3.3 几何概型约会型问题的汇编
几何概型约会型问题
例1.小明家的晚报在下午5：30～6：30 之间的任何一个时间随机地被送到，小 明一家在下午6：00～7：00之间的任何 一个时间随机地开始晚餐 . 那么晚报在 晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析： 该题题意明确，但如何转化为数学模型 需要从实际问题中分析出存在的两个变量. 由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设 然后 晚报送到和晚饭开始的时间分别为 x、 y ， 把这两个变量所满足的条件写成集合的形式， 把问题转化为线性规划问题进行求解.
1 1 1 7 S ABCD 1 1 1, S阴 影 1 2 2 2 8 7 S阴 影 7 8 P 所以所求概率为： S ABCD 1 8
故晚报在晚餐开始之前被送到 7 的概率是 8 .
.
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关 系，其求解的步骤为： （1）找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x , y ； （2）集合表示.用( x, y )表示每次试验结果， 则可用相应的集合分别表示出全部结果 和事件 A 所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个 二元一次不等式的交集. （3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作 出，并求出集合 , A 对应的区域的面积. （4）计算求解.由几何概型公式求出概率.
2 2 当且仅当- ≤x-y≤ ， 3 3
因此转化成面积问题，利用几何概型求解.
解:设两人分别于x时和y时到达约见地 点，要使两人能在约定时间范围内相 见，当且仅当 2 ≤ x y ≤ 2 .
3 3
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各 种可能结果可用图中的单位正方形内(包括 边界)的点来表示，两人能在约定的时间范 围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果 可用图中的阴影部分(包括边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比 就反映了两人在约定时间范围内相遇的可 能性的大小，因此所求的概率为
33几何概型
3.3 几何概型一、教学目标： 1. 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2. 情感态度与价值观：本节课主要特点是随机试验多，学习是养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：1. 几何概型的概念、公式及应用；2. 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、教学过程：1. 创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2. 基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：① 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；② 每个基本事件出现的可能性相等． 3. 例题分析：例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。
高中数学(北师大版)必修三教案：3.3 几何概型典例剖析
几何概型典例剖析一、几何概型的基本特性解决几何概型的求概率间题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多，(2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．事件A 若满足几何概型，则事件A 的概率计算公式是：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =. 与古典概率一样，几何概率也具有非负性（对任意事件A ，有0≤P （A ）≤1）、规范性（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）和有限可加性（当事件A 1、A 2 、…、A n 互斥时，P （A 1+A 2 +…+A n ）= P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）．另外几何概率还具有完全可加性，即当事件A 1、A 2 、A 3 、……互斥时，则∑∑∞=∞==11i i i i A P A P ）（）（.值得注意的是：如果随机事件所在区域是一个单点，因其长度、面积、体积均为0，所以其出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则其出现的概率为1，但它不是必然事件．二、几何概型的应用2.1 与(时间)长度有关的几何概型例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s 之间时全部被擦掉，即在Os 到40s 之间，也即Omin 到32min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin 到30min 之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．解析: 设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在Omin 到32min 时间段内按错键，所以点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A 对应的区域是Omin 到32min 的时间段,而不是21min 到32min 的时间段.2.2 与面积有关的几何概型例2．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点满在面积为41π×12.22cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率:答：“射中靶心”的概率是0.01.点评: 在几何区域D 内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率: 的度量的度量D d A P )(.2.3 与体积有关的几何概型例3.在1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨: 病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得10mL 种子可以看作区域d,所有种子可视为区域D.解：取出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=.1001100010==所有种子的体积取出种子的体积点评: 本题事件A 的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定.2.4 创新应用型几何概型例4. （会面问题）热恋中的甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解析：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是P （A ）=167604560222=-=S S A 几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化．O x y 60 60 15 15。
高三数学专题复习-约会问题
数学专题复习 几何概型—“约会问题”案例：圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?思考：1、能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。
2、两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。
3、 若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。
案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。
在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。
其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。
最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。
下面是上述案例的概率分析：问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率： 167604560)(222=-=A P 。
图1课堂反馈：思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。
可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则6160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。
几何概型复习约会型概率的求解
例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三
班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，
必须满足 7 ≤ x ≤ 7 1 ,7 ≤ y ≤ 7 1 ;
3
3
7
1
≤
x
≤7
2 ,7
1
≤
y
≤7
2 ;
3
33
3
7 2 ≤ x ≤ 8, 7 2 ≤ y ≤ 8.
3
3
即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内， 所以由几何概型的计算公式得，P= 即甲、乙同乘一车的概率为
P( A)
12
1 2 12
1 2
1 2
7. 8
例2:两人约定在12∶00到1∶00之间相见， 并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去， 如果两人出发是各自独立的，在12∶00至 1∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两 人在约定时间内相见的概率．
2
两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即
小时，
3
设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约
时刻相差不超过2秒的概率___3_/_4
3、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的 码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的 1）如果甲和乙的停泊时间都是4小时，它们中的任 何一条船不需要等待码头空出的概率是__2_5_/36 2）如果甲的停泊时间为4小时，乙的停泊时间为2小 时，它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概 率是__2_2_1_/288
高中数学必修3讲义 专题3.3 几何概型
第三章概率3.3 几何概型1．几何概型（1）几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.（2）几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有________多个.②每个基本事件发生的可能性________.（3）古典概型与几何概型的异同点相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：()P A ________________.3．均匀随机数的产生（1）均匀随机数的定义在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，称这样的随机数为均匀随机数.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数.（2）均匀随机数的特征由均匀随机数的定义,可得随机数的特征：①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.（3）[0,1]上的均匀随机数利用计算器的RAND（）函数可以产生0~1之间的均匀随机数,试验的结果是区间［0,1］上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.因此,可以用计算器产生0~1之间的均匀随机数进行随机模拟.用带有PRB功能的计算器产生均匀随机数的方法如图所示：K 知识参考答案：1．（2）①无限 ②相等 2．A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）K —重点 理解几何概型的概念及基本特点，掌握概率的计算公式 K —难点 理解几何概型的概念及基本特点K —易错几何概型中测度的选取容易弄错，导致计算错误1．与长度有关的几何概型的求法求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A 发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A 的概率.【例1】从区间[]2,2-中随机选取一个实数a ，则函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】()14214221x x x x f x a a +=-⋅+=-⋅+,令20x t =>，则()()221f x g t t at ==-+.若函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，即方程14210x x a +-⋅+=有实根，即方程2210t at -+=有大于零的实根.由根与系数的关系得1210t t =>，故方程的两个根同号，则1220t t a +=>，解得0a >.又因为2440a ∆=-≥，解得1a ≤-或1a ≥.综上所述，满足题意的a 的取值范围是12a ≤≤.故由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是()211224-=--.故本题正确答案为A【名师点睛】本题考查的是函数的零点和几何概型问题.本题中的函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，通过换元20x t =>，转化为方程2210t at -+=有大于零的实根，由2440a ∆=-≥，1210t t =>且1220t t a +=>，解得12a ≤≤，由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是14. 2．与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.【例2】已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是A ．π12- B ．π13-C ．π112-D ．π16-【答案】D 【解析】如图，∵三角形的三边长分别是5,5,6，∴三角形的高4AD =，则三角形ABC 的面积164122S =⨯⨯=.易知蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应的区域为图中的阴影部分， 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的12，又圆的半径为2，则阴影部分的面积为21112π2122π2S =-⨯⨯=-，根据几何概型的概率计算公式可得所求的概率为122ππ1126-=-，故选D.【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论. 3．与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.【例3】已知在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,2PA AB ==,在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则三棱锥O PAB -的体积不小于23的概率为______. 【解析】如图,取,,,AD BC PC PD 的中点分别为,,,E F G H ,连接,,,,EF FG GH HE 当点O 在几何体CDEFGH 内部或表面上时,23O PAB V -≥.在几何体CDEFGH 中,易知56CDEFGH G CDEF G DEH V V V --=+=, 又83P ABCDV -=,则所求概率为5568163=.【名师点睛】本题主要考查几何概型、棱锥的体积公式，考查了空间想象能力与计算能力. 4．随机模拟的应用（1）求解不规则图形的面积：利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A 的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()A P A =随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()P A =A 随机取点的全部结构成事件的区域面果构成的积区域面积列等式求解.（2）估算随机事件的概率：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟.应用随机模拟方法设计模拟试验，可用计算器产生随机数，通过随机数的特征来估计概率.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.【例4】设函数y =f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f (x )≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y =f (x )及直线x =0,x =1,y =0所围成区域的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,…,x N 和y 1,y 2,…,y N ,由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,…,N ).再数出其中满足y i ≤f (x i )(i =1,2,…,N )的点数N 1,那么由随机模拟方法可得S 的近似值为__________．【解析】这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成N 个点,而在曲线y =f (x )及直线x =0,x =1,y =0所围成的区域内的点有N 1个,所以1N S SN ≈矩形,又矩形的面积是1,所以由随机模拟方法得到S 的近似值为1N N. 【名师点睛】用随机模拟的方法构造几何概型求面积,即可求出所求面积的近似值. 【例5】（1）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，求事件“||1AM ≤”的概率；（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x ，y ，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对(,)x y 共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）． 【解析】（1）如图，在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，满足条件的点M 落在扇形BAD 内（图中阴影部分），由几何概型的概率计算公式，得π(||1)4ABCDS P AM S ≤==阴影部分正方形， 故事件“||1AM ≤”的概率为π4．（2）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，任取两个小于1的正实数x ，y ，所有基本事件构成区域01(,)|01x x y y Ω⎧⎫<<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<<⎪⎪⎩⎩⎭，即正方形ABCD 内部；事件N =“以x ，y 与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域220101(,)|11x y N x y x y x y ⎧⎫<<⎧⎪⎪⎪<<⎪⎪⎪=⎨⎨⎬+>⎪⎪⎪⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，即扇形BAD 以外正方形ABCD 以内的阴影部分. 由（1）知π()14P N =-，全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x ，y ，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x ，y 与1为边长能构成锐角三角形”的(,)x y 共有12对，即有12个点落在区域N 中，故其概率为1235614=，用频率估计概率，有π31414-≈，即π11414≈，故1122π4 3.143147≈⨯=≈，即π的近似值为3.143．【方法点睛】本题主要考查了几何概型问题，其中解答中涉及几何概型及其概率的计算、几何概型的应用等知识点，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中仔细审题，转化为几何的度量关系是解答的关键． 5．几何概型中测度的选取不正确【例6】在等腰直角三角形ABC 中,直角顶点为C . （1）在斜边AB 上任取一点M ,求AM <AC 的概率;（2）在∠ACB 的内部,以C 为端点任作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率.（2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为2AC AC AB AB '==【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度. 【正解】（1）如图所示,在AB 上取一点C ',使AC '=AC ,连接CC '. 由题意,知AB 2 C.由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB . 所以()22AC P AM AC AB AC'<===.（2）由于在∠ACB 内作射线CM ,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB ,又1(18045)67.52ACC '∠=-=，90ACB ∠=，所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度67.53904=.【名师点睛】在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性.1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A B C D2．一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为 A 3B 33C 3D 33．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为A ．13B ．19C ．127D ．344．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为A．22B．2π2C．16D．1π65．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为A．16B．13C．23D．456．在区间[–π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点的概率为A．78B．34C．12D．147．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=A．12B．14C．3D．78．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A–A1BD内的概率为___________．9．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为___________．10．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n（n≥3，n∈N）边形内的概率为P n，下列论断正确的是A．随着n的增大，P n减小B ．随着n 的增大，P n 先增大后减小C ．随着n 的增大，P n 增大D ．随着n 的增大，P n 先减小后增大11．某同学到公共汽车站乘车去学校，可乘坐8路、23路公共汽车，其中8路车每10分钟一班，23路车每15分钟一班，则该同学等车不超过8分钟的概率为___________．12．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=2，DC=2，BC=1．它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率．13．利用计算机随机模拟方法计算y=4x 2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以执行以下算法步骤：第一步，利用计算机产生两个在[0，1]内的随机数a ，b ； 第二步，对随机数a ，b 实施变换：112-14a a b b =⎧⎨=⎩，得到点A （a 1，b 1）；第三步，判断点A （a 1，b 1）的坐标是否满足b 1<421a ；第四步，累计所产生的点A 的个数m 及满足b 1<421a 的点A 的个数n ；第五步，判断m 是否小于M （一个设定的数），若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法． 若设定的M=150，且输出的n=51，请据此用随机模拟方法估计出区域Ω的面积（结果保留到小数点后两位）．14．已知|p|≤3，|q|≤3，点（p，q）均匀分布．（1）点M（x，y）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M（x，y）落在上述区域的概率；（2）求方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率．15．已知关于x的一元二次方程x2–2（a–2）x–b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求该一元二次方程有两个正实数根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求该一元二次方程没有实数根的概率．16．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：组别一二三四五候车时间/min [0，5）[5，10）[10，15） [15，20） [20，25）人数 2 6 4 2 1（1）估计这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；（3）若从第三、四组的6人中选2人进行进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．17．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 318．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 19．（2017•江苏）记函数f （x ）=26x x +-定义域为D ．在区间[–4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 17 18 ABCDCBDCAB1．【答案】A【解析】四个选项中小明中奖的概率分别为3111,,,8433，故应选A 中的游戏盘．2．【答案】B【解析】设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则R=33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S=πR2=13πa2．由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P=22341π3aa=334π，故选B．4．【答案】D【解析】点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体1111ABCD A B C D-可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．3314π183π6aPa⨯==，故选D．5．【答案】C【解析】设AC=x cm，则BC=（12–x）cm，若矩形的面积大于20 cm2，则x（12–x）>20，解得2<x<10，故所求概率P=10-212=23．6．【答案】B【解析】由题意，知点（a，b）在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点，需满足4a2+4b2–4π≥0，即a2+b2≥π，a2+b2≥ππ阴影部分所示，所以其面积为4π2–π2=3π2，所以函数f（x）有零点的概率为223π4π=34．8．【答案】16【解析】设事件M 为“此动点在三棱锥A –A 1BD 内”，则P （M ）=11111--A A BD ABCD A B C D V V 三棱锥长方体=11111--A ABD ABCD A B C D V V 三棱锥长方体=11111-1·3ABDABCD A B C D AA S V 长方体=1111·32·ABCDABCD AA S AA S 矩形矩形=16．9．【答案】16【解析】以O 为起点的射线OA 等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA 落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA 落在阴影内的概率是60360︒︒=16． 10．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式有P n =n S S 正边形圆，而圆的面积固定，正n 边形的面积随n 的增大而增大，所以P n 也增大． 11．【答案】6875【解析】设该同学到站x 分钟后23路车到站，y 分钟后8路车到站，则0≤x ≤15，0≤y ≤10，如图．若等车不超过8分钟，即8分钟内乘坐8路车或23路车，记为事件M ，则事件M 所对应的区域（如图中阴影部分）的面积为8×8+2×8+7×8=136，整个区域（矩形OABC ）的面积为10×15=150，所以所求概率P （M ）=136150=6875．12．【答案】1–π10． 【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，如图所示．在Rt △AFD 中，因为AD=2，DF=BC=1，所以AF=1，∠A=45°，所以梯形ABCD 的面积S 1=12×（2+2+1）×1=52． 扇形DAE 的面积S 2=π×（2）2×45360︒︒=π4．根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P=121S S S -=5π2452-=1–π10．13．【答案】S Ω≈5.28．【解析】因为0101a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，且11214a a b b =-⎧⎨=⎩，所以111104a b -≤≤⎧⎨≤≤⎩，依题意区域Ω为如图所示的阴影部分，设区域Ω的面积为S Ω，则ABCDS S Ω矩形≈150-51150， 所以42S Ω⨯≈99150，解得S Ω≈5.28． 14．【答案】（1）14．（2）36π36-．【解析】（1）点M （x ，y ）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标， 共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M 有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）， （3，1），（3，2），（3，3），共9个，所以点M（x，y）落在已知区域的概率P1=936=14．（2）因为方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根，所以Δ=（2p）2–4（–q2+1）≥0，解得p2+q2≥1，又|p|≤3，|q|≤3，故由图易知满足条件的点（p，q）所在区域的面积为36–π，所以方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率P2=36π36．（2）试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16．设“该一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域Ω'={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a–2）2+b2<16}，其面积为S（Ω'）=14×π×42=4π，故所求的概率为P（B）=4π16=π4．【名师点睛】几何概型和古典概型中每个基本事件发生的可能性都是相等的，古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型要求基本事件有无限个，且几何概型多与事件的区域面积（长度或体积）有关．16．【答案】（1）10.5（min）．（2）32．（3）8 15．【解析】（1）这15名乘客的平均候车时间约为115×（2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1）=115×157.5=10.5（min ）． （2）这15名乘客中候车时间少于10 min 的频率为2615+=815，所以这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数大约为60×815=32．17．【答案】A【解析】如图：设BC =2r 1，AB =2r 2，AC =2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12–2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22–S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22–12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ，∴P 1=P 2，故选A ． 18．【答案】B【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S =2π，则对应概率P =24π=8π，故选B ．19．【答案】59【解析】由6+x –x 2≥0得x 2–x –6≤0，得–2≤x ≤3，则D =[–2，3]，则在区间[–4，5]上随机取一个数x ， 则x ∈D 的概率P =()()3254----=59，故答案为：59．。
3.3几何概型
2
-1
0
1
x
以直线 x=1，x=-1，y=0，y=1 为边界作矩 形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均 匀随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
理论迁移
例4.在一边长为2的正六边形的纸片上，
有一个半径为R的半圆孔，随机向该纸
片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔
穿过的概率为 3 ，则R=_________.
知识探究（二） ：几何概型的概率
思考 2：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘， 甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？
B N B N B N N B N N B
B
知识探究（二） ：几何概型的概率
思考 3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环， 从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心 是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛 的靶面直径是 122cm，黄心直径是 12.2cm，运 动员在距离靶面 70m 外射箭.假设射箭都等可能 射中靶面内任何一点， 那么如何计算射中黄心的 概率？
分布直方图，数据在[3, 5]内的频数为m，
现向该频率分布直方图内(即5个小长方形
内)抛掷一点，则该点落在阴影部分的概率
是0.7，求m.
频率 组距
O1 2 3 4 5 6
x
小 结
1. 在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随 机数只取区间内的整数.
小 结
1. 在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随 机数只取区间内的整数.
2. 利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试 验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列 问题，体现了数学知识的应用价值.
【数学必修3】3.3 几何概型
所有的基本事 件
每个基本事件 的发生
古典概型 有限个 等可能
每个基本事件
1
的发生的概率
n
概率的计算
几何概型 无限个 等可能
0
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10分钟的概率。
解： 设A={等待的时间不多于10分钟}，
复习回顾
计算随机事件发生概率的两种方法：
（1）用古典概型的计算公式来计算随机事 件发生的概率。
（2）通过做试验或用计算机模拟试验等方法 得到事件发生的频率，以此来估计概率；
那么对于有无限多个试验结果的情况相 应的概率如何求呢?
3.3 几何概型
问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
4 3 2
y=x -1
2
5
2
1 2
4
2
9
1
0 1 234 5 x
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
25.
练习：某商场为了吸引顾客， 设立了一个可以自由转动的转 盘，并规定:顾客每购买100元 的商品，就能获得一次转动转 盘的机会。如果转盘停止时， 指针正好对准红、黄或绿的区 域 ， 顾 客 就 可 以 获 得 100 元 、 50元、20元的购物券（转盘等 分成20份）
0X5,0Y5.
y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5
4
3
.M(X,Y)
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《几何概型中的约会型问题》作业
1、甲乙两艘船在驶向一个不能同时停泊两艘船的港口，他们在一昼夜内的任何时刻到达该港口的可能性相等，如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们任何一艘船都不需要等待的概率。
2、小明和小雪约了星期天下午在月牙塘公园见面，由于龙泉路最近在修路，可能会堵车，
小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说她可能4:30—5:30到，他们约定先到的等二十分钟如果另一个还没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？
3、水池的容积为20 立方米，向水池注水的水龙头A和B的流速均为1立方米/小时，它
们在一昼夜内随机开的时间为0~24小时，求水池不溢水的概率。
4、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路，23路，8路车10分钟一班，23路15分钟
一班，求这位同学等车时间不超过8分钟的概率。
5、、小明和小雪两人约定星期天下午4:00—5:00之间在小西门乘公共汽车一起去学校，在
这段时间内有3班公共汽车，公车准时到达时刻分别为4∶20，4∶40，5∶00，如果他们约定，见车就乘，求他们两个同乘一车的概率？
6、把一条长为6米的绳子截成三段，求
（1）若三段长均为整数，求能够成三角形的概率；
（2）若截成的三段长为任意值，求能够成三角形的概率。