6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 （2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 （1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为 （3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ， 则四、典例分析、举一反三题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二 向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三 向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.题型四 平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件ppt
5+5
5× 52 +10+25
,解得 t=-3 或 t=1,但当 t=-3
<0 不合题意,舍去,故 t=1.
素养形成
向量夹角的综合问题
典例已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是
(
)
A.(-2,+∞)
1
1
B. -2, ∪ , + ∞
2
2
C.(-∞,-2)
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
解 (1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0).
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
)
(2)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,D是边BC上一动点,则 ·=(
A.2
B.-2
C.4
D.无法确定
)
答案 (1)B
(2)C
解析 (1)因为 =(2,3)-(1,2)=(1,1), =(-2,5)-(1,2)=(-3,3),
所以 · =1×(-3)+1×3=0.
设m,n的夹角为θ,
·
则 cos θ=
=
||||
-25
2
=
=- .
25 2 2
2
2
2
2
(-3) +(-4) × 7 +1
-3×7+(-4)×1
3π
3π
因为 θ∈[0,π],所以 θ= 4 ,即 m,n 的夹角为 4 .
课件1：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
方法归纳 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是 先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
跟踪训练 1 已知 a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量 c，满足
a·c＝2，b·c＝5，则向量 c＝________.
解析：设 c＝(x，y)，因为 a·c＝2，b·c＝5，
所以23xx－＋y2＝y＝2，5， 解得xy＝ ＝9747， ，
答案：97，47
所以 c＝79，47.
类型二 平面向量的模
例 2 (1)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a∥b，
则|a＋b|＝( )
A. 5
5 B. 2
C．2 5
D．5
(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，
本课结束
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【答案】 (1)B (2)2 5 4
方法归纳 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量 积的问题． (2)坐标表示下的运算 若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练 2 (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，
方法归纳
利用数量积求两向量夹角的步骤
数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量
的数量积.
模:利用|a|＝
计算出这两个向量的模.
余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22直接求出 cos θ 的值.
角：在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示基础过关练题组一 向量数量积的坐标运算 1.(2019北京师范大学附属中学高一期中)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =( ) A.12 B.0 C.-3 D.-112.已知a =(cos 75°,sin 15°),b =(cos 15°,sin 75°),则a ·b 的值为( ) A.0 B.12 C .√32D.13.已知向量a =(1,-1),b =(2,x),若a ·b =1,则x=( ) A.-1 B.-12C.12D .14.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0),则当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小时,x 的值是( )A.-3B.3C.-1D.15.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量为e ,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为 . 题组二 向量的模6.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为( )A.(-35,45) B.(35,-45)C.(-45,35) D.(45,-35)7.(2020广东惠州高一上期末)已知向量a =(1,1),向量b =(2,0),则|a +3b |= .8.(2020北京西城高一上期末)已知向量a =(1,-2),b =(-3,m),其中m ∈R .若a,b 共线,则|b |= .9.已知向量a =(x,2),b =(-1,1),若|a -b |=|a +b |,则x 的值为 .10.在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.题组三 向量的夹角11.已知向量a =(1,-√3),b =(0,-2),则a 与b 的夹角为( ) A.π6B .π3C .5π6D.2π312.已知向量a =(12,-√32),|b |=2√3,若a ·(b -a )=2,则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B .π4C .π3D .π213.(2020北京首师大附中高一上期末)已知向量a,b 在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b 的夹角为( )A.45°B.60°C.90°D.135°14.(2020吉林长春外国语学校高二上期末)已知向量a =(2,t),b =(-1,3),若a,b 的夹角为钝角,则t 的取值范围是( ) A.t<23 B.t>23C.t<23且t ≠-6 D.t<-6 题组四 向量的垂直15.已知i =(1,0),j =(0,1),则下列与2i +3j 垂直的向量是( ) A.3i +2j B.-2i +3j C.-3i +2j D.2i -3j16.(2020广西柳州高级中学高二上期末)已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),若λa +b 与a 垂直,则λ=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.217.已知平面向量a =(1,1),b =(x,-3),且a ⊥b ,则|a +2b |=( ) A.√74 B.7√2 C.2√6 D.5√218.已知向量a =(2,m),b =(4,-2),且(a +b )⊥(a -b ),则实数m= .19.已知a =(2,0),b =(3,1).(1)当k 为何值时,k a-b 与a+2b 垂直;(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a -2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,且A,B,C 三点共线,求m 的值.能力提升练题组一 向量的模、夹角与向量的垂直 1.(2020山东枣庄三中高一期中,)下列向量中,一定是单位向量的有( )①a =(cos θ,-sin θ);②b =(√lg2,√lg5);③c =(2x ,2-x );④d =(1-x,x).A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020河北衡水武邑中学高一期中,)已知向量a =(1,1),b =(1,m),其中m 为实数,当两向量的夹角在(0,π12)内变动时,m 的取值范围是( )A.(0,1)B.(√33,√3)C.(√33,1)∪(1,√3) D.(1,√3)3.()如图,以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O,P 为半圆上与A,B 不重合的一动点,下面关于|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的说法正确的是(深度解析)A.无最大值,但有最小值B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但无最小值D.既无最大值,又无最小值 4.()若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos θ,2sin θ),其中θ∈[0,π],则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 . 5.(2020河南九师商周联盟高二联考,)已知p:x-a<0,q:向量a =(2,-1)与b =(3,x)的夹角为锐角.若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为 .易错题组二 向量数量积的坐标表示的综合应用 6.(2020北京四中高三下统练,)函数y=tan (π4x -π2)的部分图象如图所示,则(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.6B.5C.4D.3 7.(2020浙江温州高一上期末,)已知等边△ABC 的边长为2,M 为BC的中点,若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2,则实数t 的取值范围为( ) A.[1,2] B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 8.()已知向量a =(3,2),b =(-1,m +72),且函数f(x)=(a +x b )·(x a -b )的图象是一条直线,则|b |=( ) A.√132B.√14C.2√7D.2√109.(2020江西上饶高一期末,)如图,已知矩形ABCD 中,AB=3,BC=2,该矩形内一点P 满足|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,记I 1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.存在点P,使得I 1=I 2B.存在点P,使得I 1=I 3C.对任意的点P,有I 2>I 1D.对任意的点P,有I 3>I 1 10.()定义f(x )=x -2(a ·x )·a ,给出下列四个向量:①a =(0,0),②a =(√24,√24),③a =(√22,-√22),④a =(-12,√32).对于任意非零向量x,y ,使f(x )·f(y )=x ·y 恒成立的向量a 的序号是 . 11.()已知△OAB 的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P 的横坐标为14,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点Q 是边AB 上一点,且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (1)求实数λ的值与点P 的坐标; (2)求点Q 的坐标;(3)若R 为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA ⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.C ∵a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2), ∴a +2b =(-5,6),∴(a +2b )·c =-5×3+6×2=-3.2.B a ·b =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=12,故选B.3.D ∵a ·b =(1,-1)·(2,x)=2-x=1, ∴x=1.4.B 由已知可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2), BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1), 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+2=x 2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小.故选B. 5.答案3√22e 解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5),因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |e =5√2e =3√22e . 6.A 由题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4).设与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为a ,则a =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(-3,4)=(-3λ,4λ),其中λ>0,所以|a |=√(-3λ)2+(4λ)2=1,解得λ=15或λ=-15(舍去),所以与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为a =(-35,45).故选A.7.答案 5√2解析 由题意得a +3b =(7,1), 所以|a +3b |=2+12=√50=5√2. 8.答案 3√5解析 ∵a,b 共线,∴m-6=0,即m=6, ∴|b |=√(-3)2+62=3√5. 9.答案 2解析 因为a =(x,2),b =(-1,1), 所以a +b =(x-1,3),a -b =(x+1,1).因为|a -b |=|a +b |,所以√(x +1)2+1=√(x -1)2+9,解得x=2. 10.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y ≤h),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,h-y), ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25+(3ℎ-4y)2≥√25=5,当且仅当3h=4y,即DP=34DC 时,等号成立.故|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为5. 11.A 设向量a 与向量b 的夹角为θ(θ∈[0,π]), 则cos θ=a ·b|a||b| =√3)√1+3×√0+4=√32,所以θ=π6.故选A.12.A 由已知可得a 2=|a |2=1,a ·b -a 2=2,所以a ·b =3.设向量a 与b 的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ=a ·b |a||b|=√32,所以θ=π6. 所以向量a 与b 的夹角为π6.故选A.13.A 将向量b 平移,建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形网格的边长为1,则a =(3,1),b =(1,2).设向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a|·|b|=√9+1·√1+4=√22,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A.14.C 由题意得,a ·b =-2+3t. ∵a 与b 的夹角为钝角, ∴a ·b <0,且a,b 不平行, ∴-2+3t<0且6+t ≠0, 解得t<23且t ≠-6.故选C.15.C ∵i =(1,0),j =(0,1), ∴2i +3j =(2,3).对于选项A,3i +2j =(3,2),∵(2i +3j )·(3i +2j )=6+6=12≠0,∴A 不符合题意; 对于选项B,-2i +3j =(-2,3),∵(2i +3j )·(-2i +3j )=-4+9=5≠0,∴B 不符合题意; 对于选项C,-3i +2j =(-3,2),∵(2i +3j )·(-3i +2j )=-6+6=0,∴2i +3j 与-3i +2j 垂直,∴C 符合题意;对于选项D,2i -3j =(2,-3),∵(2i +3j )·(2i -3j )=4-9=-5≠0,∴D 不符合题意. 故选C.16.A 由题意可得λa +b =(λ+4,-3λ-2),∵λa +b 与a 垂直,∴(λa +b )·a =λ+4+9λ+6=0,∴λ=-1.故选A. 17.A ∵a =(1,1),b =(x,-3),a ⊥b , ∴a ·b =x-3=0,∴x=3,b =(3,-3), ∴a +2b =(7,-5),∴|a +2b |=√72+(−5)2=√74,故选A.18.答案 ±4解析 ∵a =(2,m),b =(4,-2), ∴a +b =(6,m-2),a -b =(-2,m+2). 又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=6×(-2)+(m-2)(m+2)=0,∴m 2=16, ∴m=±4.19.解析 (1)因为a =(2,0),b =(3,1), 所以k a-b =(2k-3,-1),a+2b =(8,2),由k a-b 与a+2b 垂直,得8(2k-3)+(-1)×2=0,所以k=138. (2)由题得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a-2b =(4,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b =(2+3m,m), 因为A,B,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 从而4m+2(2+3m)=0, 解得m=-25.能力提升练1. B 1.B|a |=1,|b |=1,|c |=√(2x )2+(2-x )2≥√2,|d |=√(1-x)2+x 2=√2x 2-2x +1=√2(x -12)2+12≥√22,所以一定是单位向量的有2个.故选B.2.C 设向量a,b 的起点均为O(O 为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B 位于B 1或B 2时,a 与b 的夹角为π12,即∠AOB 1=∠AOB 2=π12,此时∠B 1Ox=π4-π12=π6,∠B 2Ox=π4+π12=π3,故B 1(1,√33),B 2(1,√3),又a与b 的夹角不为零,故m ≠1.所以m 的取值范围是(√33,1)∪(1,√3).3.A 设正方形的边长为2.建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,则C(1,2),D(-1,2),|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 设P(cos θ,sin θ),其中0<θ<π,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2cos θ,-2sin θ)+(1-cos θ,2-sin θ)+(-1-cos θ,2-sin θ) =(-4cos θ,4-4sin θ),∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | =√(-4cosθ)2+(4-4sinθ)2 =√32−32sinθ,∵θ∈(0,π),∴sin θ∈(0,1], ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4√2).故选A.导师点睛本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系、坐标表示的方法,通过引入三角函数使问题变得思路清晰,计算简便.遇见正方形、圆、等边三角形、直角三角形等特殊图形常用建系的方法. 4.答案 3解析 由题意可得,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,2sin θ+1), 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=cos 2θ+(2sin θ+1)2=3sin 2θ+4sin θ+2=3(sinθ+23)2+23,因为θ∈[0,π],所以sinθ∈[0,1],所以当sin θ=1时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值 9,所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3. 5.答案 (-∞,-32]解析 由题意知,p:x-a<0,即x<a;q:向量a =(2,-1)与b =(3,x)的夹角为锐角,即a ·b >0,且a 与b 不共线,∴{2×3−x >0,2x +3≠0,∴x<6且x ≠-32. ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴a ≤-32,故a 的取值范围为(-∞,-32]. 易错警示本题答案易错写为a ≤6,要注意q 中x 的取值范围为x<6且x ≠-32,即q 中x 的值不能取-32,所以要满足p 是q 的充分不必要条件,实数a 的取值范围应为(-∞,-32]. 6.A 令y=tan (π4x -π2)=0,即π4x-π2=kπ,k∈Z ,当k=0时,解得x=2;令y=tan (π4x -π2)=1,即π4x-π2=π4+kπ,k∈Z ,当k=0时,解得x=3. ∴A(2,0),B(3,1),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1), ∴(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5+1=6.7.C 如图所示,建立平面直角坐标系.∵等边△ABC 的边长为2, ∴M(0,0),A(0,√3),B(-1,0). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3+√3t),∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-1)2+(−√3+√3t)2≥2,化简,得t 2-2t ≥0, ∴t ≥2或t ≤0,故选C.8.A f(x)=(a +x b )·(x a -b )=x|a |2-a ·b +x 2a ·b -x|b |2,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a ·b =0,且|a |2≠|b |2,所以3×(-1)+2×(m +72)=0且13≠1+(m+72)2,解得m=-2,所以b =(-1,32),|b |=√(-1)2+(32)2=√132.9.C 如图,以C 为原点,CD 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 则C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2).∵|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且P 在矩形内,∴P 在第三象限,设P(cos α,sin α)(π<α<32π),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+3,sin α+2),I 1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3cos α+9,I 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3cos α+2sin α+13,I 3=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin α+4, ∴I 2-I 1=2sin α+4>0,即I 2>I 1,故A 错误,C 正确;I 3-I 1=2sin α-3cos α-5=√13sin(α-θ)-5<0(其中tanθ=32),即I 3<I 1,故B 、D 错误.10.答案 ①③④解析 当a =(0,0)时, f(x )=x , f(y )=y ,满足f(x )·f(y )=x ·y ,故①满足题意;当a ≠0时,f(x )·f(y )=[x -2(a ·x )·a ]·[y -2(a ·y )·a ]=x ·y -4(a ·x )·(a ·y )+4(a ·x )·(a ·y )·a 2,要满足f(x )·f(y )=x ·y ,需满足4(a ·x )·(a ·y )·a 2=4(a ·x )·(a ·y ),∴a 2=1, ②中,a 2=(√24)2+(√24)2=14,不满足题意;③中,a 2=(√22)2+(-√22)2=1,满足题意;④中,a2=(-12)2+(√32)2=1,满足题意.故符合题意的序号为①③④.11.解析 (1)设P(14,y),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,-3-y),由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-74,y=-7, ∴点P 的坐标为(14,-7). (2)设Q(a,b),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b), 由(1)得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-16), ∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴12a-16b=0,即3a-4b=0.① ∵点Q 在边AB 上,∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-12),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,b-9), ∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②联立①②,解得a=4,b=3, ∴Q 点坐标为(4,3).(3)由(2)得OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),∵R 为线段OQ 上的一个动点,∴设OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4t,3t),且0≤t ≤1,则R(4t,3t),RO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4t,-3t),RA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-4t,9-3t),RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-4t,-3-3t), ∴RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8-8t,6-6t), ∴RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4t ·(8-8t)-3t ·(6-6t)=50t 2-50t=50(t -12)2-252(0≤t ≤1),当t=0或1时,上式取得最大值0;当t=12时,上式取得最小值-252. 故RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围为[-252,0].。
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(解析版)
6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.会用坐标表示平面向量的数量积.2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.【自主学习】知识点1 面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点2 平面向量长度(模)的坐标表示(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知识点3 两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.知识点3 向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.【合作探究】探究一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案(－16，－8)(－8，－12)解析∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究二向量的模的问题【例2】向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)[解析] (1)∵向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，∴设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )(k <0)．由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)．∴AB →＝(6，－8)，设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6， ∴B (7，－6)，故选D.归纳总结：(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．【练习2】已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD→|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ. ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．探究三 向量的夹角与垂直问题【例3-1】已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(－2，12) B ．(12，＋∞) C ．(－2，23)∪(23，＋∞)D ．(－∞，12) [答案] A[解析] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∵cos θ>0且cos θ≠1，即a·b >0且a 与b 方向不同，即a·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∵(－∞，－2)∵(－2，12)．故选A. 【例3-2】已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.[答案] 7[解析] 因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.【例3-3】已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.归纳总结：根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a |，|b |，再求夹角的余弦值，从而确定θ.【练习3-1】已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12. (2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．【练习3-2】设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，cos θ＝________.[答案] 1[解析] b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6.又|a|＝32，所以cosθ＝a·b|a|·|b|＝66＝1.课后作业A 组 基础题一、选择题1.若单位向量,a b 满足a b ⊥，向量c 满足()1a c b +⋅=，且向量,b c 的夹角为60°，则c =（ ）A. 12B. 2C.D. 【答案及解析】：B【分析】由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得c b ⋅，再由数量积的定义可得模．【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，因为()=1+⋅=⋅+⋅=⋅a c b a b c b c b ，所以1=cos60==12⋅⋅c b c b c ，所以2c =， 故选：B .2.已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为－2，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案及解析】：C【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解． 【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为3||cos ,22||a b m a a b b ⋅+⋅〈〉===-，所以m =- 所以621cos ,422||||a b a b a b ⋅-+〈〉===-⨯，所以夹角,120a b ︒〈〉=. 故选：C. 3.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==，且a 与b 的夹角为6π，则|2|a b -=（ ）A. 12B.C. 1D. 13【答案及解析】：C【分析】根据22|2|44a b a a b b -=-⋅+求解即可.【详解】解析：22|2|444411a b a a b b -=-⋅+=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等，属于基础题.4.已知1,12a b b ⋅=-=，则a 在b 方向上的射影为（ ） A. 12 B. 1-2 C. 3π D. 23π 【答案及解析】：B【分析】由于a 在b 方向上的射影为a b b ⋅，代入值直接求解即可.【详解】解：因为1,12a b b ⋅=-=， 所以a 在b 方向上的射影为112=12a b b -⋅=-，故选：B5.已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( )A. －1B. 1C. 2D. －2 【答案及解析】：B【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =-所以()3,2a b m +=+， 因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+=解得1m =.故选：B.6.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且a 与b 的夹角为3π，则向量a b -与b 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π 【答案及解析】：D【分析】 先求a b ⋅，进而可求()a b b -，再求()2a b -，即可求a b -，利用()cos a b b a b b θ-⋅=-⋅结合[]0,θπ∈，即可求解. 【详解】1cos 12132a b a b π⋅=⨯⨯=⨯⨯=， ()22212521232a b a b a b -=+-⋅=-⨯⨯⨯=， ()2·143a b b a b b -=⋅-=-=-，设向量a b -与b 的夹角为θ， ()3cos 223a b b a b b θ-⋅-===--⋅， 因为[]0,θπ∈，所以56πθ=， 所以a b -与b 的夹角为56π. 故选：D7.若||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案及解析】：B【分析】 由向量垂直则数量积为零，求得1a b ⋅=，再根据夹角公式求得结果.【详解】根据题意，由于向量||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，2(4)040a a b a a b ∴⋅-=⇔-⋅=，1a b ∴⋅=， 故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，又向量夹角的范围为[]0,π， 故可知向量,a b 的夹角为60︒. 故选：B ．8.已知非零向量a 、b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π 【答案及解析】：C【分析】 由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=.根据数量积的运算律和定义，可求a 与b 的夹角. 【详解】,a b 是非零向量，且()a b b -⊥，()220,0,a b b a b b a b b ∴-⋅=∴⋅-=∴⋅=，设a 与b 的夹角为θ，则0θπ≤≤. 221cos ,2,cos 2ba b b a b a b θθ∴==∴==， 3πθ∴=.故选：C9.设非零向量m ，n 则“m n ⊥”是“22m n m n +=-”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案及解析】：C【分析】根据m n ⊥可得0m n ⋅=，由22m n m n +=-也可得0m n ⋅=，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详解】因为m n ⊥，所以0m n ⋅=， 因为22m n m n +=-， 两边平方可得：22222424m m n n m m n n ++=-+ 即0m n ⋅=，由充分条件和必要条件可判断出m n ⊥是22m n m n +=-的充分必要条件故选：C二、填空题10.已知单位向量a ，b 满足||3a b +=，则a 与b 的夹角是_________.【答案及解析】：3π 【分析】 将+3a b =两边平方，代值计算即可.【详解】设a 与b 的夹角是θ，由题意+3a b =两边平方后，得：22+23a b a b +⋅=， 因为a ，b 为单位向量，11+2cos 3θ∴+=，1cos 2θ∴=. 0θπ≤≤，3πθ∴=. 故答案为：3π. 11.若向量()1,2a =，()2,1b =，则a b +与a b -的夹角等于______.【答案及解析】：2π 【分析】求出a b +与a b -的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断. 【详解】()3,3a b +=，()1,1a b -=-， ()()=0+⋅-a b a b ，∴()()a b a b +⊥-，a b +与a b -的夹角等于2π. 故答案为：2π 12. 向量()1,0a =，()21,b m =，若()a ma b ⊥-，则m =_________.【答案及解析】：1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得m 的值.【详解】因为()21,ma b m m-=--，且()0a ma b ⋅-=，故10m -=，解得1m =. 故答案为：113.已知单位向量1e ，2e 的夹角是23π，向量123a e e λ=+，若2a e ⊥，则实数λ=________. 【答案及解析】：32【分析】根据题设知122(3)0e e e λ+⋅=，又单位向量1e ，2e 的夹角是23π，即可得方程求λ值 【详解】由向量123a e e λ=+，2a e ⊥，知：122(3)0e e e λ+⋅=∴212230e e e λ⋅+=，而单位向量1e ，2e 的夹角是23π ∴23cos 03πλ⨯+=，解得32λ= 故答案为：32三、解答题14.已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，27a b -=. （1）求a b ⋅；（2）若()()a b a b λ+⊥-，求λ 【答案及解析】：（1）32；（2）521【分析】（1）对27a b -=进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由27a b -=得22447a a b b -⋅+=，已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =， 所以化简得；2230b b --=；解得3b =或1b =-（舍去）∵3b =；13cos 13322a b a b π∴⋅=⋅⋅=⨯⨯= （2）由()()0a b a b λ+⋅-=得2235(1)01(1)90221a a b b λλλλλ+-⋅-=⇒+-⋅-=⇒=15.已知平面向量()3sin ,2sin m x x ωω=，()2cos ,sin n x x ωω=，0>ω，函数()f x m n =⋅图象的两条相邻的对称轴之间的距离是2π． （Ⅰ）求函数f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案及解析】：（Ⅰ）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）最小值为1-1+. 【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简()f x 表达式，结合()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得ω，利用整体代入法求得()f x 的单调减区间. （Ⅱ）利用三角函数最值的求法，求得函数()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【详解】（Ⅰ）()223sin cos 2sin f x m n x x x ωωω=⋅=+2cos 212sin 216x x x πωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. 由于()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，即22T T ππ=⇒=， 由于0>ω，所以212T ππωω==⇒=. 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以2263x πππ-≤-≤，所以1sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭22sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭12sin 2116x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭.所以()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-1.B 组 能力提升一、选择题1.非零向量,m n 满足：()0,m m m n m n ⋅--==，则m n -与n 夹角的大小为（ ） A. 34π B. 23π C. 3π D. 4π 【答案及解析】：.A【分析】由()0m m n ⋅-=得向量垂直，m n m -=，作图表示向量m n -和m ，由向量减法法则得n ，从而可得夹角．【详解】因为()0m m n ⋅-=，所以()m m n ⊥-，如图,OA m OB m n ==-，则()BA m m n =--，又m n m -=，所以4OBA π∠=，所以m n -与n 夹角，即,OB BA 的夹角为34π． 故选：A ．【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出向量的夹角，方法简便．2.已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A. 3B.12C.13D.23【答案及解析】：B 【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=-，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→⋅=- ，则4a b b →→→⋅=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→⋅+= ，即240bb λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=.故选：B.3.已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为56π，则a b -=（ ）A. 2B.C.D. 1【答案及解析】：B 【分析】求出a 、b ，利用平面向量数量积的运算性质求出2a b -的值，即可得解.【详解】()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，则2cos 1a θ==，同理3b =，()222222522cos 1213376a b a ba ab b a a b b π⎛-=-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯+= ⎝⎭，因此，7a b -=.故选：B.4.如图所示，在OAB ∆中，设P 为OAB ∆的外心，向量OA a →→=，OB b →→=，OP p →→=，若4a →=，2b →=，则p a b →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 6B. 5C. 3D. 1【答案及解析】：A【分析】取AB 中点C ，根据平面向量线性运算将所求数量积化为12a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】取AB 中点C ，连接,CP OC ，P 为OAB ∆的外心，CP ∴为AB 的垂直平分线，p a b OP BA OC CP BA OC BA CP BA →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅-=⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CP AB ⊥，0CP BA →→∴⋅=，又12OC a b →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，BA a b →→→=-，()221111646222p a b a b a b a b →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅-=+-=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A .5.已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量，若a 与b 的夹角为60°，则()()2a b a c -⋅-的最大值是（ ）A.12B. －2C.D.52【答案及解析】：D 【分析】计算出a b -的值，设向量a b -与c 的夹角为θ，利用平面向量数量积运算律和定义可求得()()2a b a c -⋅-的最大值.【详解】单位向量a 与b 的夹角为60，则1cos 602a b a b ⋅=⋅=， 2221212112a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=，则1a b -=，所以，()()()211152212cos 2cos 22222a b a c a a b a b c a b c θθ-⋅-=-⋅--⋅=---⋅=-≤+=.故选：D.二、填空题6.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案及解析】：6【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,E -，()2,1AF ∴=-，(3,AE =-，因此，()()(2316AE AF ⋅=-⨯-+⨯=-故答案为：6-【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，若120BAC ∠=︒，2BA =，3BC =，1132BM BC BA =+，则MA MC ⋅=______.【答案及解析】【分析】利用余弦定理可求得1AC =,建立平面直角坐标系,根据1132BM BC BA =+求出M的坐标,进而求得MA MC ⋅即可.【详解】由余弦定理可得2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒,即2250AC AC +-=,因为0AC >,故解得1AC =.过B 作BO 垂直AC 的延长线于O ,再以O 为坐标原点,OC 为x 轴, OB 为y 轴建立平面直角坐标系.则)0C,(B ,1,0A .设(),M x y ,因为1132BM BC BA =+,故((11,1,32x y =+,故13232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得1326x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即1326,M ⎛ ⎝+⎭.故1114122431,2MA MC -⎛-⋅=⋅= ⎝-+⎭⎝=⎭8.在锐角△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =，AC AF λ=，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=，1ED =，则实数λ的值为_______． 【答案及解析】：3 【分析】将EF 表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题意得知ED 与AC 不垂直，由3ED EF ⋅=可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值. 【详解】如下图所示：3AB AD =，AC AF λ=，13AD AB ∴=，1AF AC λ=， ()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，则ED 与AC 不垂直，即0ED AC ⋅≠，1ED =，6ED BC ⋅=，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭， 0ED AC ⋅≠，1103λ∴-=，因此，3λ=. 故答案为：3.9.已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =,若点P 是△ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.【答案及解析】：13 【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t ,4AB AC AP ABAC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号 PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.三、解答题10.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素f (x )与集合P 的关系，说明理由.【答案及解析】：（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ；（2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可；（2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-， 所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin xf x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=， 所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.C 组 挑战压轴题一、选择题1.设a ，b ，c 为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈则（ ） A. ()()a b a c +⊥-B. ()()a b b c +⊥+C. ()()b c a b -⊥+ D. ()()a cbc -⊥+【答案及解析】：D 【分析】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥-，化简得到()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣，故()()0c b a c +⋅-=，得到答案.【详解】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥-，故()()()221a c t c ba c -+-+≥-，化简整理得到：()()()()()221210t c b t c b a c -++-+⋅-≥，即()()()()()()()()2222220c btc b c b a c t c b c b a c +-+++⋅-++++⋅-≥，()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣，故()()0c b a c +⋅-=，故()()a cbc -⊥+.故选：D.2.已知△ABC 中，4AB =，AC =8BC =，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP AQ ⋅的最大值是（ ）A.72B. 4C.492D. 23【答案及解析】：C 【分析】由题意2BQ CP =-，,60,30AB AC ABC ACB ⊥∠=∠=，故()()AC CP AP AQ AB BQ =+⋅⋅+，展开可得关于CP 的一元二次函数，配方，即可求得AP AQ ⋅的最大值.【详解】△ABC 中，4AB =，AC =8BC =，222,,60,30AB AC BC AB AC ABC ACB ∴+=∴⊥∠=∠=.由题意2BQ CP =-，()()AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP Q A B AP Q ∴=+⋅+=⋅++⋅⋅⋅+⋅ 02cos30cos602cos180AC CP CP AB CP CP =+-++-23124222CP CP CP =⨯+⨯⨯- 22749214222CP CP CP ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∴当72CP =时， AP AQ ⋅取得最大值，最大值为492. 故选：C.二、填空题3.已知平面向量,,a b e 满足||1e =，1a e ⋅=，1b e ⋅=-，||4a b -=，则a b ⋅的最小值为_____【答案及解析】：－4 【分析】 设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-可求12,x x ，再代入||4a b -=，可得12y y =±21221(4a b y y y ⋅=-+=-，从而可求出最小值.【详解】设(1,0)e =，11(,)a x y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-得：1211x x =⎧⎨=-⎩， 又||4a b -=，则22216a a b b -⋅+=，解得：12y y =±221222211(4a b y y y y ⋅=-+=-+±=-，故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为：-4.4.已知平面向量a 、b 、c 满足21b a ==、2c =，()()440c a c b -⋅-=，则2a b-的取值范围是______.【答案及解析】：,22⎣⎦【分析】可根据()()440c a c b -⋅-=得出()182a b c a b +⋅=+，然后根据()22c a b c a b+≤⋅+解得3388a b -≤⋅≤，最后通过2224a b a b -=-⋅即可得出结果. 【详解】22224424a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅，因为()()440c a c b -⋅-=，所以()24160c c a b a b -++⋅=，()182a b c a b +⋅=+，因为()2222222c a b c a b a a b b +≤⋅+=⋅+⋅+，所以5182224a b a b +⋅≤⋅+⋅，解得3388a b -≤⋅≤，所以217224,22a b a b ⎡⎤-=-⋅∈⎢⎥⎣⎦，解得14222a b ≤-≤，所以2a b -的取值范围是⎣⎦.故答案为：,22⎣⎦5. △ABC 是等腰直角三角形，90A ∠=︒，BC =D 满足DA AC =，点E 是BD所在直线上一点.如果CE xCA yCB =+，则2x y +=__________；CA 在CE 上的投影的取值范围是__________.【答案及解析】：2 ;⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】首先由条件确定出点D 的位置，然后由,,B D E 三点共线可得22x y +=，根据条件分别计算出CA CE x y ⋅=+和2||CE x =||CA CECE ⋅=，然后消元变形、分类讨论可求出其范围.【详解】由CA DA =知，D 在边CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，因为点E 是BD 所在直线上一点，且2xCE xCA yCB CD yCB =+=⋅+， 所以12xy +=即22x y +=. 因为2CA CE xCA yCA CB ⋅=+⋅，由题意||1,1CA CA CB =⋅=，所以CA CE x y ⋅=+， 由22||CE xCA yCB =+得2||CE x =所以||CA CECE⋅=.令m=，由于22x y +=，所m =，令1t y =-，则1y t =-且m =当0t =时，0m =；当0t >时，y =2≥， 当且仅当2t =时等式成立，可得01m <≤.当0t <时，m =1>，所以可得0m << 综上可得，]m ⎛∈ ⎝故答案为：2，,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.【答案及解析】 【分析】由平行四边形的面积为1可得2AB AD ⋅=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ⋅的值；由于222PB PC PB PC BC PB PC +-⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故cos 22AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠=⨯= ()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PCPB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PCP BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦=223334ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形，此时PQ BC ⊥，32PQ BC =，。
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)
【核心素养】
1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养.
2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【自主学习】
一、设计问题，创设情境
问题1：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a·b为多少？
二、学生探索、尝试解决
问题2; 若a=(x, y),则|a|²=x2+y2,或|a|=√x2+y2，
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2) ,那你能用坐标表示出|a|吗？
问题3; 设a=(x1,y1)，b=(x2, y2)，若a⊥b,你能得到什么？
问题4; 设a,b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2, y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示你能得到什么
三、运用规律，解决问题
例1.若点 A(1, 2) , B(2, 3) , C(-2, 5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想。
例2 设a=(3, -1) ,b=(1, -2) ,.求a·b及a,b的夹角θ
例3用向量方法证明两角差的余弦公式
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
四、变练演练，深化提高
1. 1.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →
的值是________．
2.. (1)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( )
A ．4
B ．5
C ．35
D ．45
(2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求：
①向量a 的模；
②与a 平行的单位向量的坐标；
③与a 垂直的单位向量的坐标．
3．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b)，则实数x 等于多少？
五、信息交流，教学相长
1、通过本节课的学习，你收获了什么？
2、你是怎样获得这些知识的？
3、在这个过程中用到了什么思想方法？
4、关于本节课的学习，你还有哪些疑惑？
当堂检测
1．已知向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，则下列结论正确的是( ) A．a·b＝2B．a∥b
C．b⊥(a＋b)D．|a|＝|b|
2．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋m b)，则实数m＝________.
3．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
4．(一题两空)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，则x＝________；
(2)若a∥b，则|a－b|＝________.
分层练习
课时分层作业（九）
必做部分：A B组
选做部分：C组。