(初一)F1 之进站策略

F1之进站策略
沈阳市东北育才学校初一数学1班：林奕峰指导教师：徐秋慧
一、背景与问题的提出
F1，中文称为"一级方程式锦标赛"，是英文F o r m u l a G r a n d P r i x的简称，目前这项比赛的正式全名为F I A F o r m u l a W o r l d C h a m p i o n s h i p(一级方程式赛车世界锦标赛)。

一级方程式锦标赛是由国际汽车运动联合会从1950年开始举办的，为何叫做F o r m u l a（方程式）赛车呢？方程式其实就是"规则与限制"的意思，参加F1比赛的队伍必须在F I A所制订的如方程式般精确的规格与规则下制造赛车和进行比赛；而F1是F I A所制订的方程式赛车规范中等级最高的，因此以“1”命名。

目前，F1是许多人所关注的体育项目，其魅力来自于精彩激烈的比赛以及车手的影响力。

今年更是舒马赫及法拉利车迷最为喜悦的一年。

舒马赫继续着自己良好的势头，未满足于已经夺取的六个总冠军，而是在今年已结束的5站大奖赛中全部摘得桂冠。

这不仅延续了其本人在F1迷心目中和西班牙卡塔伦亚赛道上的"车王"地位，而且为自己的第二百场分站赛夺取了第75个冠军。

这无疑是一个骄人且让人难以置信的成绩！身为舒马赫的忠实车迷，在欣喜之余，我也冷静下来仔细考虑了一下：舒马赫为何会屡屡夺魁呢？
我曾记得有人说过：“F1比赛中，要想取胜，七分靠战车，二分凭策略，一分比技术”。

在当今赛车制造技术不相上下的情况下，良好的战术安排已成为决定比赛胜负的关键。

而这种战术安排中，进站策略无疑是最重要的一环。

在看过极具戏剧性的西班牙大奖赛后，不禁心中提出一个疑问：在卡塔伦亚赛道上应采取怎样的进站策略才能取胜呢？
二、下面请让我以本年度F1西班牙大奖赛为例作具体的分析。

赛道及战绩的具体情况
1.赛道及参数示意图：
弯道名称介绍：1、埃尔夫(E l f)；2、雷诺(R e n a u l t)；3、里普索尔(R e p s o l)；
4、斯特(S e a t)；
5、坎普萨(C a m p s a)；
6、卡特斯克亚(L a C a t x a)；
7、萨巴德尔(B a n o D e S a b a d e l)
2.西班牙大奖赛正赛成绩一览表：
3.西班牙大奖赛排位赛成绩一览表：
名次车号车手车队轮胎成绩时速11舒马赫法拉利普利司通1'15"022222.031K m/h 23蒙托亚威廉姆斯米其林1'15"639+0'00"617 310佐藤琢磨B A R米其林1'15"890+0'00"868 47特鲁利雷诺米其林1'16"144+0'01"122 52巴里切罗法拉利普利司通1'16"272+0'01"250 64小舒马赫威廉姆斯米其林1'16"293+0'01"271 717潘尼斯丰田米其林1'16"313+0'01"291 88阿隆索雷诺米其林1'16"422+0'01"400 914韦伯美洲虎米其林1'16"514+0'01"492 105库塔迈凯轮米其林1'16"636+0'01"614 1116达-马塔丰田米其林1'17"038+0'02"016 1211费斯切拉索伯普利司通1'17"444+0'02"422
136雷克南迈凯轮米其林1'17"445+0'02"423 149巴顿B A R米其林1'17"575+0'02"553 1518海德菲尔德乔丹普利司通1'17"802+0'02"780 1615克莱恩美洲虎米其林1'17"812+0'02"790 1712马萨索伯普利司通1'17"866+0'02"844 1820布鲁尼米纳尔迪普利司通1'19"817+0'04"795 1919潘塔诺乔丹普利司通1'20"607+0'05"585 2021鲍姆加特纳米纳尔迪普利司通1'21"470+0'06"448
三、建模与模型分析
1、应选用早进站还是晚进站的策略
在本年度的西班牙大奖赛中，雷诺车队的车手特鲁利凭借极其优异的发车在第一次进站加油前一直处于首位，法拉利的舒马赫仅以0.5秒之差位居次席。

当比赛进行到第9圈时，特鲁利率先进站，1圈之后，舒马赫也进站。

特鲁利进站加油时间为5.9秒，舒马赫则用了6.7秒，也就是说舒马赫比特鲁利慢了（0.5+6.7-5.9=）1.3秒。

而等到舒马赫出站时，红色法拉利的舒马赫却刚好位于特鲁利之前，这不禁使人费解。

事实上——
一方面，巴里切罗的赛车发车时与舒马赫加油量的差恰好为特鲁利的赛车加油后与法拉利的轻车油量的差，而他们三人车速几乎相同，又由表3知舒马赫与巴里切罗的赛车发车时相差1.250秒，故可得特鲁利的赛车加油后每圈约比法拉利的轻车（包括舒马赫）多用时1.250秒。

另一方面，由表3可知快车与慢车(慢车是指排位未进入前8名的车)单圈成绩均相差1.4秒以上，至少约为1.5秒。

而特鲁利出站后与慢车缴在一起，慢车又不能在第一个弯角——“埃尔夫”处全部让车，必须等到进入下一个直道时才能让车。

由出站到雷诺弯据粗略统计约长1223m，则这段距离使特鲁利再次浪费了一段时间。

据表1若以赛道所能承受的最快车速飞奔，每圈平均时速与出站后到雷诺弯间平均时速几乎相同，又因为当时舒马赫前面无赛车，也就是说舒马赫可以发挥最快车速(即222.031k m/h)，所以可以算出特鲁利从出站到雷诺弯之
间相对于舒马赫所浪费的时间为
秒396.01000
627.412235.1=⨯⨯ （1） 注：1° 4.627k m 指的是整个赛道长，下同；
2°“×1000”表示单位换算，下面所提到的“60”、“1000”相
同。

由此（1.250+0.396>1.3）可见，舒马赫在赛道上多跑一圈再进站绝对可以挽回他差特鲁利 1.3秒的劣势。

也不难得出，在成绩相近时，晚进站策略会占有极大的优势。

2．首次进站应在何时
有人会说，虽然是舒马赫晚进站的策略使他占到了便宜，但为什么特鲁利出站后刚好与慢车缴在一起，而舒马赫则不然呢？
我们可以这样计算一下：
首先，由表 3 可知特鲁利的赛车每圈比慢车少用时 0.4 秒，在前 9 圈（即特鲁利进站前）慢车落后于特鲁利秒6.394.0=⨯，再加上发车时领先慢车的 8 个车位（约有 5 秒钟的时间），共至少可领先慢车 8.6 秒，特鲁利赛车的车速可计算为
022.20460605
.5144.1660627.4=⨯⨯++ （2） 注：1° “60+16.144”由表3中的“1`16``144”所知，以下类同；
2°“+5.5”是分析表2得出的赛车在正赛与排位赛上的成绩差。

这个差距有两方面原因，一是车手体能问题，二是前有慢车、后有追兵，既需要超车、又要阻止后面车辆超越自己，所以每圈会浪费“5.5”秒。

下面“6”和“5”类同，这数据依车手驾车水平粗略估计
同理可算出舒马赫的车速为
843.20760605
022.1560627.4=⨯⨯++
（3）
最快的慢车的车速为
805.20160606
514.1660627.4=⨯⨯++
（4）
这样，特鲁利进站前领先最快的慢车 m 5.4571000022.2049022.204627.4805.201627.4=⨯⨯⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
（5） 由于舒马赫前9圈在特鲁利之后，因此他无法跑出自己的最快速度，而是基本上以特鲁利的车速行进，只有第10圈时才发挥自己的最高车速，因此他进站时领先慢车
m 1.5965.4571000843.207843.207627.4805.201627.4=+⨯⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
（6）
再有，加油站长为 400 m ，进站后限速100 k m /h ，再算上特鲁利当时加油换胎所用的5.9秒钟，可求出他进站一次大约用时 )
秒3.209.560601000100400=+⨯⨯
（7）
于是，慢车用这段时间可以追赶特鲁利 m 9.113760
601000805.2013.20=⨯⨯⨯
（8）
而舒马赫进站加油换胎耗时 6.7 秒，所以他进站一次共用时间 ()
秒1.217.66060/1000100400=+⨯⨯
（9）
在这段时间内慢车追赶舒马赫
m 118260601000805.2011.21=⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⨯⨯
（10）
从而，出站后舒马赫可位于最快的慢车后 ()m 9.1851.5964001182=+-（相当于1~2个车位） （11） 而特鲁利落后最快的慢车
()m 4.2805.4574009.1137=+-（相当于3~4个车位） （12） 这样，舒马赫几乎可以超过其余所有未进站的慢车。

即使舒马赫落后于一两辆赛车，由于前面为直道，舒马赫为快车，也可使前面的赛车在“埃尔夫”弯角前让车；而特鲁利出站后则位于慢车之中，无法在“埃尔夫”弯角前使慢车全部为其让车，必然影响其车速。

上述内容不仅解释了为何特鲁利出站后位于慢车之中，而舒马赫则位于慢车之前，而且说明在卡塔伦亚赛道上，对快车而言第10圈进站优于第9圈进站。

事实上，第10圈进站不仅优于第9圈进站，也是最佳进站时间。

因为，如果快车第11圈或第12圈进站，当然可以超越所有慢车。

但这样的话，车进站越晚，随着剩下的圈数的减少，工作人员观察赛道和制定策略的时间就越短，往往也就越难调整以后的进站加油时间。

且如果第10圈进站，而出站后第1个弯角——“埃尔夫”前最快的慢车不会让车，则快车与其时速相差不大。

这样，慢车不可能影响快车的时速。

综上所述，第10圈为首次进站最佳时间。

3．采取两次进站策略还是三次进站策略。

有些车迷看到法拉利的巴里切罗采用两次进站策略而由排位赛的第五名升到了正赛的第二，所以不免会认为两次进站的策略或许会比三次进站策略更好。

其实不然。

我们可以这样计算：
ⅰ 巴里切罗两次进站，平均每次需加油9.5秒，其它快车均为三次进站，
平均每次需加油7秒，即巴里切罗平均每次加油时间约比其它快车多用2.5秒。

ⅱ 按比例计算，巴里切罗在比赛过程中有近⎪⎭⎫ ⎝
⎛≈⨯5.95.26517.1圈比其他快车加油后的速度进行。

ⅲ 由表3结合表2计算得出，巴里切罗加油后跑完一圈至少需用
60+16.272+5.5+1＝82.772秒 （13） 注：“1”为加油后赛车约比发车时多用的时间，此为估值。

由当时比赛情况以及表2综合统计得出。

其余快车跑完一圈大致需用60+16.144+5.5＝81.644秒 （14） 所以巴里切罗比其余快车车手每圈慢近（82.772－81.644＝）1.128秒的时间。

ⅳ 综合计算得，巴里切罗至少要比舒马赫多用时
1.128×17.1+23.9×2－21.1×3＝3.789秒 （15） 注：其中23.9由（7）式同理所得；21.1由（9）式得出。

这还仅仅是最优化计算，尚未计算巴里切罗发车时落后于舒马赫的时间以及他在赛道上比对手多跑的400多米长的距离所需要的时间。

所以说少进站一次的策略虽然也不错，但这样就无法夺得冠军。

四、结论与实例验证
经过以上分析，所得结论如下：
1、尽可能比竞争对手晚些时间进站，这一策略适用于任何赛道。

实例：①今年的圣马利诺大奖赛中，舒马赫从发车起便一直位于巴顿之后。

但由于巴顿率先进站，舒马赫在赛道上争取了足够的时间，最终以绝对优势夺取了冠军。

② 2004年度摩纳哥大奖赛上，舒马赫发车时位于第5位，正是由于他比其它快车均晚进站，使得出站后舒马赫越至第3位。

虽说最终由于舒马赫车轮抱死，被蒙托亚撞出赛道，未能续写辉煌，但这个战例也说明了晚进站具有极大优势。

2、在比赛中，首次进站应在跑完10圈之后，这种方案适用于与卡塔伦亚赛道类似的赛道上比赛。

实例：1995年10月1日，德国大奖赛中，舒马赫便是采用了三次进站的策略，并且在第10圈时首次进站，最终夺取了分站赛的冠军。

在其余赛道比赛时，进站时间也可用公式1]4004.21[
+-V t
进行计算。

注：21.4为进一次站所需时间（秒）；
V 表示慢车车速(m /s )；
V t 表示快车与慢车的单圈成绩差（秒）；
400为加油站长（m ）；
21.4－400/V 表示的是进站一次比慢车未进站多用的时间；
V t
4004.21-表示进站最佳时间的准确数，然而此往往为小数。

赛车
不可能在最佳时间进站，必采取进一法，否则快车会夹与慢车之间。

当然，赛车也可比公式所得的数早一两圈进站，但这需要考虑当时赛道情况以及出站后至第一个弯角前，慢车是否会位于快车之前。

通过“注”可知，原公式能求得应在何时进站最佳。

实例：2004年度马来西亚大奖赛上，舒马赫在处于领先情况下，第9圈时首次进站，最终夺得冠军。

我们可以用上面的公式做一下解释：当时排位赛第9名的库塔与舒马赫每圈的差距为1.528秒，即V t ＝1.528。

又知库塔排位赛成绩为1分34秒602，赛道长5.543千米，所以库塔在正赛时每秒钟成绩为
098.556
602.34601000543.5＝++⨯ （其中的“6”与（2）式同理） 即V ＝55.098，利用公式得舒马赫可于第10圈或10圈之前进站。

当时由于舒马赫位于首位，前几圈越跑越快，故选取了第9圈进站的策略。

而正是这一良好的进站方案，使他毫无争议的夺得了冠军。

3、应采取三次进站的策略，此策略适用于与卡塔伦亚赛道类似的赛道上
比赛。

实例：①2004年度巴林大奖赛上舒马赫正是凭借着此策略将领先优势一直保持到比赛结束。

②在2004年度首站澳大利亚大奖赛上舒马赫与巴里切罗同是采取3次进站的策略，保持了排位赛上的优势，为法拉利车队包揽了前两名。

五、总结
由于我是一名初一的学生，知识与能力方面尚有缺欠，再加上研究赛程时须考虑当时风向、风速以及赛道状况，还有就是比赛中汽车是进行非机械运动，车速随时变化，耗油量也不尽相同。

所以论文中有不完善的地方请读者能给予帮助与支持，不吝赐教，批评指正。

通过这次论文的写作，我受益匪浅。

不仅培养了我们应用数学知识的能力，而且使我感受到了运动无处不在，数学无处不在。

这次建模活动对我的素质教育的发展无疑是大有裨益的。