通信网理论基础.4排队论[1]
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排队论
G：一般分布。表示到达间隔时间或服务时间服从一般分布。G是General的第 一个字母。
EkE：rlkan-爱g 尔朗的分第布一。个表字示母到。达间隔时间或服务时间服从k-爱尔朗分布。E是 D: 定长分布 (常数时间)
H：超几何分布。
L：H项式分布。
Z代表的服务规程典型的有：
FCFS：先来先服务；LCFS：后来先服务；RSS：随机选择服务；
PR：优先权服务。 Ba：集体（批量）服务。 GD：一般规约服务，即通用规约服务。
排队论课件 23
3 基本排队关系
在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队系 统，若满足以下三个条件：
（1）排队系统能够进入统计平衡状态；
（2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务 （或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内到达 有k个顾客到达的概率为：
♂
※
排队论课件
11
基本的排队模型
基本组成 概念与记号 指数分布和生灭过程
♂
排队论课件 12
典型排队系统模型
顾客到达: 在队列中排队 服务台服务 顾客离开
输入源
。。。
输入源的 特性？
到达规律 队列大小？
到达方式？
服务规律？
服务协议？
在本单元中，我们主要介绍排队系统的组成和特征，排队系统 的到达和服务，经典排队模型等内容。顾客到达规律和服务规 律都是通过概率来描述的，所以概率论是排队论的基础。
排队论课件1
排队规则
• （c）从队列的数目看，可以是单列，也 可以是多列。 • 在多列的情形，各列间的顾客有的可以 互相转移，有的不能（如用绳子或栏杆 隔开）。 • 有的排队顾客因等候时间过长而中途退 出，有的不能退出（如高速公路上的汽 车流），必须坚持到被服务为止。 • 我们将只讨论各列间不能互相转移、也 不能中途退出的情形。
§1 基本概念
• 排队论起源于1909 年丹麦电话工程师A. K．爱 尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研 究。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章— “自动电话交换中的概率理论的几个问题的解 决”。 • 排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、 生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌 溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命 力。
Hale Waihona Puke 排队模型的分类• 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布 的符号是： • M――负指数分布（M是Markov的字头，因为 负指数分布具有无记忆性，即Markov性） • D――确定定型（Deterministic） • Ek――k阶受尔朗(Frlang)分布 • GI――般相互独立（General Independent）的 时间间隔的分布 • G――一般（General）服务时间的分布
…
…
c
c 2
c d
…c
服务机构
• (d) 服务方式可以对单个顾客进行，也可以对成 批顾客进行，公共汽车对站台等候的顾客就成批 进行服务，我们将只研究单个单个地服务方式。 • （ e ）和输入过程一样，服务时间也分确定型的 和随机型的。自动冲洗（服务）的时间就是确 定 ，但大多数情形的服务时间是随机型的。对 于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。 • （f）和输入过程一样，服务时间的分布我们总 假定是平稳的，即分布的期望值、方差等参数都 不受时间的影响。
排队论基础
Network Laboratory
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
排队论知识点(一)
排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。
队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。
排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。
排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。
根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。
2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。
根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。
3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。
4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。
5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。
排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。
M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。
2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。
到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。
3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。
到达过程仍然是泊松过程。
4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。
排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。
通信网理论分析要点
图2.2 用于定义泊松过程的时隙
利用上述3点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客到达的概率
p(k)，由下式给出：
p(k)=( T)ke− T/k!（k = 0，1，2，…）
（2.1）
这就是熟知的泊松分布。其平均值E(k)和方差 k2由下式给出:
E(k) kp(k) T
k 0
2 k
E(k 2 ) E 2 (k)
为了对泊松过程进行定义，在时间轴上取一个很小的时隙Dt， 如图2.2所示。用下面3个表述来对泊松过程进行定义。
① 在时隙△t中有一个顾客到达的概率定义为λ△t +o(△t)， o(△t)表示△t的更高阶项，当△t →0时，它更快地趋于0； λ 是一比例常数，且λ△t <<1。
② 在△t中没有顾客到达的概率是1− λ△t +o(△t)。 ③ 到达是无记忆的，即在长度为△t的一个时隙内的顾客到 达，与以前或以后的时隙中的到达无关。
图2.5 M/M/1排队系统的状态图
在系统状态图中，有顾客到达时，状态以 速率向右转移一 步；有顾客完成服务时状态以速率m 向左移动一步。在系统处
于统计平衡状态下，可列出系统统计平衡方程：
（2.4）
平衡方程是通过稳态平衡原理来建立的，等式两边分别表
示脱离状态n的速率与由状态n−1或n+1进入状态n的速率。在
Pn (1 ) n ( 1)
（2.5）
式中， ＜1是上式能够成立的必要条件。为使平衡得以存 在，队列的到达率或负荷必须小于输出容量m 。如果在无限长
排队模型中Pn这一条件不满足，队列就会随时间持续不断地
增长，而永远达不到平衡点。图2.6所示为当 = 0.5时状态概
率的图形表示。
图2.6 M/M/1状态概率（r = 0.5）
利用上述3点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客到达的概率
p(k)，由下式给出：
p(k)=( T)ke− T/k!（k = 0，1，2，…）
（2.1）
这就是熟知的泊松分布。其平均值E(k)和方差 k2由下式给出:
E(k) kp(k) T
k 0
2 k
E(k 2 ) E 2 (k)
为了对泊松过程进行定义，在时间轴上取一个很小的时隙Dt， 如图2.2所示。用下面3个表述来对泊松过程进行定义。
① 在时隙△t中有一个顾客到达的概率定义为λ△t +o(△t)， o(△t)表示△t的更高阶项，当△t →0时，它更快地趋于0； λ 是一比例常数，且λ△t <<1。
② 在△t中没有顾客到达的概率是1− λ△t +o(△t)。 ③ 到达是无记忆的，即在长度为△t的一个时隙内的顾客到 达，与以前或以后的时隙中的到达无关。
图2.5 M/M/1排队系统的状态图
在系统状态图中，有顾客到达时，状态以 速率向右转移一 步；有顾客完成服务时状态以速率m 向左移动一步。在系统处
于统计平衡状态下，可列出系统统计平衡方程：
（2.4）
平衡方程是通过稳态平衡原理来建立的，等式两边分别表
示脱离状态n的速率与由状态n−1或n+1进入状态n的速率。在
Pn (1 ) n ( 1)
（2.5）
式中， ＜1是上式能够成立的必要条件。为使平衡得以存 在，队列的到达率或负荷必须小于输出容量m 。如果在无限长
排队模型中Pn这一条件不满足，队列就会随时间持续不断地
增长，而永远达不到平衡点。图2.6所示为当 = 0.5时状态概
率的图形表示。
图2.6 M/M/1状态概率（r = 0.5）
排队论
泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分 布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单 流是它的一个特例。 此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或 称对时间是齐次的。 平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称 为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。 因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征
排队论
叫做最简单流或泊松流。
♂
对泊松流，从数学上可以证明，在时间t，系统 内有n个顾客到达的概率服从泊松分布
※
排队论课件
15
服务系统的决策变量
P n(t)(n t!)net,t0,n0,1,2,
其数学期望 t ，均方差t 。
下面讨论当顾客流是泊松流时，两顾客相
继到达的时间间隔T的概率分布。
设T的分布函数为 FT(t)P{Tt}，这个概率
※
排队论课件
13
服务系统的决策变量
（1）在不相重叠的时间区间内，顾客到达的 数量是相互独立的。这称为流的无后效性。
（2）对充分小的时间间隔t ，在时间区间
[t而,t仅与t]区内间有长一度个成顾正客比到。达即的概率与时间t无关，
P 1 (t,t t)( t) o ( t)
式中，P1 表示系统中有一个顾客的概率， 表
※
排队论课件
5
服务系统的构成
在一个服务系统中的基本运行过程是这样 的：要求某种服务的顾客进入服务系统，当 发现服务员都忙着时，就自动排队等待。服 务员按某一规律选择队列中的顾客进行服 务。 服务完后，顾客离开服务系统（见图81）。
因此任何一个服务系统都由下面几部分组 ♂成：
※
排队论课件
6
服务系统的构成
排队论（Queueing Theory）
排队论课件
1
第一节 服务系统的基本概念
前言
服务系统的构成
服务系统的主要分类
服务系统的运行指标
服务系统的决策变量
服务系统模型的符号表示法
♂
※
排队论课件
2
前言
人们排队等待某种服务是一个很普遍的
现象。在商店、旅馆、食堂、医院、售票
排队论及其在通信中的应用
排队论及其在通信中的应用姓名：徐可学号:2012202120131 专业：通信与信息系统摘要：排队论又称随机服务系统理论，它广泛应用于通信领域，是通信网络流量设计的基础理论。
本文通过对排队论基本概念的介绍，进而阐述了排队论在通信网中的应用，以实例分析的方法揭示了排队论在通信网络流量设计中的重要作用。
关键词：排队论通信网络Abstract:Queuing theory which is also called the theory of random service system is widely used in the communication field,and it is the basic theory of traffic flow in the communication network design。
This paper introduce the basic concept of queuing theory, and expounds the queuing theory in communication network applications. with a case analysis，this paper reveals the important role of the queuing theory in communication network design 。
Key words: Queuing theory communication network1 排队论基本概念1.1 排队系统的概念把要求服务的一方称为顾客,把提供服务的一方称为服务机构，而把服务机构内的具体设施称为服务员（或服务窗口）。
顾客要求的随机性和服务设施的有限性是产生排队现象的根本原因。
排队论就是利用概率论和随机过程理论，研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系,以便合理地设计和控制排队系统［1］。
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4.1
排队论基础
iPower Communications Systems Research Group
North China Electric Power University (Beijing) 排队现象 iPower Communications Systems Research Group
第4章 排队论及网内通信业务分析
iPower Communications Systems Research Group
North China Electric Power University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group North China Electric Power University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group North China Electric Power University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group
华北电力大学信息工程系 i Power
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North China Electric Power University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group North China Electric Power 基本概念 University (Beijing) North China Electric Power University (Beijing) 排队论又称随机服务系统，主要解决与随机到来、排队服务现象有关 iPower Communications 的应用问题。排队论的创始人Erlang正是为了解决电话交换机容量的设 iPower Communications Systems Research Group Systems Research Group 计问题而提出排队论。 North China Electric Power University (Beijing) North China Electric Power 排队论主要研究三个方面内容： University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group （1）形态问题，即研究各种排队系统的规律性，这包括队长分布、等 iPower Communications North China Electric Power University (Beijing) 待时间分布、忙闲期分布等，同时又分稳态和瞬态两种情形。 Systems Research Group iPower Communications Systems Research Group （2）最优化问题，又分静态最优和稳态最右；前者指最优设计，后者 North China Electric Power 指现在排队系统的最优运用。 North China Electric Power University (Beijing) University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group （3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合那种类型， iPower Communications 以便根据排队理论进行分析研究。 (Beijing) North China Electric Power University Systems Research Group iPower Communications Systems Research Group
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4.1.1 基本概念
4.1.2 概率模型与最简单流
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4.1.1 基本概念
North China Electric Power University (Beijing) 顾客(要求服务的一方)+服务(提供服务的一方)→排队系统 North China Electric Power University (Beijing) iPower Communications 广义排队现象 iPower Communications Systems Research Group Systems Research Group 通信：呼叫——线路 信息包——分组交换机 North China Electric Power University (Beijing) North China Electric Power 其它： 敌机——防空设施 客机——跑道 University (Beijing) iPower Communications Systems Research Group 复杂性 iPower Communications North China Electric Power University (Beijing) 随机性——到达与离去不确定——工作于随机状态 Systems Research Group iPower Communications Systems Research Group 资源少——顾客排队长——服务质量下降 North China Electric Power North China Electric Power University (Beijing) University (Beijing) 资源多——服务闲置——资源浪费 iPower Communications Systems Research Group iPower Communications 目标 North China Electric Power University (Beijing) Systems Research Group 顾客提供满意服务; 提高资源利用率 iPower Communications Systems Research Group
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