9章3_合成_阻尼_受迫_共振_小结详解
《受迫振动 共振》 讲义
《受迫振动共振》讲义一、引入在我们的日常生活和科学研究中，振动现象无处不在。
从琴弦的颤动发出美妙的音乐，到桥梁在车辆行驶时的晃动，再到微观世界中原子的振动，振动现象丰富多样。
而在众多振动类型中，受迫振动和共振是两个非常重要的概念。
二、受迫振动（一）定义受迫振动是指振动系统在外界周期性驱动力作用下的振动。
（二）特点1、受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与系统的固有频率无关。
例如，一个荡秋千的小孩，当外力按照一定的频率推动时，秋千的振动频率就会与外力的推动频率相同。
2、受迫振动的振幅与驱动力的频率以及系统的固有频率有关。
一般来说，当驱动力的频率接近系统的固有频率时，振幅会逐渐增大。
（三）受迫振动的数学表达式假设振动系统的质量为 m，弹簧的劲度系数为 k，阻尼系数为 c，驱动力为 F(t) ＝ F₀cos(ωt)，则受迫振动的运动方程可以表示为：md²x/dt²＋ cdx/dt ＋ kx ＝ F₀cos(ωt)（四）受迫振动的实例1、扬声器中的纸盆在音频电流的驱动下振动发声。
2、发动机工作时，活塞的运动就是一种受迫振动。
三、共振（一）定义当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值，这种现象称为共振。
（二）特点1、共振时，振幅达到极大值。
2、共振时，能量传递效率最高。
（三）共振的条件驱动力的频率等于系统的固有频率。
（四）共振的危害与利用1、危害（1）桥梁在大风或车辆的共振作用下可能发生坍塌。
（2）机器设备在共振时可能会损坏零件，缩短使用寿命。
2、利用（1）利用共振原理来检测物体的固有频率。
（2）在建筑设计中，避免共振的发生以确保建筑物的安全。
（3）微波炉利用共振原理让食物中的水分子振动从而加热食物。
四、受迫振动与共振的关系受迫振动是共振的基础，共振是受迫振动的特殊情况。
当驱动力的频率逐渐接近系统的固有频率时，受迫振动的振幅逐渐增大，直到达到共振状态。
五、影响共振的因素（一）系统的固有频率不同的物体具有不同的固有频率，这取决于物体的质量、形状、材料等因素。
第九章 机车车辆垂向动力学
3.
在共振点处，为使振幅不增加，必须使A激=A减
于是有 πkaZ t = πqZ t2 p ⇒q= ⇒D= ka k = pZ t pγ (Q γ = Zt ) a
q q k 1 1 = = = ( 与从运动学得出的公式 D = 比较) 2 2 qc 2 Mp 2 Mp γ 2γ 2 γ −1 上式在相对阻尼率D很小的情况下成立，因这里没有计入减振力本 身引起的挠度变化。
③当η < 2 时， ⇒ D ↑→ δ ↓ ，即阻尼增加，加速度下降（减小）。
19
结论四：对超临界速运行的机车车辆，D应选小一些，即D取0.2～ 0.25；而对亚临界速运行的机车车辆，D应选大一些，即D取0.3～ 0.4——主要目的是：减小动力作用（即减小振动加速度幅值）。
又 Q Zp 2 = δ (aω 2 ) ∴ 在同样的阻尼下， 自振频率愈低，则振动时车体的加速度愈小。
L vc ≈ 2 f0 (m / s )
1
④
可见：只要使机车车辆实际运行v＜vc（亚 0 临界）或v＞vc （超临界），就可以避免共振。
1
2
η
8
6. 共振建立过程
① 由方程的通解
z = A cos ωt + B sin ωt +
令初始条件t=0时，z=0，dz/dt=0 则可得：
a sin pt 2 1− ( p / ω)
12
••
•
13
A.
由此可得下述两个结论： 结论一：自振振幅 Ae − βt 随时间按等比级数衰减。 自振振幅随着时间增长而衰减，经过一个周期后，振幅比为：
Z t0
Ae − βt0 βT 2πβ / ω ' = =e =e − β ( t 0 +T ) Z t1 Ae
受迫振动共振实验报告
一、实验目的1. 了解受迫振动的基本原理和共振现象。
2. 通过实验验证受迫振动共振的条件，并观察共振现象。
3. 研究不同频率、阻尼和激励力对受迫振动共振的影响。
4. 掌握实验数据采集和分析方法，提高实验技能。
二、实验原理受迫振动是指在外力作用下，物体发生的振动现象。
当外力的频率与物体的固有频率相同时，会发生共振现象，此时物体的振幅达到最大值。
实验原理基于牛顿第二定律，物体的运动方程可表示为：\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) \]其中，\( m \) 为物体的质量，\( c \) 为阻尼系数，\( k \) 为弹簧劲度系数，\( x \) 为物体的位移，\( F(t) \) 为外力。
当外力为简谐振动时，即 \( F(t) = F_0 \cos(\omega t) \)，则运动方程可简化为：\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t) \]三、实验仪器与设备1. 波尔共振仪2. 信号发生器3. 数字示波器4. 阻尼器5. 连接线四、实验步骤1. 将波尔共振仪的摆轮与阻尼器连接，并调整阻尼器，使摆轮处于自由振动状态。
2. 打开信号发生器，设置合适的频率和幅度，产生简谐振动信号。
3. 将信号发生器的输出信号连接到波尔共振仪的输入端，开始实验。
4. 使用数字示波器观察波尔共振仪的振动信号，记录振幅和频率。
5. 调整信号发生器的频率，观察共振现象，记录共振频率和振幅。
6. 改变阻尼器的阻尼系数，观察阻尼对共振现象的影响。
7. 改变激励力的幅度，观察激励力对共振现象的影响。
五、实验结果与分析1. 实验结果表明，当信号发生器的频率与波尔共振仪的固有频率相同时，发生共振现象，振幅达到最大值。
2. 随着阻尼系数的增加，共振频率逐渐降低，振幅逐渐减小。
3. 随着激励力幅度的增加，共振现象更加明显，振幅达到最大值。
六、实验结论1. 受迫振动共振现象是当外力频率与物体的固有频率相同时，物体振幅达到最大值的现象。
阻尼与共振的现象
阻尼与共振的现象阻尼与共振是物理学中重要的概念。
它们描述了物体或系统在振动过程中的行为。
阻尼是指振动过程中能量逐渐减弱的现象，而共振则是指在一定条件下，系统受到外界激励出现幅度增大的情况。
本文将介绍阻尼与共振的基本概念、具体表现形式以及在现实生活中的应用。
1. 阻尼的概念阻尼是指振动系统因受到外界的阻碍而逐渐减弱振幅和能量的过程。
阻尼现象可以通过物体的抗力和摩擦力来实现，使振动系统受到的能量逐渐被耗散。
在阻尼过程中，振幅会随时间的增加而减小，直至最终停止。
2. 阻尼的表现形式阻尼分为三种形式：无阻尼、欠阻尼和过阻尼。
无阻尼情况下，振动系统在没有外界干扰的情况下，振幅会一直保持不变，能量不受损失。
欠阻尼是指振动系统在受到一定阻碍后，振幅会逐渐减小，但最终会停止在某个位置上，能量有所损失但不完全衰减。
过阻尼则是指振动系统在受到更大阻碍后，振幅需要更长的时间才能达到稳定状态，能量消耗更大，振幅衰减更快。
3. 共振的概念共振是指在一定条件下，系统受到外界激励后幅度会增大的现象。
当外界激励的频率与系统本身的固有频率接近时，系统会受到共振的作用，振幅增大。
共振现象在各个领域都有应用，比如音乐中的共鸣、机械工程中的结构共振等。
4. 共振的表现形式共振有两种形式：谐振和失谐振。
谐振是指外界激励的频率与系统的固有频率完全一致的情况下，系统受到共振作用，振幅达到最大值。
失谐振则是指外界激励频率与系统的固有频率存在一定差异的情况下，振幅不会达到最大值，但仍然会比无激励状态下振幅大。
5. 阻尼与共振的应用阻尼和共振的现象在物理学和工程学中有广泛的应用。
在建筑工程中，针对地震振动，采取一定的阻尼措施可以减小建筑物的震动幅度，提高抗震能力。
在机械工程中，研究共振现象可以避免结构共振破坏，从而提高机械系统的稳定性和寿命。
此外，阻尼与共振的原理也可以应用于乐器制作、电路设计等领域。
总之，阻尼与共振是物理学中重要的现象。
阻尼描述了振动过程中能量逐渐耗散的现象，而共振描述了在特定条件下受到外界激励后振幅增大的现象。
利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告
利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告一、实验目的1、观察摆轮的自由振动、阻尼振动和受迫振动现象。
2、研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，并测定阻尼系数。
3、研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象，测定受迫振动的共振频率和共振振幅。
二、实验仪器波尔共振仪，包括振动系统、电磁阻尼系统、电机驱动系统、光电计数系统和智能控制仪等部分。
三、实验原理1、自由振动无阻尼的自由振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2}＝k\theta$，其中$m$为摆轮的转动惯量，＄k$为扭转弹性系数，＄＼theta$为角位移。
其解为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega_0 t ＋＼varphi)＄，其中$＼omega_0 ＝＼sqrt{＼frac{k}｛m}｝＄为固有角频率，＄A$和$＼varphi$为初始条件决定的常数。
2、阻尼振动考虑阻尼时，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝ 0$，其中$b$为阻尼系数。
根据阻尼的大小，可分为三种情况：小阻尼：＄＼omega ＝＼sqrt{＼omega_0^2 ＼frac{b^2}｛4m^2}｝＄，振动逐渐衰减。
临界阻尼：振动较快地回到平衡位置。
大阻尼：不产生振动。
3、受迫振动在周期性外力矩$M ＝ M_0\cos\omega t$作用下，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋ b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝M_0\cos\omega t$。
稳定时，振动的角位移为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega t ＋＼varphi)＄，其中振幅$A ＝＼frac{M_0}｛＼sqrt{（k m\omega^2)＾2 ＋（b\omega)＾2}｝＄，相位差$＼varphi ＝＼arctan\frac{b\omega}｛k m\omega^2}＄。
9章3_合成_阻尼_受迫_共振_小结
量最大。
机械振动小结
一、内容提要
1.简谐运动的特征与规律 A. 动力学特征： B.运动学特征： C.规律：
2.描写简谐运动的基本物理量及其关系 A.振幅： A B.角频率、频率和周期： C.初相位： 由系统决定角频率： 由初始条件确定 A和
：
！！简谐运动可以用旋转矢量表示
A t+ A
t=t
t=0 X
o
· x x = A cos( t + )
参考圆
3、简谐运动的能量 A.动能： B.势能：
C.特点：机械能守恒
4、求解简谐运动的方法 A、解析法 B、振动曲线求法 C、旋转矢量求法
D、能量求法
5. 简谐振动的合成 A. 同方向同频率：
多个：用旋转矢量合成 B.同方向不同频率：拍
能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用，系统的动能转化为热能。
阻 尼 振 动
辐射阻尼： 振动以波的形式向外传播，使振动能量 向周围辅射出去。
阻尼振动的振动方程:（以摩擦阻尼为例）
振子受粘性阻力:
f v
d2x dx 2 2 0 0 2 dt dt
解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则 m
m
mg kl 0
当m有位移x时
mg T ma
a T k ( l x )R J R 联立得 J kx m 2 a R d2x k x0 2 2 dt m J R
x y , A1 A2 直线
x2 y2 2 xy 2 cos( ) si n ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
物理-阻尼振动 受迫振动和共振
大学物理第9章振动第6节 阻尼振动 受迫振动 共振
第九章 振 动
7
物理学
第五版
*9
– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
共振频率
A
2
共振频率 小阻尼
阻尼 0
r 0 2
2
共振振幅 f
大阻尼
0
P
应用：声、光、电、原子内部、工程技术 同时要注意避免共振造成破坏。
振 动
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物理学
第五版
*9
– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
小号发出的声波足以使酒杯破碎
第九章 振 动
9
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物理学
第五版
*9
– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
1940年华盛顿的塔科曼 大桥在大风中产生振动
随后在大风中因产 生共振而断塌
我国四川綦江彩虹桥的断裂： 质量太差， 武警跑步（引起共振）
f A ( 02 p2 ) 4 2 p2
tan
2 p
2 0
2 p
第九章
振 动
6
物理学
第五版
*9
– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
三、共振
在弱阻尼即 << 0的情况下， 当 = 0时， 系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振。
d2 x dx 2 2 x f cos p t 0 2 dt dt x A cos( p t ) f dA A 0 2 2 2 2 ( 0 p ) 4 p d p
第九章 振 动
10
10
动力学分析： 阻尼力 Fr Cv
kx Cv ma
d x dx m 2 C kx 0 dt dt
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分振动：
2 合振动： x
A1
2
y
2 2
2 xy A1 A 2
cos(
A2
2
1 ) sin (
2
2
1)
讨论
1. 2 1 0,
2. 2 1 ,
椭圆
x A1
x A1
y A2
,
y
直线
解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则 m
mg kl 0
m
当m有位移x时
mg T ma
a R
T k ( l x )R J
联立得
J kx m a 2 R
d x dt
2 2
m m
k m J R
2
x0
物体作简谐运动
多个：用旋转矢量合成 B.同方向不同频率：拍
拍频为：
C.两个相互垂直同频率的振动：椭圆
D.两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图
6、阻尼振动，受迫振动，共振。
例： 如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻 弹簧、一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质 量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后 放手，任其振动，试证物体作简谐运动，并求其 周期T.
阻 尼 振 动
辐射阻尼： 振动以波的形式向外传播，使振动能量 向周围辅射出去。
阻尼振动的振动方程:（以摩擦阻尼为例）
振子受粘性阻力:
f v
dx dt m dx dt
2 2
运动方程： kx
0
k m
d x dt
2
2
2
dx dt
0 0
2
固有角频率
阻尼因子
小阻尼 每一周期内损失的能量 越小，振幅衰减越慢， 周期越接近于谐振动。
小阻尼
过阻尼
阻尼过大，在未完成一次振动以
x (t )
过阻尼
前，能量就以消耗掉，振动系统
将通过非周期运动回到平衡位置
t
x (t )
临界阻尼 使系统能以最短时间返回平衡位
临界阻尼
置，而恰好不作往复运动的阻尼
应用于天平调衡
t
二、 受迫振动
振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。 强迫力 振动周期与周期性 外力的周期相同
x
A
O
t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件， 而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的 大小和强迫力的特征有关。
三、共振
1、位移共振
强迫力角频率为某
一定值r时，受迫 振动位移振幅达到 极大值的现象。 共振频率 阻尼越小，r愈接近0
r 0 阻尼为零时，
2、速度共振:
一定条件下, 速度幅 值达到极大的现象。
2 m J R k
2
k m J R
2
T
2
2
0 速度幅值达到极大值
速度共振时，速度与 策动力同相，一周期 内策动力总作正功， 此时向系统输入的能
量最大。
机械振动小结
一、内容提要
1.简谐运动的特征与规律 A. 动力学特征： B.运动学特征： C.规律：
2.描写简谐运动的基本物理量及其关系 A.振幅： A B.角频率、频率和周期： C.初相位： 由系统决定角频率： 由初始条件确定 A和 ：
椭圆 , 右旋
x y
2 2
1, 正椭圆 , 左旋.
A1
A2
进一步 : 2
椭圆 , 左旋
五、两个相互垂直、不同频率的简谐运动的合成
较复杂，轨道不稳定。 两振动频率成简单的整数比时，合成轨道才稳定。 轨道形状为李萨如图形。
Hale Waihona Puke 阻尼振动 受迫振动 共振一、阻尼振动
能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用，系统的动能转化为热能。
！！简谐运动可以用旋转矢量表示
t=t
t+
A A
t=0 X
o
· x x = A cos( t + )
参考圆
3、简谐运动的能量 A.动能： B.势能：
C.特点：机械能守恒
4、求解简谐运动的方法 A、解析法 B、振动曲线求法 C、旋转矢量求法
D、能量求法
5. 简谐振动的合成 A. 同方向同频率：
A2
,
直线
x
2 2
y
2 2
2 xy A1 A 2
cos(
A1
A2
2
1 ) sin
2 2
2
(
2
1)
3. 2 1
2
,
x
2 2
y
1, 正椭圆 , 右旋.
A1
A2
2 2
进一步 : 0
4. 2 1 3 2 ,