202个元素，其中至多一半属于A ，故A 中至多有20192个元素．(b )另一方面：设()123201920202020122020{,,,,,Ω|A a a a a a a a a a ==∈++⋯+ 是偶数}，则对任意的()122020,,,x x x x = ，()122020,,,y y y y A =∈ ，x y ≠，都有A 中的元素个数为024202020192020202020202020C C C C 2+++⋯+=，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，又x y ≠，则(,)0d x y >，所以(,)2d x y ≥，注意到()0,0,0,0,,0,0 ，()1,1,0,0,,0,0A ∈ 且它们的距离为2，故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为20192．【小问3详解】当2020n =时，设2020A ⊆Ω且()3A χ=，设{}12,,,m A x x x = ，则对任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){Ω|(,)1}i i N x a d a x =∈≤，（a ）一方面：对任意的1i m ≤≤，()i N x 中恰有2021个元素，事实上，①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，()i N x 中恰有2021个元素，（b ）对任意的1i j m ≤≤≤，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，()()122020122020,,,,,,,i j x x x x x x x x ''='= ，则()11112020202020202020(,)2k k k k i j k k kk k k d x x x x xa a x x a a x =====∑-'≤∑-+-'=∑-+∑-'≤，这与()3A χ=矛盾，由（a ）和（b ）可得12()()()m N x N x N x 中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202个元素，所以202020212m ≤，即202022021m ≤，注意到m是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A中的元素个数m小于20202 2021．【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．。
2024届铜川市重点中学高三阶段性测试(六)A卷数学试题试卷
2024届铜川市重点中学高三阶段性测试（六）A 卷数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数2．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则AB =（ ） A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3) 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．434．函数52sin ()([,0)(0,])33x x x x f x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．5．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2 C ．ln 2 D ．2ln 26．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ）A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b 2c +>D ．112a b c+>7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-8．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ）A ．{x|x ＞﹣2}B ．{x|1＜x ＜2}C ．{x|1≤x≤2}D ．∅9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D ．1051510．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π-D ．42π- 12．已知集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{0，1，2} D ．{x ﹣1≤x ≤2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省栖霞市2024届高三阶段性测试(四)数学试题
山东省栖霞市2024届高三阶段性测试（四）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）3．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10B ．3C ．5D ．25．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）6．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．3633⎣⎦B ．3,1)3C ．3]D ．6[7．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 8．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π9．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．410．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数12．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京四中高三上学期开学考数学试题
数 学 试 卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是 （A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2.若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2- 3.已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）c a b<<4.函数1()x f x x+=的图象的对称中心为 （A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5.已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14（C ）14-（D ）2-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30（B ）10（C ）9（D ）67.在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（A ）ln y x x=（B ）cos y x=（C ）2xy =（D ）ln y x x=-8.已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9.在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是 （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10.已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11.已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象 （A ）关于直线π4x =-对称 （B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称 （D ）关于点π(,0)8对称12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是（A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为 参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214.已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：①当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；②当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____.17.若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____.18.写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____.①函数(1)f x +是偶函数；②当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =； 条件②：2n n n b a =+； 条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。
四川省成都市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（答案在最后）（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{{},21x A x y B y y ====+，则A B = （）A ．(]0,1B ．(]1,2C ．[]1,2D ．[]0,22．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（）A ．12i+B ．12i-C ．2i+D ．2i-3．已知向量,a b 满足222a b a b -=-= ，且1b = ，则a b ⋅=（）A ．14B ．14-C ．12D ．12-4．如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图象，则()f x 的解析式只可能是（）A ．())lncos f x x x =+B ．())lnsin f x x x =+C ．())ln cos f x x x =-D ．())ln sin f x x x=-5．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（）A ．ππ0x y +-=B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=6．在体积为12的三棱锥A BCD -中，,AC AD BC BD ⊥⊥，平面ACD ⊥平面ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=，若点,,,A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．32πD ．48π7．若()()sin cos2sin αβααβ+=-，则()tan αβ+的最大值为（）A ．62B ．64C ．22D ．248．设202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===，则（）A ．c a b<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．a b c<<二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-，下列结论正确的是（）A ．20242025S S <B ．202420261a a <C ．2024T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A 与事件13A A 是互斥事件11．已知6ln ,6e n m m a n a =+=+，其中e nm ≠，则e nm +的取值可以是（）A ．eB ．2eC ．23eD ．24e第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若1sin 3α=-，则()cos π2α-=______．13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点()()*,n n a n ∈N在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______．14．已知点()()2,0,1,4,A B M N 、是y 轴上的动点，且满足4,MN AMN =△的外心P 在y 轴上的射影为Q ，则点P 的轨迹方程为______，PQ PB +的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设ABC△的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，,BC AC 边上的两条中线,AD BE 相交于点P．（1）求BAC ∠；（2）若2,cos 14AD BE DPE ==∠=，求ABC △的面积．16．（15分）如图，在三棱锥D ABC -中，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，ABD △是边长为2的正三角形，E 为AD 的中点，F 为DC 上一点，且平面BEF ⊥平面ABD ．（1）求证：AD ⊥平面BEF ；（2）若平面ABC ⊥平面ABD ，求平面BEF 与平面BCD 夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．（1）根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X ，每天看电子产品超过一小时的人数为Y ，求()P X Y =的值．18．（17分）已知函数()()ln 1f x x =+．（1）求曲线()y f x =在3x =处的切线方程；（2）讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性；（3）设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．19．（17分）已知椭圆C 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点)和2,3⎛- ⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0M 作不与坐标轴平行的直线l 交曲线C 于,A B 两点，过点,A B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，E ，直线AE 与直线BD 相交于P 点．①求证：点P 在定直线上；②求PAB △面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=，2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=，所以1,01,01c a b ><<<<；当2n >时，()()ln 1ln ln 10n n n +>>->，所以()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，取2023n =，则2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<，所以220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅，即b a <，综上，b a c <<．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令()6ln f x x x =-，则()661xf x x x-=-='，故当()0,6x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当()6,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= ，又e n m ≠，不妨设06e n m <<<，解法一：记12,e nx m x ==，设()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈，则()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''在()0,6上恒成立，所以()g x 在()0,6上单调递减，所以()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈，则()()()11212f x f x f x ->=，又因为()1212,6,x x -∈+∞，且()f x 在()6,+∞上单调递减，所以1212x x -<，则1212x x +>，所以e 12n m +>．解法二：由6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+，两式相减，可得e 6ln e n nm m =-，令e (1)n t t m=>，则()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---；令()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->，则()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'，令1ln 1(1)y t t t =+->，则221110t y t t t-=-=>'在()1,+∞上恒成立，所以()g t '在()1,+∞上单调递增，因为()()10g t g ''>=在()1,+∞上恒成立，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即()1ln 21t tt +>-，所以()61ln e 121n t tm t ++=>-．解法三：6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ ，两式相减得e 6lne ln n nmm-=-，212121ln ln 2x x x xx x -+<<-，可得e 12n m +>，三、填空题：79-1n n +24y x =；314．【解】设点()0,M t ，则()0,4)N t -根据点P 是AMN 的外心，(),2P x t -，而22||PM PA =，则2224(2)(2)x x t +=-+-，所以2(2),24t x y t -==-从而得到点P 的轨迹为24y x =，焦点为()1,0F 由抛物线的定义可知1PF PQ =+，因为4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥，即3PQ PB +≥，当点P 在线段BF 上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，所以由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a BAC bc +-∠==，又0πBAC <∠<，所以π3BAC ∠=．（2）因为P 是,BC AC 边上的两条中线AD 与BE 的交点，所以点P 是ABC △的重心．又7,2,AD BE APB DPE ==∠=∠，所以在ABP △中，由余弦定理22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠2227474724333314⎛⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2c =，又π2,3BE BAC =∠=，所以2AE BE ==，所以24b AE ==，所以ABC △的面积为1π42sin 2323⨯⨯⨯=．16．【解】（1）ABD △是边长为2的正三角形，E 为AD 的中点，则BE AD ⊥．且平面BEF ⊥平面ABD ，平面BEF 平面,ABD BE AD =⊂平面ABD ，则AD ⊥平面BEF ．（2）由于底面ABC △为等腰直角三角形，ABD △是边长为2正三角形，可取AB 中点O ，连接OD ，则,OD AB OC AB ⊥⊥．且平面ABC ⊥平面ABD ，且平面ABC 平面ABD AB =，则OD ⊥平面ABC ．因此,,OC OA OD 两两垂直，可以建立空间直角坐标系O xyz -．ABD △是边长为2的正三角形，则可求得高3OD =．底面ABC △为等腰直角三角形，求得1OC OA OB ===．可以得到关键点的坐标()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,3A B C D -由第（1）问知道平面BEF 的法向量可取(0,3AD =-．设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，且()(1,1,0,1,0,3BC CD ==- ，则m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则030x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得()3,3,1m = ．则2321cos ,727m AD m AD m AD⋅〈〉==⨯⋅ ．则平面BEF 与平面BCD 夹角的余弦值为217．17．【解】（1）零假设0H 为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，推断0H 不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为ξ，则()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是6991．（3）依题意，()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=，事件1X Y ==包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=．18．【解】（1）切点为()3,ln4．因为()11f x x '=+，所以切线的斜率为()134k f ='=，所以曲线()y f x =在3x =处的切线方程为()1ln434y x -=-，化简得48ln230x y -+-=；（2）由题意可知()()ln 1F x ax x =-+，则()F x 的定义域为()1,-+∞，()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++当0a ≤时，()101F x a x '=-<+，则()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0a >时，令()0F x '=，即10ax a +-=，解得11x a=-，若()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+；若()111,01ax a x F x a x +--'>=>+，则()F x 在11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0a >时，()F x 在11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（3）证明：函数()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 的定义域为()(),10,-∞-+∞ ．若存在m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称，则()(),10,-∞-+∞ 关于直线x m =对称，所以12m =-由()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211ln ln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+．可知曲线()y g x =关于直线12x =-对称．19．【解】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，代入已知点的坐标，得：312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=．（2）如图：①设直线l 的方程为()20x my m =+≠，并记点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y，由222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()223420m y my ++-=，易知()()222Δ16832410m m m =++=+>，则12122242,33m y y y y m m --+==++．由条件，()()12,0,,0D x E x ，直线AE 的方程为()1212y y x x x x =--，直线BD 的方程为()2121y y x x x x =--，联立解得()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++，所以点P 在定直线3x =上．②0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△，而121212my y y y =+，所以()121212my y y y =+，则1211211224PABy y S y y y +=-=-=△令t =，则1t >，所以21222224PAB t S t t t=⋅=⋅≤++△，当且仅当t =时，等号成立，所以PAB △面积的最大值为4．。
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高三数学阶段性测试卷
满分：160分 时间：100分钟 姓名：____________ 分数：____________
数学I 卷
一、填空题；（本大题共14小题, 共计70 分）
1.已知集合{124}A =，
，，{246}B =，，，则A B = ．
3.集合{-1，0，1}共有 个子集。
4．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 5．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，
则
6a 的值是 ．
的值是 。
8. 设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=_____.
9. 已知αtan ＝2，
6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值
10．若不等式022
>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<<-3121|x x ，则b a -的值为
11．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆2
2(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．
12、设3
2
1()25f x x x x =-
-+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 。
。
若DE AB AC λλ=+
14．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2
b
y ax x
=+(a b ，为常数)过点(25)P -，
，且该曲线在点P 处的切 线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ．
二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分。
15．(本小题满分14 分)已知()
απ∈π，，sin α=
（1）求()sin 4απ+的值； （2）求()
cos 26α5π-的值．
16.（本小题满分14分）
已知数列}{n a 满足：111,2n n a a a n -=-=且.
（1）求432,a a a ， （2）求数列}{n a 的通项n a
17、（本小题满分14分）
已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。
（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥； （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。
18、(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，
分别是椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>的左、 右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，
，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一 点C ，连结1
FC ．若点C 的坐标为()
4133
，
，且2BF =
19、(本小题满分16分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点 （点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，
为11B C 的中点．求证： （1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
20、(本小题满分16分)若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极 值点。
已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求a 和b 的值； （2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
数学II 卷
21、[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按 作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 、[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC=2OC 。
求证：AC=2AD 。
B 、【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)
已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值。
C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为12x y ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩
，(t 为参数)，直线l 与抛物线 24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．
D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2
)( 1+x 2
+y )≥9xy.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 22、（本小题满分10分）
已知命题2
:10p x mx ++=有两个不相等的负根，命题2
:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p q ∨ 为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．
23、（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，1A A =4，点D 是BC 的中点。
（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；
（2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值。