6290平面向量的数量积的坐标表示
平面向量数量积及坐标表示
a b 13 20 7
练习：课本P1071、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y B(2,3) A(1,2) x
0
C(-2,5) 证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
2.4 平面向量的数量积 及运算律
一、平面向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量 | a || b | cos q 叫做a与 b的数量积 ( 或内积 ) ( 或点积 )
a a
A
记作 a b , 即 a b a b cos q . 其中，q 是 a与b 的夹角
的夹角为 600， 例3 已知 a 6， 4，a与b b 求( 2b ) (a - 3b ) a . 2 2 解：( 2b ) ( - 3b ) a a b 6b a a 2 2 | a | a b 6 | b |
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为q（0 q
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为q， （ (0 q 180 )则 cos q
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
提高练习
1、已知OA (3,1)， (0,5)，且 AC // OB， OB BC AB ，则点C的坐标为
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
平面向量的数量积的坐标表示课件
平面向量数量积在物 理中有哪些应用？请 举例说明。
平面向量数量积的性 质有哪些？如何证明 ？
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坐标运算实例
计算
已知$overrightarrow{a} = (2, 3)$ ，$overrightarrow{b} = (4, 5)$， 求$overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b}$。
解
根据数量积的坐标表示， $overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} = 2 times 4 + 3 times 5 = 8 + 15 = 23$。
分配律
$overrightarrow{a} cdot (overrightarrow{b} + overrightarrow{c}) = overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} + overrightarrow{a} cdot overrightarrow{c}$。
CHAPTER 05
总结与回顾
内容总结
平面向量数量积的定义
平面向量数量积定义为两个向量的模 长之积与它们夹角的余弦值的乘积。
应用实例
平面向量的数量积在物理学、工程学 等领域有广泛的应用，例如在计算力 的合成与分解、速度和加速度等物理 量时都会用到。
知识点回顾
平面向量数量积的性质
平面向量数量积具有交换律、结合律、分配律等基本性质。这些性质在解决实际问题时非 常重要，可以帮助我们简化计算过程。
数量积满足结合律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) cdot overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{c} + overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{c}$。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：平面向量数量积的坐标表示
已知 a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则 a·b 的值是( )
A．23
B．7
C．－23
D．－7
答案：D
已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若 a⊥b，则 x＝( )
A．1
B．2
C．4
D．－4
答案：C
已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝______.
答案：120°
利用数量积求两向量夹角的步骤
1．已知向量 a＝(1，
3)，b＝(3，m)．若向量
a，b
的夹角为π， 6
则实数 m＝( )
A．2 3
B． 3
C．0
D．－ 3
解析：选 B.因为 a＝(1， 3)，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝ 9＋m2，
a·b＝3＋ 3m，
又 a，b 的夹角为π6，所以|aa|··|bb|＝cos π6，即23＋9＋3mm2＝ 23，所以
(2)由题意得|a|＝2，|b|＝ m2＋4，a·b＝2＋ 3m， 所以 cos 120°＝|aa|··|bb|＝22＋m23＋m4＝－12， 整理得 2＋ 3m＋ m2＋4＝0， 化简得 m2＋2 3m＝0， 解得 m＝－2 3或 m＝0(舍去)． 所以 m＝－2 3.
平面向量的模
(1)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b 则|3a＋b| 等于( )
A. 5
B. 6
C. 17
D. 26
(2)已知|a|＝2 13，b＝(2，－3)，若 a⊥b，求 a＋b 的坐标及|a＋b|.
【解】 (1)选 A.因为 a∥b，所以 1×y－2×(－2)＝0， 解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝ 5. (2)设 a＝(x，y)， 则由|a|＝2 13，得 x2＋y2＝52.① 由 a⊥b，解得 2x－3y＝0.② 联立①②，解得xy＝＝46，或xy＝＝－－46.， 所以 a＝(6，4)或 a＝(－6，－4)． 所以 a＋b＝(8，1)或 a＋b＝(－4，－7)， 所以|a＋b|＝ 65.
平面向量的坐标表示与向量的数量积
平面向量的坐标表示与向量的数量积平面向量是二维向量，可以用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对，即两个实数构成的向量。
平面向量的数量积是向量运算中的一种，用于计算两个向量之间的夹角。
下面将详细介绍平面向量的坐标表示和向量的数量积。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对来表示，常用的表示形式有点表示法、分量表示法和单位向量表示法。
1. 点表示法在平面上给定两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，以点A为起点，点B为终点的向量可以用点表示法表示为AB。
例如，向量AB表示为展示向量的箭头上方带上一条小线，表示从A指向B的方向。
2. 分量表示法平面向量也可以用坐标表示，即用向量的水平和垂直分量表示。
假设有向量v，v的水平分量为x，垂直分量为y，那么向量v可以表示为v = (x, y)，其中x和y分别为v在x轴和y轴上的投影长度。
3. 单位向量表示法单位向量是长度为1的向量，可以用坐标表示。
例如，单位向量i 指向x轴的正方向，单位向量j指向y轴的正方向，那么向量v可以表示为v = xi + yj，其中x和y为v的水平和垂直分量。
二、向量的数量积向量的数量积（也称为点积或内积）是一种运算，用于计算两个向量之间的夹角。
向量的数量积可以表示为以下公式：A ·B = |A| |B| cosθ其中A和B为两个向量，|A|和|B|分别为它们的模，θ为两个向量的夹角。
数量积的计算方法如下：A ·B = x₁x₂ + y₁y₂其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别是向量A和向量B的坐标。
数量积还有一些性质：1. A · B = B · A（数量积的交换律）2. A · A = |A|²（向量的模的平方等于向量的数量积）3. 若A与B垂直，则A · B = 0，即夹角为90°4. 若A与B平行，则A · B = |A| |B|，即夹角为0°三、结论平面向量可以通过坐标表示法来表示，在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对。
高中数学 平面向量数量积的坐标表示(知识讲解与典型例题)苏教版必修4
平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。
本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。
本周内容：上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。
我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。
如图不妨设：则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为，则有，∵是互相垂直的单位向量，∴，，则也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即，若则，∵，∴∴，上图中A(x1,y1),B(x2,y2),则则。
这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。
上图中若设∠AOB=α，则，即。
由此可得到两个向量的夹角。
特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。
由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。
这个充要条件在今后解决问题中十分重要。
下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。
例1．已知：。
（1）求：；（2）求：；（3）求：，（4）求：解：（1）由此可见证。
（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。
）（2）（3）。
由此可证：（4）由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。
例2．试判断满足下列条件的三角形的形状。
（1）ΔABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1）（2）ΔABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5）（3）ΔABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4）解：（1）由此可知ΔABC为等腰三角形。
（2）或：，∴ΔABC为直角三角形。
（3）∵，∴AB⊥BC，∵，∴ΔABC为等腰直角三角形。
例3．已知：向量满足，求：向量与向量的夹角α。
解：设，则即∴，，则：，∵0≤α≤π，∴。
例4．求证：非零向量垂直的充要条件是。
平面向量的数量积和叉积的坐标表示
平面向量的数量积和叉积的坐标表示平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
在平面向量的运算中，数量积和叉积是常见的两种运算方式，它们在坐标表示中有着独特的形式和应用。
一、数量积的坐标表示数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的相对关系。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积可以用如下公式表示：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。
在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A 和B的数量积可以表示为：A·B = A1B1 + A2B2换句话说，数量积等于两个向量对应坐标分量之积的算术和。
这个表达式表示了平面向量数量积的坐标表示。
二、叉积的坐标表示叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的垂直关系。
设有两个平面向量A和B，它们的叉积可以用如下公式表示：A×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位向量。
在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A和B的叉积可以表示为：A×B = (0, 0, A1B2 - A2B1)其中，叉积的坐标表示是一个三维向量，第一个分量和第二个分量都为0，只有第三个分量与A和B的坐标分量有关。
这个表达式表示了平面向量叉积的坐标表示。
三、数量积和叉积的应用1. 数量积的应用：- 判断两个向量是否相互垂直，若A·B=0，则向量A和向量B垂直。
- 计算两个向量之间的夹角，通过A·B = |A||B|cosθ可以求得夹角θ的值。
- 判断向量的方向，若A·B>0，则A和B的夹角小于90度，A在B的同向；若A·B<0，则A和B的夹角大于90度，A在B的反向。
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。
平面向量的坐标表示与向量积
平面向量的坐标表示与向量积在解决平面向量相关问题时，我们经常需要对向量进行坐标表示和向量积的计算。
本文将介绍平面向量的坐标表示的方法以及向量积的概念和应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量在直角坐标系中的坐标表示是常用的求解方法之一。
平面向量可以表示为一个有序数对（x，y），其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
下面以平面向量AB为例进行阐述。
设A（x1，y1）和B（x2，y2）分别是平面上两个点A和B的坐标。
向量AB的坐标表示为（x2-x1，y2-y1）。
也就是说，向量AB的坐标表示是由B点的坐标减去A点的坐标得到的。
在坐标表示中，我们可以通过坐标的加减、数的乘法和数的除法来实现对向量的运算。
例如，若向量AB的坐标表示为（x1，y1），则向量BA的坐标表示为（-x1，-y1），向量OA的坐标表示为（x1，y1）。
此外，向量的大小可以通过勾股定理来计算，即向量AB的大小为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
二、向量积的概念和应用向量积，又称叉乘或矢量积，是向量运算中的一个重要概念。
在平面向量中，向量积的结果是一个数，被称为向量积的数量积。
向量积的计算公式如下：向量积AB = x1 * y2 - x2 * y1其中，（x1，y1）和（x2，y2）分别是两个向量A和B的坐标表示。
向量积的应用非常广泛，特别是在几何学和物理学中。
其中，向量积可以用来计算平面上两个向量的夹角、向量是否垂直以及向量的投影等问题。
1. 向量的夹角两个非零向量A和B的夹角θ可以通过向量积的计算得到：cosθ = (A · B) / (∥A∥ ·∥B∥)其中，(A ·B)表示向量积，∥A∥和∥B∥表示向量A和B的大小。
2. 向量是否垂直两个向量A和B垂直的充要条件是它们的向量积为零，即A · B = 0。
3. 向量的投影向量A在向量B上的投影为向量C，则有：C = (A · B / ∥B∥²) * B其中，(A · B / ∥B∥²)表示向量A在向量B上的投影长度与∥B∥的比。
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第十三教时
教材：平面向量的数量积的坐标表示
目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
过程：
一、复习：
1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示： 二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示
1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ， 则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 0 2．推导坐标公式：
∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j
∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2
从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2
例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b
解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示
1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +
2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+-
3︒ co s θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
2
22
1
2
12121y x y x y y x x +++=
4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）
4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。
证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴⋅=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥
∴△ABC 是直角三角形
三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课
例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。
解：设x = (t , s )，
由x ⋅a = 9 ⇒ 3t - s = 9 t = 2
由x ⋅a = 9 ⇒ 3t - s = 9 s = -3 ∴x = (2, -3)
例四、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，
求点B 和向量AB 的坐标。
解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=
=-==⇒⎩⎨⎧=+=--+272323272941002522112
2
y x y x y x y x y x 或
∴B 点坐标)23,27(-或)2
7
,23(；=)27,23(--或)23,27(-
例五、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值。
解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3
-
当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3)
∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =
3
11 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2
13
3± 四、小结：两向量数量积的坐标表示 长度、夹角、垂直的坐标表示 五、作业： P121 练习及习题5.7
《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题
⇒
A
O B。