狂刷36 空间角与距离-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (解析版)
狂刷37 立体几何的综合-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (解析版)
1 专题八 立体几何
狂刷37 立体几何的综合
1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β
B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n
C ．若α∩β=m ，n ∥α，n ∥β，则m ∥n
D ．若α⊥β，且α∩β=m ，点A ∈α，直线AB ⊥m ，则AB ⊥β
【答案】
C
故选C ．
【名师点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键．对每一个选项逐一判断得解.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为。
狂刷37 空间角与距离-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
1．如图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答异面直线所成角的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.由题意，在正方体中把异面直线AC 与1A B 所成的角转化成直线AC 与1CD 所成的角，即可求解.2．在正三棱锥P ABC 中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，则点P 到平面ABC 的距离为 A ．3B ．2C ．33D ．23【答案】C【名师点睛】本题以正三棱锥为载体，考查点面距离，解题的关键根据等体积求解，即A PBC P ABC V V --=．要求点P 到平面ABC 的距离，可根据等体积求解，即V A -PBC =V P -ABC ，根据正三棱锥P -ABC 中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得． 3．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =π2，AB =AC =2AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为A ．15B ．－15C ．55D ．－55【答案】A【解析】将三棱柱补为长方体1111ABDC A B DC -，异面直线1AC 与1A B 所成的角即为1AC D ∠，设11AA =，则112,5,22AC CD AC DC AD =====.由题意知15581cos 5255AC D +-∠==⨯⨯.故选A ．学科&网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的问题，难度一般，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B DC -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，利用余弦定理即可得解.学科*网求异面直线所成角的步骤:（1）平移，将两条异面直线平移成相交直线． （2）定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．（3）求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角． （4）给出结论．4．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,22AB CC ==，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 A ．1B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】如图，连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则在三角形1CC A 中，易证1OE C A ∥，故选A.5．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面11ACC A 所成角的大小为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【答案】A【名师点睛】本题考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角的关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．在正三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点E ，连接BE ，1C E ，证明BE ⊥平面11ACC A ，则1BC E ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，解直角三角形1BC E 即可． 6．正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角是A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2【答案】B【解析】取BD 中点O ，连接,EO FO ，设正四面体的棱长为a ，则,OF CD OE AB ∥∥，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连接,BG AG ，则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BGAG G CD =∴⊥平面ABG ，AB ⊂平面ABG ，CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，π4EFO ∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为π4. 故选B .学科!网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题，取BD 中点O ，连接,EO FO ，则,OF CD OE AB ∥∥，且2aOF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.7．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】C【名师点睛】本题考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中涉及平面图形的折叠和体积最大值的判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中判断出折叠中当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥的体积最大，从而得到DE ⊥平面DAC 是解题的关键.8．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则BC 1与DB 1的距离为A ．6B ．63C ．66D ．26【答案】C【名师点睛】本题考查线线距离，解题的关键是将1BC 与1DB 的距离转化为1C 到平面1DB E 的距离，从而利用等体积求解，连接1BD ，11BD DB O ，取11C D 的中点E ，连接DE ，1EB ，则OE ∥1BC ，可得1BC ∥平面1DB E ，从而1BC 与1DB 的距离为1BC 与平面1DB E 的距离，即1C 到平面1DB E 的距离，利用等体积可求．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．9．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，H 为EF 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误．．的是A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体A OEF -的外接球表面积为6πD ．异面直线OH 和AE 所成角为60︒ 【答案】D10．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，13AA AB =．记异面直线1AB 与BD 所成的角为θ，则cos θ=________.【答案】24【名师点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由BD ∥B 1D 1，得∠AB 1D 1是异面直线AB 1与BD 所成的角（或所成的角的补角），由此利用余弦定理能求出cos θ．学科@网11．在三棱锥A BCD -中，Rt ABC △与Rt ADC △共斜边AC ，且AC 与平面BCD 所成角的正弦值为155，2AB AD ==，2BD =，则A 到平面BCD 的距离为________. 【答案】3或455【解析】由2AB AD ==知Rt ABC △与Rt ADC △全等，所以BCD △是等腰三角形，且A 在底面BCD 的射影在中线CE 上，如图，【名师点睛】由题意易知，BCD △是等腰三角形，且A 在底面BCD 的射影在中线CE 上，结合AC 与平面BCD 所成角的正弦值为155，可知515AC AO =，从而可以解得A 到平面BCD 的距离. 求点到平面的距离，第一种方法是根据定义作出垂线段，然后只要通过解三角形求出这个线段的长即可，要注意这里有三个步骤：一作、二证、三算；学科*网第二种方法是利用体积法计算，所求距离作为一个三棱锥的高，通过两种不同的方法求三棱锥的体积，然后求得这个高；第三种方法是利用空间向量法，点到平面的距离就是此点到平面的任一斜线段在平面的法向量方向上的投影的绝对值.12．长方体1111ABCD A BC D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11AB 与1AC 所成角的余弦值为A ．1414 B ．8314 C ．1313D ．13【答案】A【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的问题，难度一般，由1111C D A B ∥可得异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．求异面直线所成角的步骤:（1）平移，将两条异面直线平移成相交直线． （2）定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．（3）求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角． （4）给出结论．13．三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若12,1AB AA ==，则点A 到平面1A BC 的距离为 A ．34 B ．32C ．334D ．3【答案】B【解析】由题意可得三棱锥1A ABC -的体积：1122sin60132V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 由几何关系可得：11145A B AC ==+=，【名师点睛】本题主要考查点面距离的计算，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 由题意利用体积相等求解点面距离即可.14．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．82 B ．63 C ．8D ．83【答案】A【解析】如图所示，连接11,AC BC ，由题意可得1AC B ∠为1AC 与平面11BB C C 所成的角，即130AC B ∠=，则123tan30ABBC ==，在1BCC △中，由勾股定理可得：221112422CC C B BC =-=-=， 所以长方体的体积：222282V =⨯⨯=.故选A.学科&网【名师点睛】本题主要考查长方体的几何特征，线面角的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先找到线面角，然后结合几何关系求得长方体的高，最后利用体积公式求解长方体的体积即可.15．如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于A 、B ）且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【名师点睛】二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面.16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为 A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2【答案】C【解析】设O 是正方形对角线AC 、BD 的交点，将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，可得当BO ⊥平面ADC 时，点B 到平面ADC 的距离等于BO ，当BO 与平面ADC 不垂直时，设点B 到平面ADC 的距离为d ，则d BO <， 由此可得当三棱锥B ACD -的体积最大时，BO ⊥平面ADC .设B '是B 折叠前的位置，连接B B '，因为AD B C '∥，所以BCB ∠'就是直线AD 与BC 所成的角， 设正方形的边长为a ，因为BO ⊥平面A D C ，OB '⊂平面A D C ，所以BO OB ⊥'，因为1222B O BO AC a =='=，所以BB BC B C a =='='，即B BC'△是等边三角形，所以π3BCB ∠'=，所以直线AD 与BC 所成的角为π3.故选C.【名师点睛】本题考查了线面位置关系及异面直线所成的角等知识点，综合性较强，属于中档题.首先判断当平面ABC 与平面ACD 垂直时（或者说BO 垂直于平面ACD ），可以使以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大，再在此前提下，确定异面直线AD 与BC 所成的角为BCB ∠'，在BBC'△中求此角的大小即可.学科*网17．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △满足22AB =，90ACB ∠=，PA 为球O 的直径，且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为 A ．2 B ．3 C ．22D ．23【答案】C 【解析】如图，∵三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，P A 为球O 的直径且P A =4，∴球心O 是P A 的中点，球半径R =OC =12P A ＝2，过O 作OD ⊥平面ABC ，垂足是D ，∵△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°， ∴D 是AB 中点，且AD =BD =CD =2，∴OD =22422OC CD -=-=，∴点P 到底面ABC 的距离为d =2OD =22， 故选C.【名师点睛】本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O 到平面ABC 的距离，找到ABC △的外接圆的圆心D 即可有 OD ⊥平面ABC ，求出OD 即可求出点P 到底面ABC 的距离.18．如图，将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ，并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45︒，PQ 为正方形BCEF 内一条直线，则直线PQ 与BD 所成角的取值范围为_______.【答案】[]30,90︒︒【解析】不妨设正方形的边长为1，作DG CE ⊥，垂足为G ，由,BC CE BC CD ⊥⊥，得BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥，又BC CE C =，得DG ⊥平面BCEF ，故答案为[]30,90︒︒.19．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为54的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．【答案】43【解析】如图所示，连接AC 与BD 交于O '，显然球心O 在正四棱锥P ABCD -的高PO '上，【名师点睛】本题主要考查了等积法求解点到平面的距离，其中正确把握空间几何体的结构特征，转化为等体积法求解是解答的关键，着重考查了转化与化归方法，以及考生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.设点A 到平面PBC 的距离为h ，则由A PBC P ABC V V --=，利用三棱锥的体积公式，列出方程，即可求解.学科.网20．如图所示，1111ABCD A BC D -为正方体，给出以下五个结论：①BD ∥平面11CB D ；②二面角111C B D C --的正切值是2； ③1AC ⊥平面11CB D ；④1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2. 其中，所有正确结论的序号为________． 【答案】①②③【名师点睛】本题综合考查了立体几何中线面平行证明，线面垂直证明，线面角的求解，对学生基本功要求较高.由线线平行推出线面平行可知①对，由二面角的面积射影公式可求得二面角111C B D C --，所以②对.由三垂线定理可知③对.由线面角为1C AC ∠可知④错.21．（2017浙江）如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为αβγ,,，则A ． γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【答案】B22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55 D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.学科@网23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.学科*网25．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.26．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分AD BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．别是,7【答案】8即为异面直线AN，CM 【解析】如下图，连接DN，取DN中点E，连接EM，EC，则可知EMC所成角（或其补角），学科&网21。
狂刷38 空间向量及其应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
1．设平面α的一个法向量为()11,2,2=-n ，平面β的一个法向量为()22,4,k =--n ，若αβ∥，则k = A ．2 B ．-4 C ．-2D ．4【答案】D【解析】因为αβ∥，所以1212224k-==--∥，n n ，解之得4k =. 故应选D.【名师点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.2．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是 A ．(－1，1，1)B ．333,,)333---（ C ．(1，－1，1)D ．333,,)333-（【答案】B【名师点睛】在空间向量中，我们常常利用向量来求线线角、线面角和二面角，后两者需要计算平面的法向量，一般地，我们需要设法向量为(),,x y z =n ，通过平面内的两个不共线向量12,n n 构建方程组1200⋅=⎧⎨⋅=⎩n n n n ，其一组解可为法向量n ．先计算出,AB AC ，再设平面ABC 的法向量为(),,x y z =n ，利用,AB AC ⊥⊥n n 垂直即可得n ．学%科网3．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为11,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m 为 A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．8【答案】C【解析】∵l ∥α，∴(2，m ，1)·11,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭=2+12m +2=0，∴m =﹣8． 故选C ．【名师点睛】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由l ∥α，可得l 的方向向量与平面α的法向量乘积为0，即可得出m 的值． 4．若平面α与β的法向量分别是()2,4,3=-a ，()1,2,2=-b ，则平面α与β的位置关系是 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定【答案】B【名师点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题.根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直. 5．已知点A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为 A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵C 为线段AB 上一点，且13ACAB =，∴13AC AB =，∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2）=107133⎛⎫- ⎪⎝⎭，，． 故选C ．【名师点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．由C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 6．已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，点P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为 A ．(1，0，－2) B ．(1，0，2) C ．(－1，0，2)D．(2，0，－1)【答案】 C【名师点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.利用PA ⊥AB ，PA ⊥AC ⇔0PA AB PA AC ⋅=⋅=．即可得出．7．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则点P (－2，1，4)到α的距离为 A ．10 B ．3 C ．83D ．103【答案】D【解析】PA ＝(1，2，－4)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2，1)，所以点P 到平面α的距离为PA ⋅n n＝2441033---=. 故答案为D.【名师点睛】本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.先求出PA ＝(1，2，－4)，再利用点面距离公式求P (－2，1，4)到平面α的距离. 学&科网 8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是A ．32 B ．12C ．14D ．0【答案】C【解析】以AC 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()10,1,2A -，()3,0,0B ，()13,0,2B ，()0,1,0C ，所以向量()13,1,2A B =-，()13,1,2B C =--，所以11cos ,A B B C 1111A B B C A B B C⋅=⨯22222=⨯14=.本题选择C 选项.学科*网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 9．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是 A ．655 B ．455 C ．255D ．55【答案】B【名师点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 建立空间直角坐标系，先求,BA BE 夹角的余弦，再求点A 到直线BE 的距离.10．已知四棱锥P ABCD -中，()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为 A ．2613B ．2626C ．1D ．2【答案】D【名师点睛】本题考查平面的法向量以及利用向量投影求点到平面距离，考查基本分析求解能力，属中档题.先求平面ABCD 的一个法向量，再根据向量投影得结果.11．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为_____. 【答案】23【解析】建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D (2，0，0)，A 1(0，0，2)，E (0，2，1)，则1A D =(2，0，-2)，1AE =(0，2，-1).设平面A 1ED 的法向量为n =(x ，y ，z )，则110,0.A D A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n则220,,20,2.x z x z y z z y -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩即令y=1，得n =(2，1，2). 易知平面ABCD 的法向量为m =(0，0，1)，则cos<n ，m >=·23=n m n m . 故答案为23. 【名师点睛】（1）本题主要考查二面角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用法向量求平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值. 学科*网 （2）二面角的求法：方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）. 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ，再代入公式cos α⋅=±m n m n（其中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）. 12．如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且π2ASB BSC CSA ∠=∠=∠=，M N 、分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为______，直线SM 与平面SAC 所成角大小为_________.【答案】105π4因为()()2101,1,0,0,2,1,cos ,525SM BN SM BN -==-==-⨯，所以异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为105， 易知平面SAC 的一个法向量为()0,2,0,SB =则由22cos ,222SM SB ==⋅得π,4SM SB =，即直线SM 与平面SAC 所成角的大小为π4. 【名师点睛】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量求线线角与线面角.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.13．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是A ．155 B ．22C ．105D ．0【答案】D【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则可得()()()()11,0,2,0,0,1,0,2,1,1,1,0A E G F ， ()()11,0,1,1,1,1A E GF ∴=--=--，【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，可得1,A E GF 的坐标，进而可得1cos<,A E GF >，从而可得结论.学科*网 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 14．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为 A ．105-B ．105 C ．155-D ．155【答案】B【解析】以D 为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴()220BD =--，，，()1002BB =，，，()201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为(),,x y z =n ，【名师点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．以D 为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．15．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BB 1，A 1C 1的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为A ．12B ．32C ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点为O ，以,,OB OC OE 的方向为,,x y z 轴的正方向建立坐标系， 则()30,,0,,0,,0,,0,0,0,2222a a a A D a C E a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则3,,,0,,2222a a a AD a CE a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设AD 与CE 所成的角为θ，则222223012222cos 534444a a a a aa a a a a θ⨯-⨯+⨯==++⋅+. 故选C.学科@网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题，设AC 的中点O ，以,,OB OC OE 的方向为,,x y z轴的正方向建立坐标系，分别求出3,,,0,,2222a a a AD a CE a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 16．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥， AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为A ．23 B ．66 C ．33D ．63【答案】B【解析】以B 为坐标原点，分别以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，【名师点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角.17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=3，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为A ．322B ．102C ．2D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用基本不等式法求三角形面积最值的.学科&网18．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 是线段11AC 上的动点，则下列结论不正确的是A ．三棱锥M ABD -的正视图面积是定值B ．异面直线CM ，AB 所成的角可为π3C ．异面直线CM ，BD 所成的角为π2D ．直线BM 与平面ABCD 所成的角可为π3【答案】D对于D ，结合B 中的坐标系，可得平面ABCD 的法向量为()0,0,1=n ，()1,,1BM a a =-， 所以()221cos<,>11BM a a =-++n ，令()2213cos<,>211BM a a ==-++n ，方程无解，即直线BM 与平面ABCD 所成的角可为π3是错误的.学科%网 故选D.【名师点睛】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，线面角，使用向量法可快速计算空间角的问题，异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补，主要通过异面直线角的范围来确定的，直线与平面所成的角满足sin cos<,>θ=m n ，属于常规题. 判断正视图的底与高是否发生变化来判断A ，利用几何法以及建立空间坐标系将线线角以及线面角的关系转化为向量的关系来判断B ，C 和D ． 19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC =2a ，BB 1=3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE=_____.【答案】a 或2a【名师点睛】本题考查根据向量利用直线与平面的垂直关系求参数，属中档题.建立坐标系，则B 1(0，0，3a )，D 22,,322a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C (0，2a ，0). 设点E 的坐标为(2a ，0，z )，则易知1·CE B D =0.故要使CE ⊥平面B 1DE ，则需1CE B E ⊥，即1·CE B E =0，即可求得结果.20．已知三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 2AB AC ==，1PA =，则球心O 到平面PBC 的距离为_________. 【答案】66【解析】由题意可知，三棱锥位于如图所示的长方体中，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,1，其外接球球心为AD 的中点O ，以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，【名师点睛】首先将结合体补形为长方体，然后建立空间直角坐标系，利用点面距离公式整理计算即可求得最终结果.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.学科#网21．（2018新课标全国II 理科）在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【名师点睛】先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出直线的方向向量或平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。
狂刷17 三角函数的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】先根据图象求周期得 ，再根据点坐标求 ，最后根据 图象确定周期.
已知函数 的图象求解析式：
(1) .
(2)由函数的周期 求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .
5．已知函数 的零点是 和 ，则
A． B．
1．“ ”是“函数 与函数 在区间 上的单调性相同”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D相邻对称轴的距离为 ，若角 的终边经过点 ，则 的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的最小正周期为 , ，
角 的终边经过点 ,∴ ,∵ , ，
同时 ≥ ﹣ = ，则 ≥ ×2，则ω≤ .
当k=0时，0＜ω≤ ，
当k=1时，不等式无解，
故ω的最大值为 ，
故答案为C．学科#网
【名师点睛】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．根据函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ， ，所以 ,
因此 .
故选C.学科%网
【名师点睛】本题考查两角和正切公式以及根与系数的关系，考查基本求解能力.先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果.
6．△ABC中， 分别是内角A,B,C所对的边,若 成等比数列，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
（2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为T= ；
（3）单调性：根据y=sint和t= 的单调性来研究，由 得单调增区间；由 得单调减区间；
高二数学上册(人教A版2019选修一) 专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题(解析版)
专题01通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一直线与平面所成的角1．（2020•海南）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）解：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，1PD AD == ，Q 为l 上的点，QB =，PB ∴=，1QP =，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，作//PQ AD ，则PQ 为平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，因为2QB =，QAB ∆是等腰直角三角形，所以(1Q ，0，1)，则(1DQ = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b a c =⎧⎨+=⎩，取1c =，可得(1n =- ，0，1)，cos n ∴< ，116||||32n PB PB n PB ⋅>==⋅ ，PB ∴与平面QCD 632．（2020•山东）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解答】解：（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，设(Q m ，0，1)，(DQ m = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b am c =⎧⎨+=⎩，取1a =-，可得(1n =- ，0，)m ，cos n ∴<，||||n PB PB n PB ⋅>==⋅ ，PB ∴与平面QCD333==，当且仅当1m =取等号，PB ∴与平面QCD所成角的正弦值的最大值为3．3．（2020•天津）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【解答】解：以C 为原点，CA ，CB ，1CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0C ，0，3)，1(2A ，0，3)，1(0B ，2，3)，(2D ，0，1)，(0E ，0，2)，(1M ，1，3)，（Ⅰ）证明：依题意，1(1C M = ，1，0)，1(2B D = ，2-，2)-，∴112200C M B D ⋅=-+= ，11C M B D ∴⊥；（Ⅱ）依题意，(2CA = ，0，0)是平面1BB E 的一个法向量，1(0EB = ，2，1)，(2ED = ，0，1)-，设(n x = ，y ，)z 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，则(1n = ，1-，2)，cos CA ∴< ，66||||CA n n CA n ⋅>==⋅ ，sin CA ∴< ，130166n >=-= ，∴二面角1B B E D --的正弦值6；（Ⅲ）依题意，(2AB =- ，2，0)，由（Ⅱ）知，(1n = ，1-，2)为平面1DB E 的一个法向量，cos AB ∴<，||||AB n n AB n ⋅>==⋅ ∴直线AB 与平面1DB E4．（2021•浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（Ⅰ）证明：AB PM ⊥；（Ⅱ）求直线AN 与平面PDM所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，由已知可得，1CD AB ==，122CM BC ==，60DCM ∠=︒，∴由余弦定理可得，2222cos60DM CD CM CD CM =+-⨯⨯︒11421232=+-⨯⨯⨯=，则222134CD DM CM +=+==，即CD DM ⊥，又PD DC ⊥，PD DM D = ，CD ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，CD PM ∴⊥，//CD AB ，AB PM ∴⊥；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD ⊥平面PDM ，又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PDM ，且平面ABCD ⋂平面PDM DM =，PM MD ⊥ ，且PM ⊂平面PDM ，PM ∴⊥平面ABCD ，连接AM ，则PM MA ⊥，在ABM ∆中，1AB =，2BM =，120ABM ∠=︒，可得2114212(72AM =+-⨯⨯⨯-=，又PA =Rt PMA ∆中，求得PM ==，取AD 中点E ，连接ME ，则//ME CD ，可得ME 、MD 、MP 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以MD 、ME 、MP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(A 2，0)，(0P ，0，，1,0)C -，又N 为PC的中点，12N ∴-，52AN =- ，平面PDM 的一个法向量为(0,1,0)n = ，设直线AN 与平面PDM 所成角为θ，则5||152sin |cos ,|6||||AN n AN n AN n θ⋅=<>==⋅ ．故直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为156．5．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解答】()I 证明：1A A ⊥ 平面ABC ，1B B ⊥平面ABC ，11//AA BB ∴，14AA = ，12BB =，2AB =，221111()()22A B AB AA BB ∴=+-=，又221122AB AB BB =+=，2221111AA AB A B ∴=+，111AB A B ∴⊥，同理可得：111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，1AB ∴⊥平面111A B C ．()II 解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交11A C 于D ，AB BC = ，OB OC ∴⊥，2AB BC == ，120BAC ∠=︒，1OB ∴=，3OA OC ==以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0A ，3-0)，(1B ，0，0)，1(1B ，0，2)，1(0C 31)，∴(1AB = 30)，1(0BB = ，0，2)，1(0AC = ，23，1)，设平面1ABB 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则100n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴3020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =可得(3n =- 1，0)，1112339cos ,||||213n AC n AC n AC ∴<>==⨯设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则1sin |cos ,|13n AC θ=<>=．∴直线1AC 与平面1ABB ．题型二二面角的平面角及求法6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =．（Ⅰ）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：QCD ∆中，2CD AD ==，QD =，3QC =，所以222CD QD QC +=，所以CD QD ⊥；又CD AD ⊥，AD QD D = ，AD ⊂平面QAD ，QD ⊂平面QAD ，所以CD ⊥平面QAD ；又CD ⊂平面ABCD ，所以平面QAD ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）解：取AD 的中点O ，在平面ABCD 内作Ox AD ⊥，以OD 为y 轴，OQ 为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示：则(0O ，0，0)，(2B ，1-，0)，(0D ，1，0)，(0Q ，0，2)，因为Ox ⊥平面ADQ ，所以平面ADQ 的一个法向量为(1α= ，0，0)，设平面BDQ 的一个法向量为(x β= ，y ，)z ，由(2BD =- ，2，0)，(0DQ = ，1-，2)，得00BD DQ ββ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，得2y =，2x =，所以(2β= ，2，1)；所以cos α< ，23||||1441αββαβ⋅>===⋅⨯++，所以二面角B QD A --的平面角的余弦值为23．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．【解答】解：（1）不妨设圆O 的半径为1，1OA OB OC ===，2AE AD ==，AB BC AC ===，62DO PO ===，PA PB PC ===，在PAC ∆中，222PA PC AC +=，故PA PC ⊥，同理可得PA PB ⊥，又PB PC P = ，故PA ⊥平面PBC ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有31312(,0),(,,0),(0,0,)22222B C P ，(0E ，1，0)，故11(,0),(,,)22222BC CE CP ===- ，设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z = ，则由00n CE n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10212022x y x y z +=-+=，取1x =，则y =，z =，所以平面PCE的法向量为(1,n = ，由（1）可知PA ⊥平面PBC ，不妨取平面PBC 的法向量为22AP = ，故||cos ||||PA n PA n θ⋅== ，即二面角B PC E --．8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．【解答】证明：（1）长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11ABA B ，11B C BE ∴⊥，1BE EC ⊥ ，1111B C EC C = ，BE ∴⊥平面11EB C ．解：（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设11AE A E ==，则1BE EB =，BE ⊥ 平面11EB C ，1BE EB ∴⊥，22221124BE EB BE BB ∴+===，22BE ∴=，222212AE AB AB BE +=+== ，1AB ∴=，则(1E ，1，1)，(1A ，1，0)，1(0B ，1，2)，1(0C ，0，2)，(0C ，0，0)，1BC EB ⊥ ，1EB ∴⊥面EBC ，故取平面EBC 的法向量为1(1m EB ==- ，0，1)，设平面1ECC 的法向量(n x = ，y ，)z ，由100n CCn CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00zx y z =⎧⎨++=⎩，取1x =，得(1n = ，1-，0)，1cos ,||||2m n m n m n ⋅∴<>==-⋅，∴二面角1B EC C --的正弦值为32．9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点．（1）求证：1//D F 平面11A EC ；（2）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值；（3）求二面角11A A C E --的正弦值．【解答】（1）证明：以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1(0A ，0，2)，(2E ，1，0)，1(2C ，2，2)，故111(2,2,0),(0,1,2)A C EC == ，设平面11A EC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100n A C n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则2x =，2y =-，故(2,2,1)n =- ，又(1F ，2，0)，1(0D ，2，2)，所以1(1,1,2)FD =- ，则10n FD ⋅= ，又1D F ⊂/平面1A EC ，故1//D F 平面11A EC ；（2）解：由（1）可知，1(2,2,2)AC = ，则111||3|cos ,|9||||n AC n AC n AC ⋅<>== ，故直线1AC 与平面11A EC所成角的正弦值为9；（3）解：由（1）可知，1(0,0,2)AA = ，设平面11AA C 的法向量为(,,)m a b c = ，则11100m AA m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00c a b =⎧⎨+=⎩，令1a =，则1b =-，故(1,1,0)m =- ，所以|||cos ,|||||3m n m n m n ⋅<>=== ，故二面角11A A C E --13=．10．（2021•北京）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）求证：点F 为11B C 中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为3，求111A M AB ．【解答】（1）证明：连结DE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CD C D ，11C D ⊂平面1111A B C D ，CD ⊂/平面1111A B C D ，则//CD 平面1111A B C D ，因为平面1111A B C D ⋂平面CDEF EF =，所以//CD EF ，则11//EF C D ，故1111////A B EF C D ，又因为1111//A D B C ，所以四边形11A B FE 为平行四边形，四边形11EFC D 为平行四边形，所以11A E B F =，11ED FC =，而点E 为11A D 的中点，所以11A E ED =，故11B F FC =，则点F 为11B C 的中点；（2）解：以点1B 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，设点(M m ，0，0)，且0m <，则(0C ，2，2)-，(2E -，1，0)，(0F ，1，0)，故(2,0,0),(0,1,2),(,1,0)FE FC FM m =-=-=- ，设平面CMF 的法向量为(,,1)m a b = ，则00m FM m FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020ma b b -=⎧⎨-=⎩，所以2a m =，2b =，故2(,2,1)m m = ，设平面CDEF 的法向量为(,,1)n x y = ，则00n FE n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y -=⎧⎨-=⎩，所以0x =，2y =，故(0,2,1)n = ，因为二面角M CF E --的余弦值为53，则|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===，解得1m=±，又0m<，所以1m=-，故11112A MA B=．11．（2021•乙卷）如图，四棱锥P ABCD-的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PD DC==，M为BC中点，且PB AM⊥．（1）求BC；（2）求二面角A PM B--的正弦值．【解答】解：（1）连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM PD⊥，又AM PB⊥，PB PD P=，PB，PD⊂平面PBD，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM BD ⊥，所以90ABD ADB ∠+∠=︒，又90ABD MAB ∠+∠=︒，则有ADB MAB ∠=∠，所以Rt DAB Rt ABM ∆∆∽，则AD BA AB BM =，所以2112BC =，解得BC =（2）因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A B M ，(0P ，0，1)，所以(AP =，22(((1,1)22AM BM BP =-=-=- ，设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z = ，则有00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0202z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y =，2z =，故2)n = ，设平面BMP 的法向量为(,,)m p q r = ，则有00m BM m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020p q r ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令1q =，则1r =，故(0,1,1)m = ，所以|||cos ,|||||14n m n m n m ⋅<>=== ，设二面角A PM B --的平面角为α，则sin α====，所以二面角A PM B --的正弦值为14．12．（2021•甲卷）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接AF ，E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C -的棱AC 和1CC 的中点，且2AB BC ==，1CF ∴=，5BF =11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，BF AB∴⊥3AF∴=，AC===，222AC AB BC∴=+，即BA BC⊥，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，1，0)，(0F，2，1)，设1B D m=，则(D m，0，2)，∴(0BF=，2，1)，(1DE m=-，1，2)-，∴0BF DE⋅=，即BF DE⊥．（2）解：AB⊥平面11BB C C，∴平面11BB C C的一个法向量为(1p= ，0，0)，由（1）知，(1DE m=-，1，2)-，(1EF=-，1，1)，设平面DEF的法向量为(n x=，y，)z，则n DEn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(1)20m x y zx y z-+-=⎧⎨-++=⎩，令3x=，则1y m=+，2z m=-，∴(3n=，1m+，2)m-，cos p∴<，||||p nnp n⋅>===⋅∴当12m=时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当112B D=时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BAD∠=︒，E，M，N分别是BC，1BB，1A D的中点．（1）证明：//MN平面1C DE；（2）求二面角1A MA N--的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N 作NH AD ⊥，则1//NH AA ，且112NH AA =，又1//MB AA ，112MB AA =，∴四边形NMBH 为平行四边形，则//NM BH ，由1//NH AA ，N 为1A D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，//BE DH ∴，BE DH =，则四边形BEDH 为平行四边形，则//BH DE ，//NM DE ∴，NM ⊂/ 平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ；（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则3(2N ，12-，2)，(3M ，1，2)，1(3A ，1-，4)，33(,0)22NM = ，131(,2)22NA =- ，设平面1A MN 的一个法向量为(,,)m x y z = ，由133022312022m NM y m NA x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，取3x =(3,1,1)m =-- ，又平面1MAA 的一个法向量为(1,0,0)n = ，315cos ,||||55m n m n m n ⋅∴<>===⋅ ．∴二面角1A MA N --2215101,1()55cos m n -<>=-= ．14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．【解答】解：（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥；（2）方法一：取OD 的中点F ，因为OCD ∆为正三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF 与BC 交于点M ，则OM OD ⊥，所以OM ，OD ，OA 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OM ，OD ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(0B ，1-，0)，1(,0)22C ，(0D ，1，0)，设(0A ，0，)t ，则12(0,,)33t E ，因为OA ⊥平面BCD ，故平面BCD 的一个法向量为(0,0,)OA t = ，设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z = ，又342(,0),(0,,)2233t BC BE == ，所以由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得3302242033x y t y z +=⎪⎨⎪+=⎪⎩，令x =1y =-，2z t =，故21,)n t=- ，因为二面角E BC D --的大小为45︒，所以||2|cos ,|2||||n OA n OA n OA ⋅<>=== ，解得1t =，所以1OA =，又111224OCD S ∆=⨯⨯⨯=，所以2BCD S ∆=，故11133A BCD BCD V S OA -∆=⋅⋅=⨯=．方法二：过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG ，由题意可知，//EF AO ，又AO ⊥平面BCD所以EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又BC FG ⊥，FG EF F= 所以BC ⊥平面EFG ，又EF ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1CD DO OB OC ====，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23DE DF EF AD OD AO ===，则312,,233AO EF OF DF ===，所以BF GF BD CD=，则112323GF +==，所以23EF GF ==，则312AO EF ==，所以11111332A BCD BCD V S AO -∆=⋅=⨯⨯⨯=．15．（2020•江苏）在三棱锥A BCD -中，已知CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．【解答】解：（1）如图，连接OC ，CB CD = ，O 为BD 的中点，CO BD ∴⊥．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2BD = ，1OB OD ∴==，则2OC ===．(1B ∴，0，0)，(0A ，0，2)，(0C ，2，0)，(1D -，0，0)，E 是AC 的中点，(0E ∴，1，1)，∴(1,0,2)AB =- ，(1,1,1)DE = ．设直线AB 与DE 所成角为α，则||15cos 15||||AB DE AB DE α⋅==⋅ ，即直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515；（2）14BF BC = ，∴14BF BC = ，设(F x ，y ，)z ，则(1x -，y ，1)(4z =-，12，0)，3(4F ∴，12，0)．∴(1,1,1)DE = ，71(,,0)42DF = ，(1,2,0)DC = ．设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取12x =-，得(2,7,5)m =-- ；设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，由22222020n DE x y z n DC x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22x =-，得(2,1,1)n =- ．|||cos|||||m nm nθ⋅∴===⋅sin13θ∴===．16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DE ED=，12BF FB=．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB=，1AD=，13AA=，求二面角1A EF A--的正弦值．【解答】（1）证明：在1AA上取点M，使得12A M AM=，连接EM，1B M，1EC，1FC，在长方体1111ABCD A B C D-中，有111////DD AA BB，且111DD AA BB==．又12DE ED=，12A M AM=，12BF FB=，1DE AM FB∴==．∴四边形1B FAM和四边形EDAM都是平行四边形．1//AF MB∴，且1AF MB=，//AD ME，且AD ME=．又在长方体1111ABCD A B C D-中，有11//AD B C，且11AD B C=，11//B C ME∴且11B C ME=，则四边形11B C EM为平行四边形，11//EC MB∴，且11EC MB=，又1//AF MB，且1AF MB=，1//AF EC∴，且1AF EC=，则四边形1AFC E为平行四边形，∴点1C在平面AEF内；（2）解：在长方体1111ABCD A B C D-中，以1C为坐标原点，分别以11C D，11C B，1C C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．2AB = ，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，(2A ∴，1，3)，(2E ，0，2)，(0F ，1，1)，1(2A ，1，0)，则(2,1,1)EF =-- ，(0,1,1)AE =-- ，1(0,1,2)A E =- ．设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ．则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取11x =，得1(1,1,1)n =- ；设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z = ．则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取21x =，得2(1,4,2)n =．121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ 设二面角1A EF A --为θ，则42sin 7θ==．∴二面角1A EF A --的正弦值为7．17．（2019•天津）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)．设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ．则(1,0,0)AB = 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h = ，可得0BF AB ⋅= ．又 直线BF ⊂/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0)BD =- ，(1,0,2)BE =- ，(1,2,2)CE =-- ．设(,,)n x y z = 为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(2,2,1)n = ．4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅∴<>==-⋅ ．∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49；（Ⅲ）解：设(,,)m x y z = 为平面BDF 的法向量，则020m BD x y m BF y hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，可得2(1,1,m h =- ，由题意，22|4|||1|cos ,|||||3432m n h m n m n h -⋅<>===⋅⨯+ ，解得87h =．经检验，符合题意．∴线段CF 的长为87．18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B CG A --的大小．【解答】证明：（1）由已知得//AD BE ，//CG BE ，//AD CG ∴，AD ∴，CG 确定一个平面，A ∴，C ，G ，D 四点共面，由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，AB ∴⊥面BCGE ，AB ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ．解：（2）作EH BC ⊥，垂足为H ，EH ⊂ 平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，EH ∴⊥平面ABC ，由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=︒，1BH ∴=，3EH =，以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H xyz -，则(1A -，1，0)，(1C ，0，0)，(2G ，0)，(1CG = ，0，(2AC = ，1-，0)，设平面ACGD 的法向量(n x = ，y ，)z ，则020CG n x AC n x y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3x =，得(3n = ，6，，又平面BCGE 的法向量为(0m = ，1，0)，cos ,||||2n m n m n m ∴<>== ，∴二面角B CG A --的大小为30︒．19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM MC ⊥，正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，AD ∴⊥平面DCM ，则AD MC ⊥，AD DM D = ，MC ∴⊥平面ADM ，MC ⊂ 平面MBC ，∴平面AMD ⊥平面BMC ．（2）ABC ∆ 的面积为定值，∴要使三棱锥M ABC -体积最大，则三棱锥的高最大，此时M 为圆弧的中点，建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD 的边长为2，(2A ∴，1-，0)，(2B ，1，0)，(0M ，0，1)，则平面MCD 的法向量(1m = ，0，0)，设平面MAB 的法向量为(n x = ，y ，)z 则(0AB = ，2，0)，(2AM =- ，1，1)，由20n AB y == ，20n AM x y z =-++= ，令1x =，则0y =，2z =，即(1n = ，0，2)，则cos m <，||||m n n m n >== ，则面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值sin 5α==．20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BO ，2AB BC == ，O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====，PO AC ∴⊥，23PO =，则222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB A C O = ，PO ∴⊥平面ABC ；（2）建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：(0A ，2-，0)，(0P ，0，23)，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =- ，2，0)，设(2BM BC λλ==- ，2λ，0)，01λ<<则(2AM BM BA λ=-=- ，2λ，0)(2--，2-，0)(22λ=-，22λ+，0)，则平面PAC 的法向量为(1m = ，0，0)，设平面MPA 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则(0PA = ，2-，23)-，则2230n PA y z ⋅=--= ，(22)(22)0n AM x y λλ⋅=-++= 令1z =，则3y =-，(1)31x λλ+=-，即(3(1n λλ+=- ，31)，二面角M PA C --为30︒，cos30||||||2m n m n ⋅∴︒== ，2=，解得13λ=或3λ=（舍)，则平面MPA的法向量n =，1)，(0PC = ，2，-，PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin |cos PC θ=<，||164n >===．21．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥ 平面ABCD ，PA CD ∴⊥，AD CD ⊥ ，PA AD A = ，CD ∴⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，(0E ，1，1)，2(3F ，23，4)3，(0P ，0，2)，(2B ，1-，0)，(0AE = ，1，1)，224(,,)333AF = ，平面AEP 的法向量(1n = ，0，0)，设平面AEF 的法向量(m x = ，y ，)z ，则02240333m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1x =，得(1m = ，1，1)-，设二面角F AE P --的平面角为θ，则||3cos ||||33m n m n θ⋅===⋅ ．∴二面角F AE P --的余弦值为33．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下： 点G 在PB 上，且23PG PB =．4(3G ∴，23-，2)3，∴4(3AG = ，23-，2)3， 平面AEF 的法向量(1m = ，1，1)-，4220333m AG ⋅=--= ，故直线AG 在平面AEF 内．。
狂刷37 立体几何的综合-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (原卷版)
13．如图，以等腰直角三角形 的斜边 上的中线 为折痕，将 与 折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：
① 平面 ；
② 为等边三角形；
A． B．
C． D．
3．圆锥底面半径为 ，高为 ， 是一条母线， 点是底面圆周上一点，则 点到 所在直线的距离的最大值是
A． B．
C． D．
4．在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于 ，交 于 得四边形 ，则下列结论正确的是
A．四边形 一定为菱形
B．四边形 在底面 内的投影不一定是正方形
C．四边形 所在平面不可能垂直于平面
A． B．
C． D．
16．在 中， 分别为 三边中点，将 分别沿 向上折起，使 重合，记为 ，则三棱锥 的外接球表面积最小为
A． B．
C． D．
17．已知在正方体 中，点 上一个动点，则 的最小值为
A．6B．
C． D．
18．已知正方体 的棱长为2，点 是线段 上的动点，则三棱锥 的外接球半径的取值范围为__________．
A． 平面 B． 平面
C．直线 相交于同一点D．
7．如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面三角形 是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
A． 与 是异面直线B． 平面
C．AE， 为异面直线，且 D． 平面
8．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
专题八立体几何
狂刷13 辛亥革命-学易试题君之小题狂刷君2019学年高一历史人教版(必修1)(原卷版)
1
1．叶圣陶在一则日记中写道：“课毕后阅读报纸，见专电栏中有云：XX 已为革命党所据，新军亦起而响应……从此而万恶之政府即已推倒，亦未可知也。
”日记反映的重要事件是
A ．黄花岗起义
B ．武昌起义
C ．北伐战争
D ．南昌起义
2．孙中山（1866—1925）在回忆录中说：“28岁那年，我就与20多个华侨，在海外成立起革命团体，决心用流血斗争推翻满清王朝。
”孙中山“28岁那年”的主要行动是
A ．他与革命党人一起发动广东沿海起义
B ．联合其他革命团体，成立中国同盟会
C ．成立兴中会，提出“振兴中华”的口号
D ．领导华侨支持康有为和梁启超的戊戌变法运动
3．孙中山坦率地承认：“倘近数日内，无足够之资金以解燃眉之急……虽经种种筹划，而时光荏苒，交涉
迄无结果……于军队解散、革命政府崩溃之前，作为最后之手段，唯有与袁世凯缔结和议，以防天下大乱。
”这说明孙中山让位给袁世凯的主要目的是
A ．维护既得革命成果
B ．实现和平建国
C ．顺利通过《临时约法》
D ．缓解财政困难
4．《中华民国临时约法》第四十五条规定：国务员于临时大总统提出法律案，公布法律及发布命令时，须副署之。
该规定的进步意义在于
A ．否定了君主专制制度
B ．宣扬了资产阶级自由平等思想
C ．体现了三权分立原则
D ．一定程度上限制总统专制独裁
5．学者陈旭麓认为：“
（毛泽东）富有历史感地把新民主主义的胜利，看成整个民主革命的胜利。
辛亥革。
狂刷13 伴性遗传和人类遗传病-学易试题君之小题狂刷2019年高考生物人教版(原卷版)
1 狂刷13 伴性遗传和人类遗传病
1．下列有关伴性遗传特点的叙述，错误的是
A ．红绿色盲症女性患者的父亲和儿子都是患者
B ．伴X 染色体隐性遗传病中，男患者的父亲和母亲可以都正常
C ．抗维生素
D 佝偻病男性患者的母亲和女儿都是患者
D ．伴X 染色体显性遗传病中，女患者的父亲和母亲可以都正常
2．果蝇的红眼对白眼为显性，受一对等位基因控制，位于X 染色体上。
下列哪组杂交子代中，通过眼色就可直接判断果蝇的性别
A ．白♀×白♂
B ．杂合红♀×红♂
C ．白♀×红♂
D ．杂合红♀×白♂
3．火鸡的性别决定方式是ZW 型(♀ZW 、♂ZZ)。
曾有人发现少数雌火鸡(ZW)的卵细胞未与精子结合，也可以发育成二倍体后代。
遗传学家推测，该现象产生的原因可能是：卵细胞与其同时产生的三个极体之一结合，形成二倍体后代(WW 胚胎不能存活)。
若该推测成立，理论上这种方式产生后代的雌雄比例是
A ．雌∶雄＝1∶1
B ．雌∶雄＝1∶2
C ．雌∶雄＝3∶1
D ．雌∶雄＝4∶1
4．果蝇是XY 型性别决定的生物，正常雄性和雌性果蝇的体细胞中分别含有XY 、XX 性染色体。
但果蝇种群中偶尔也会出现性染色体异常的种类，如表所示是性染色体异常果蝇的性别、育性情况。
下列相关说法不正确的是 项目 XXY XXX XYY YY OY XO 性别 雌性 — 雄性 — — 雄性 育性 可育 死亡 可育 死亡 死亡 不育
A ．表中结果显示果蝇性染色体的组成类型会影响果蝇的性别。
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1 专题八 立体几何
狂刷36 空间角与距离
1．如图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
【答案】C
【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,CD AD ，则11CD A B ∥，
则异面直线AC 与1A B 所成的角等于直线AC 与1CD 所成的角，即为1ACD ∠，
又由1ACD △为等边三角形，所以160ACD ∠=，即异面直线AC 与1A B 所成的角等于60. 故选C.
【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答异面直线所成角的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.由题意，在正方体中把异面直线AC 与1A B 所成的角转化成直线AC 与1CD 所成的角，即可求解.
2．在正三棱锥P ABC -中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，则点P 到平面ABC 的距离为
A ．3
B ．2
C ．33
D ．23。