必修4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件

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高中数学第二章平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐

(a,b 为非零向量)
做一做 2 (1)已知 a=(-1,3),则|a|=( )
A. 2
B.2
C. 10 D.10
(2)已知 a=(2,-1),b=(-1,3),则 a 与 b 的夹角为
.
解析:(1)|a|= (-1)2 + 32 = 10.
(2)a·b=2×(-1)+(-1)×3=-5,|a|= 5,|b|= 10. 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|��|·|��| = 5-·510=- 22.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,
则点 C 的坐标为(3,2),D(0,2),E(1,0).
设 F(0,y),则��=(1,-2),��=(-3,y-2).
∵DE⊥CF,∴�� ⊥ ��,
∴-3-2y+4=0,得 y=12,
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求向量a的坐标.
��1��2+��1��2 .
()
��12+��22· ��22+��12
(3)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).若 a·b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角.

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件

k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系，利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt

小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17；（3）17.
【湖南师大附中内部资料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c

复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形Ｄ、等边三角形

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a

x2 y2
2两点间的距离公式：设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)

平面向量数量级的坐标表示-课件

平面向量数量积的坐标表示
[学习目标] 1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量
积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间
的距离公式． 3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
[知识链接] 1．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标
21×5＝
2 10 .
要点三向量垂直的坐标表示例 3 已知在△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD
为 BC 边上的高，求|A→D|与点 D 的坐标．解设 D 点坐标为(x，y)，则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)， B→D＝(x－3，y－2)， ∵D 在直线 BC 上，即B→D与B→C共线，
又∵a＝－12， 23， x2＋y2＝1，
即－12x＋ 23y＝0.
x＝解得
23，
y＝12
x＝－或
23，
y＝－12.
∴b＝ 23，12或 b＝－ 23，－12.
再见
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即 x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，
∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.
②
由①②可得xy＝＝11，， ∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5，即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．

高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第二章平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习随堂应用练习思路方法技巧课后强化作业名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ，则m· n＝________.
第二章
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！

人教版高中数学平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (共22张PPT)教育课件

( 1 )若 a 2 b 与 2 a b 平行，则
3(12x)4(2x)0,得 x1 2
(2 )若 a 2 b 与 2 a b 垂直，则
(12x)(2x)430 ,得 x =-2 或 7 2
例 3 (1)已知 a(1, 3),b(1,1),
a与 b的夹角 ,求 cos
cos ab 6 2.
2
2
x 1 x 2 i x 1 y 2 ij x 2 y 1 ij y 1 y 2 j
因为 i2 1 ,ij 0 ,j2 1
所以 a b x 1 x 2 y 1 y 2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
练习1：已知向量 a
求:(1)
a
b
(3,
1),b
=(1,-2)
(2) (ab) (ab)
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时现镜有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴。
是东
得
你
可
希
当
你
真
以的
■电你是否有这样经历，当你在做某一项工作和学习的时候，脑子里经常会蹦出各种不同的需求。比如你想安心下来看2小时的书，大脑会蹦出口渴想喝水，然后喝水的时候自然的打开电视。。。。。。，一个小时过去了，可能书还没看2页。很多时候甚至你自己都没有意思到，你的大脑不停地超控你的注意力，你就这么轻易的被你的大脑所左右。你已经不知不觉地变成了大脑的奴隶。尽管你在用它思考，但是你要明白你不应该隶属于你的大脑，而应该是你拥有你的大脑，并且应该是你可以控制你的大脑才对。一切从你意识到你可以控制你的大脑的时候，会改变你的很多东西。比如控制你的情绪，无论身处何种境地，都要明白自己所

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ab 31， a b 2 2
cos ab 6 2.
a b 4
---
(2已 ) 知 a(2,3),b(2,4),
则（ ab）（ ab）
.
法一： ab(0,7),ab(4,1) （ ab ）（ ab ） 047(1)7.
法二：（ ab）（ ab） a2b2
2
2
a b 13207
（2） a/b / x 1 y2 x 2y 1 0
（3） a b x 1 x2y 1y2 0 ---
六、课后练习
1、已 O A 知 (3,1)， O B(0,5)，A 且 /C O / ， B BC A， B 则 C的点坐标 C(3, 23为 9 )
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
---
一、复习引入
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
练习已知 a ( 1 , 3 ) , b ( 1 , 0 ) , 求 a 与 b 的夹角 .
a x 1 i y 1 j b x 2 i y 2 j ,
ab(x1iy1j)(x2iy2j)
2
2
x1x2i x1y2ijx2y1ijy1y2j
x1x2y1y2
---
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
abx1x2y1y2. B(x2,y2) a
b
j
oi
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
---
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)aaa 或 a aa；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
---
3、两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 ab ab0
---
二.创设教学情境
变式练习已知 a ( 1 , 3 ) , b ( 1 , 1 ) , a 与 b 的夹角 , 求 c o s .
同样是已知两向量的坐标，为什么练习题中的夹角易求,而变式练习中的夹角的余弦值不易求？
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标
来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x y 2--- 1 0
四、基本技能的形成与巩固
例 1(1)已知 a(1 , 3),b(1 ,1),a与 b 的
夹角 ,求 ab ， ab， .cos
---
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
(1)试判断ABC的形状，并给出证明.(2)求sinB
y C(-2,5)
证 : 明 A B (2 1 ,32 )(1 ,1 )
A C (21,52)(3,3)
AA B C 1( 3)130
B(2,3) ABAC
A(1,2) A B C 是直角三角形 .
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)，若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1.
---
练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
答案：B的坐标为（3，7） y B
22
或（7， 3）
A
22
O
x
---
---
三、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
轴上的单位向量，
由于ab a bcos 所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 .
b
a
j
i j j i 0 .
oi
x
---
下面研究怎样用 a和b的坐标表示 ab.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
解 : 若 A 9 0 ，则 A B A C , A B A C = 0 , 1 2 + 3 k = 0 , k = - 3 2 . 若 B 9 0 ，则 B A B C , B A B C = 0 , - 1 1 + ( - 3 ) ( k - 3 ) = 0 , k = 8 3 . 若 C90，则 CACB, CACB=0,-2(1)+(-k)(3-k)=0, k=1或 2.
---
五、a 小b 结 ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j )x1x2y1y2
a x 1 2 y 1 2,b x 2 2 y 2 2.
A、B两点间的距离公式:已知 A(x1, y1), B(x2,y2),
A B(x2x1)2(y2y1)2,
（1）cos
x1x2y1y2 x12y12 x22y22
x 思考：还有
0
其他证明方
--- 法吗？
变题1 已知A(0，0)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.
变题பைடு நூலகம் 已知A(0，3)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.
---
例 3 : 已知 A B C 为直角三角形， A B = ( 1 , 3 ) , A C = ( 2 , k ) , 求 k .