平面向量数量积的坐标表示、模和夹角

解析：设 e＝(x，y)，∴x2＋y2＝1.① 又 a·e＝0，∴3x＋4y＝0.② 联立①②解得
x＝45， y＝－35，
或xy＝ ＝35－. 45，
答案：C
5．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ 5，若(a＋ b)·c＝52，则 a 与 c 的夹角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．在利用公式 cosθ＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22求解时，一般先求 出|a|，|b|，a·b，再代入公式求解．
若求两向量分别所在的直线的夹角，求出上述 θ 角后， 分析 θ 角或其补角 π－θ 为所求的角．
3．利用坐标求距离有以下两种方法： (1)求向量的长度(模)． 若 a＝(x，y)，则有|a|＝ x2＋y2. (2)两点间距离公式．
或 xy＝ ＝35－45
.
故选 B.
答案：B
二、填空题 7．已知 a＝(2，－3)，b＝(－5,8)，则(a＋b)·b＝______.
解析：(a＋b)·b＝a·b＋|b|2＝2×(－5)＋(－3)×8＋[(－5)2 ＋82]＝55.
1通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与 方程、函数等知识的联系.
2向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一 种是坐标式，两者互相补充.
总结规律
我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法 则和运算性质．解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算． 三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出 相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐 标的差得到向量的坐标即可．
解析：由题知|a|＝ 12＋02＝1，|b|＝ 122＋122＝ 22，a·b
＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故 a－b 与
b 垂直．
答案：C
4．与 a＝(3,4)垂直的单位向量是( ) A．(45，35) B．(－45，－35) C．(45，－35)或(－45，35) D．(45，35)或(－45，－35)
自我测评
1．已知向量 a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则 a 与 b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：已知向量 a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30 ＝0，则 a 与 b 垂直，选 A.
答案：A
2．设向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 和 a 垂直，
rr agb，
r a
2
,
r2 b,
r rr r (a 2b) (a 3b),
rr rr (a b)2, | a b |
rr r r
解:a b | a || b | cos 12
r2 a
|
r a
|2
36
r2 b
|
r b
|2
16
r rr r (a 2b)(a 3b)
r2 a
r a
一、选择题
基础训练
1．设 a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c
等于( )
A．(－15,12)
B．0
C．－3 D．－11
解析：(a＋2b)·c＝[(1，－2)＋2(－3,4)]·(3,2) ＝(－5,6)·(3,2)＝－15＋12＝－3.
答案：C
2．已知向量 a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，若 a⊥b，则由 x
分析：设向量 b＝(x，y)， 则有 2b－a＝(2x,2y)－(3,3) 解得 x＝1，y＝2， ∴b＝(1,2)，则 cosθ＝|aa|·|bb| ＝3，3 32×·1，5 2＝31010.为所求
答案：31010
5．已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，求 a·b，|3a－b|，(a＋ b)·(2a－b)．
(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cosθ>0，且 cosθ≠1， 所以 a·b>0 且 a，b 不同向．
由 a·b＞0 得 λ>－12，由 a 与 b 不同向得 λ≠2. 所以 λ 的取值范围为(－12，2)∪(2，＋∞)．
规律归纳
由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所 以用 cosθ＝|aa|·|bb|去判断 θ 的取值分五种情况：
观察思考
若向量 a＝(x，y)，你可知与 a 共线的单位向量的坐标是 什么吗？与 a 垂直的单位向量的坐标吗？
温馨提示
设与 a 共线的单位向量为 a0， 则 a0＝±|a1|a＝±(|ax|，|ay|)＝±( x2x＋y2， x2y＋y2)，其中正 号，负号分别表示与 a 同向和反向， 易知 b＝(－y，x)和 a＝(x，y)垂直， ∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±( x－2＋y y2， x2x＋y2)， 其中正，负号表示不同的方向．
目标要求
1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的 坐标运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长 度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
热点提示
向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运 算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利 用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、 填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解 析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综 合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记 准公式.
解：(1)由O→A＝(16,12)，A→B＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得|O→A|＝ 162＋122＝20，|A→B|＝ －212＋32＝15 2.
→→
(2)cos∠OAB＝
AO·AB →→
，
|AO||AB|
其中A→O·A→B＝－O→A·A→B＝－(16,12)·(－21,3)＝300，
当a,b同向，a b 2; 当a,b反向，a b 2。
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
规律归纳
1．向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或 直线是否垂直的重要方法．
2．已知向量垂直求参数问题，即由相应向量的数量积 为 0 建立关于参数的方程，求解即可．
r r rr 已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
知识要点
1．平面向量数量积的坐标表示 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
重要公式
3．三个重要公式 (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x12＋y21. (2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12. (3)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝ x12x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22.
的值构成的集合是( )
A．{2,3} B．{－1,6}
C．{2}
D．{6}
解析：由 a⊥b⇒a·b＝0⇒2(x－5)＋3x＝0⇒x＝2.
答案：C
3．(2010·安徽)设向量 a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论
中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
2 2
C．a－b 与 b 垂直 D．a∥b
解法一：λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)，由 于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝ －1.
解法二：由于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，即 λa2＝2a·b， 从而 λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即 2λ＝－2，∴λ＝－1.
那么 λ＝( )
A．2
B．1 C．－2
D．－1
答案：D
3．已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 方向上的投影
为( )
A. 13
13 B. 5
65 C. 5
D. 65
答案：C
4．已知向量 a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，设向量 a 与 b 的夹角为 θ，且，则 cosθ＝________.
例题 4 向量的夹角问题 【例 4】 已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ 的取值范围，使得(1)a 与 b 的夹角为直角； (2)a 与 b 的夹角为钝角； (3)a 与 b 的夹角为锐角．
思路分析：解答本题可先根据夹角余弦值的符号求出 λ 的范围，再排除共线即夹角为 0°或 180°的情况．
1 若向量 a＝(2，－1)，向量 b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？
解：由已知得 a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13， 所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.为所求
例1：已知 b 2, a 1
(1)a // b,求a b;
(2) 3 ,求a b
解：（1）由a4// b，分两种情况：
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22，即∠OAB＝45°.
能力提升
1．向量垂直的坐标表示十分简单，易于运用．结合平 面几何、解析几何知识，证明两直线 AC 与 BC 垂直的常用 方法有：
(1)勾股定理的逆运用：AC2＋BC2＝AB2⇒AC⊥BC； (2)斜率公式的应用：kAC·kBC＝－1⇒AC⊥BC； (3) 向 量数 量 积 的 运用 ：A→C ·B→C ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＝ 0 ⇒AC ⊥ BC(其中A→C＝(x1，y1)，B→C＝(x2，y2))．