平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
数量积的模和坐标表示
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b| 3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60°B.30°C.135°D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（ ） A.2 B.23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：《习案》作业二十四。
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
5.3.2 平面向量数量积的坐标表示, 模, 夹角
宁晋中学“五为”教学高三数学教学提纲
编号：SXTG -
5.3.2 平面向量数量积的坐标表示, 模, 夹角编写：毕朋飞 审核：齐立芳 使用时间: 月 日 班级：______________ 姓名：
______________
[学习目标]
会用坐标形式表示向量的数量积, 模, 夹角
[重点难点]
重点: 理会用坐标形式表示向量的数量积, 模, 夹角; 难点: 利用坐标形式进行向量数量积, 模, 夹角的综合运算
[导学流程]
一、自学互学
1. 向量数量积的坐标表示: 已知两个向量 则_______.
2. 设两个非零向量 则_______.
3. (1) 向量模长公式: 若 则_______.(2) 两点间距离公式: 若 则_______.(3) 向量的夹角公式: 设两个非零向量 设与的夹角为 则_______.
二、深入学习
4. 已知 求 以及的夹角
5. 已知 求
三、迁移学习
6. 已知 试判断的形状, 并给出你的证明.a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ⋅b =a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ⊥b ⇔a =(x ,y ),|a |=A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∣∣∣−−→AB ∣∣∣
=a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a b θ,cos θ=a =(1,√3),b =(2,0),a ⋅b ,|a |,∣∣b ∣
∣,a ,b θ.a
=(2,3),b =(−2,4),c =(−1,−2),a ⋅b ,(a +b )⋅(a −b ),a ⋅(b +2c ).A (2,1),B (6,3),C (0,5),ΔABC。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
向量数量积的坐标表示、模、夹角
其中，A·B表示向量A和B 的数量积，||A||和||B||分别 表示向量A和B的模长。
ABCD
cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)
通过计算cosθ的值，可 以进一步求得θ的值。
向量夹角的性质
01
向量夹角具有对称性，即向量 A与向量B的夹角等于向量B与 向量A的夹角。
02
当两个向量的夹角为0或π时， 它们共线；当夹角为π/2时，它 们垂直。
03
向量夹角的余弦值与两个向量 的数量积和它们的模长之积的 比值相等。
05 向量数量积的坐标表示
数量积的定义与性质
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
定义
两个向量$vec{a}$和 $vec{b}$的数量积（也 称为点积）定义为 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$，其 中$theta$是$vec{a}$ 和$vec{b}$之间的夹角。
向量的运算
向量的数乘
设向量a=(x,y)，实 数λ，则数λ与向量a 的积为λa=(λx,λy)。
向量的模
设向量a=(x,y)，则 向量a的模为 |a|=√(x²+y²)。
向量的加法
设向量a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，则向量 a与b的和为 a+b=(x1+x2,y1+y 2)。
向量的数量积
向量模的性质
非负性
向量的模总是非负的，即 |a| ≥ 0。
零向量的模为零
如果向量 a 是零向量，则 |a| = 0。
向量模的乘法性质
对于任意实数 k 和向量 a，有 |ka| = |k| × |a|。
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平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角 数量积的坐标表示、
高级中学：党艳芸 高级中学：
一、复习引入
( )a ⋅b =a b cos 1
θ 或 cosθ =
a ⋅a
a ⋅ b a b
(2)a ⋅ a = a
2
或 a =
(3)a ⊥ b ⇔
a •b = 0
（3,2） （）若OA = 3i + 2 j则OA = ______ 1
(a + b )
2
五、小结
a ⋅ b = (x1i + y1 j ) ⋅ (x2i + y2 j ) = x1x2 + y1 y2
a = x +y ,b =
2 1 2 1
2
x
2 2
+y .
2 2
2
A、B两点间的距离公式:已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ),
AB = (x2 − x1) + ( y2 − y1) ,
j
b = x2 i + y 2 j
a • b = x1x2 + y1 y2.
即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和。 它们对应坐标的乘积的和。
(1) a = ( −3,4), b = (5,2)求a • b = _____ -7
B(x2,y2)
b
a
a =o ia ⋅ a
2 2
x
2 + 3 (2)a = (2,3), 则a ⋅ a = ______
a （2）若a = (1,−2), a可用i, j表示为= i − 2 j
y
A
j
(3)已知 i = j = 1, i ⊥ j , 且a = 3i + 2 j , b = i − 2 j, 则a • b = -1
o
i
x
a =(1,-2)
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示 如图， 轴上的单位向量， 如图， 是x轴上的单位向量，j 是y i 轴上的单位向量， 轴上的单位向量， 由于 a ⋅ b = a ⋅ b cosθ 所以
2
2
2 + a = _____ 3
2、向量的模和两点间的距离公式
( )a ⋅ a = a 或a = 1
(1)向量的模
2
2
a⋅ a ；
2 2
x +y 或 a = _____ x +y , 设a = ( x, y ), 则 a = ______
2 2
（ 2）两点间的距离公式 设 A （ x1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 ),
设a = x1, y1), b =(x2 , y2 ), 且a与 夹角为θ， （ b (0 ≤θ ≤180 )则cosθ = .
2 1 2 1 2 2
x1 x 2 + y1 y 2
2 2
x12 + y12 ⋅
2 2 x2 + y2
其中 x + y ≠ 0， x + y ≠ 0.
例2．已知 a = (−1, 3)， = ( 3,−1) ， b
A(1,2), B (2,3) 则 AB = ___ 2
则 AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 )
AB = （x1 − x2 )2 + y1 − y2 )2 （
3、两向量垂直的坐标表示
a ⊥ b ⇔a⋅b = 0
设 a = ( 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0 y C(-2,5) 已知A(1，2)，B(2， 例1. 已知 ， ， ，
i ⋅ i =1 .
i ⋅ j =
y A(x ,y ) 1 1
b
j
j ⋅
j ⋅ i =
j = 1 .
B(x2,y2)
a
0 .
o i
x
下面研究怎样用 a b 坐 表 a ⋅ b. 和的 标 示 设两个非零向量
a = x1i + y1 j
a
=(x1,y1),
b
=(x2,y2),则 则 y A(x ,y ) 1 1
cos （1） θ =
x1x2 + y1 y2 x + y ⋅ x2 + y
2 1 2 1 2 2 2
（2） a // b ⇔x1y2 − x2 y1 = 0 （3） a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0
作业
1.课本Ｐ107 课本Ｐ 课本 练习 1,2,3.
求 a⋅ b ，a | ， b |及 a 与 b 的夹角θ. | |
(1) 已知 a = ( −1, 3 ), b = (1,1), a与b的夹角为 θ， 求 a ⋅ b， a ⋅ b 及 cos θ .
(2) 已知 a = ( 2 ,3), b = ( − 2 , 4 ), c = ( − 1, − 2 ) 求（ a + b） a − b） a ⋅(b + c ), （ ⋅ ,
3)，C(-2，5)， ， ， ， 试判断∆ 的形状， 试判断∆ABC的形状，并 的形状 给出证明. 给出证明
0
B(2,3) A(1,2) x
4、两向量夹角公式的坐标运算 、 设a与 的 角 θ （0 ≤ θ ≤ 180 ）， b 夹 为
a ⋅ b = a ⋅ b cos θ ⇒ cos θ =
a ⋅b ab