高中数学向量数量积的坐标运算
版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
向量坐标的运算的所有公式
向量坐标的运算的所有公式在数学的世界里，向量坐标的运算公式就像是一把把神奇的钥匙，能帮助我们打开各种难题的大门。
先来说说向量加法的坐标运算公式。
假如有两个向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，那么它们相加后的向量坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
这就好比你在操场上跑步，从起点出发，先向东跑了 x₁米，向北跑了y₁米，然后又接着向东跑了 x₂米，向北跑了 y₂米，那最终你的位置坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
再看看向量减法的坐标运算公式。
还是这两个向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，相减后的向量坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
我想起有一次我和朋友一起玩拼图游戏，我们把拼图分成了两部分，一部分的位置可以用一个向量坐标表示，另一部分用另一个向量坐标表示。
当我们要把这两部分拼接到一起时，就得算出它们的相对位置，这时候向量减法的坐标运算公式就派上用场啦。
还有数乘向量的坐标运算公式。
如果有一个实数λ 与向量 A(x, y) 相乘，那么得到的向量坐标就是(λx, λy) 。
这就好像是把一个物体按照一定的比例放大或缩小，坐标也跟着相应地变化。
向量数量积的坐标运算公式也很重要。
对于向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，它们的数量积等于 x₁x₂ + y₁y₂。
这让我想到了物理中的力做功的问题，力和位移都可以用向量来表示，通过这个公式就能算出力做的功。
在实际解题中，这些公式常常需要我们灵活运用。
比如说，有一道题给出了两个向量的坐标，让我们求它们的和与差。
这时候，我们只要把对应的坐标相加或相减就可以了。
又比如，要判断两个向量是否垂直，就可以通过它们数量积的坐标运算结果是否为 0 来判断。
总之，向量坐标的运算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多做练习，多联系实际生活中的例子去理解，就一定能掌握它们，让数学变得不再那么可怕。
就像我们在生活中面对各种困难，只要找到合适的方法和工具，就能轻松应对，走向成功！。
2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面对量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标. 解 设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2). ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1).反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2，∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又∵|AB →|＝|OB →|，∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2.可得10x ＋4y ＝29，①又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面对量夹角的坐标表示思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)由于a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)由于a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不行能反向.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)由于a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b|a||b |来推断，可将θ分五种状况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4.已知平面对量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.[呈重点、现规律]1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气.3.留意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础过关1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17B.17C.－16D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3.平面对量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4·a ·b ＋4b 2＝2 3.4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈[0，π]，∴α＝π4.6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2).(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、力气提升8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B解析 由于m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 由于(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的数量为( ) A.322B.3152C. －322D.－3152答案 A解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， ∴AB →在CD →方向上的正射影的数量为 AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10.平面对量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.答案 2解析 由于向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值. 解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与拓展13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
向量数量积的坐标运算和度量公式
§2.3.3 向量数量积的坐标运算和度量公式学习目标：1、能推导并掌握向量数量积的坐标运算与度量公式；2、能灵活运用有关公式解决有关夹角、线段长度等问题. 学习过程： 一、复习回顾1、向量的数量积（内积）的定义： .2、向量长度的定义： .3、两个向量垂直的条件： .4、两点之间的距离公式： . 二、新学内容 阅读自学课本P 112—P 114并回答下面问题：问题1：已知()1212(,),,a a a b b b ==，请用坐标表示下列各式：a b ⋅= ，⇔⊥b a ,a =. 问题2：由向量的数量积公式你能否得到向量的夹角公式？cos ,a b =_______________________________.问题3：如果1122(,),(,)A x y B x y ，则向量AB =_______________________________.例题解析：例1： 1、已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b.2、已知点A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证AB AC ⊥.3、已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求∠BAC 的正弦值.例2：已知三点(2,1),(3,2),(1,4)A B D -，（1）求证AB AD ⊥.（2）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形的两条对角线所成的锐角.课堂达标：1、已知3,5a b == 且12,a b =则向量a 在向量b 上的正射影的数量为（ ）12..3.4.55A B C D2、在ABC ∆中，若()()0,BA BC CA CB ABC --=∆则为（ ）A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3、若a b == ()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）2....6433A B C D ππππ4、若)2,(λ=，)5,3(-=，且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A. ),310(+∞ B. ),310[+∞ C .)310,(-∞ D .]310,(-∞ 5、已知点A （1,1），B （5,3）有向线段绕点A 旋转2π到的位置，则点C 的坐标为____________.6、写出与下列向量垂直的单位向量：（1）)4,3(--=a （2）)5,12(-= _______________________7、设向量,，满足52=，)1,2(-=， 且与的方向相反，则的坐标为 .8、已知坐标原点是正方形的中心，顶点A （2,2），则其他三个顶点的坐标分别为 .9、(选作)已知ABC ∆中，点)2.1(-A ，)3,2(--B ，)1,1(C ，求边BC 边上的高.小结与反思：。
向量数量积的坐标运算与度量公式
02
向量数量积的性质
向量数量积的交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
根据向量数量积的定义，向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积可以表示为$mathbf{A} cdot mathbf{B}$ 或$mathbf{B} cdot mathbf{A}$，其结果相同。这意味着交换向量的顺序不会改变数量积的值。
向量数量积的分配律
总结词
向量数量积的分配律是指数量积满足分 配性质。
VS
详细描述
根据向量数量积的分配律，对于任意两个 向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$以及标 量$k$，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。这意味 着数量积满足分配性质，可以与标量进行 分配运算。
分配律
$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) cdot overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{c} + overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{c}$。
向量数量积的坐标表示
坐标表示
向量$overset{longrightarrow}{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和 $overset{longrightarrow}{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积为$a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的数量积的坐标运算
在力学中，物体的动能与其速度 向量的模的平方成正比，可以通 过向量的数量积来计算。
在电磁学中的应用
计算电场强度
01
电场强度向量可以通过电荷分布密度向量与距离向量的数量积
来计算。
判断电场方向
02
电场强度的方向可以通过电场向量与距离向量的数量积来判断。来自计算磁感应强度03
磁感应强度向量可以通过电流密度向量与距离向量的数量积来
数量积的性质
分配律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量 数量积满足分配律。
零向量与任何向量 的数量积都是0。
交换律：a·b = b·a， 即向量数量积满足 交换律。
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其 中λ是标量，即向量 数量积满足结合律。
若向量a和b垂直， 则它们的数量积为0， 即a·b = 0。
VS
性质与应用
向量数量积具有交换律、分配律等性质， 在物理、工程、计算机图形学等领域有广 泛应用，如计算力、功、能量等物理量， 以及进行向量的投影、旋转等操作。
对未来研究的展望
深入研究高维向量数量积的性质和应用
随着数据维度的增加，高维向量的数量积运算将变得更加复杂，需要 进一步研究其性质和应用。
探索向量数量积在机器学习等领域的应用
在物理中，向量的数量积常用 来表示力、功等物理量。
04 向量的数量积坐标运算方 法
直接计算法
定义
直接计算法是指根据向量数量积的定义，通过计算两个向 量的模长和它们之间的夹角余弦值来求得数量积的方法。
公式
设两个向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则它们的数量积 a · b = |a| * |b| * cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模长，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。
向量数量积的坐标运算与度量公式
一.复习回顾： 复习回顾： 1、平面向量的数量积是如何定义的，它有那 、平面向量的数量积是如何定义的， 些重要的性质？ 些重要的性质？ r r 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 r r a b cosθ 叫做 a 与b 的数量积（或内积）， 的数量积（或内积） 记作
换用两向量的数量积坐标表示,即为:
r r r r r r r r 如果a ⊥ b, 则a ⋅ b = 0, 反之, 如果a ⋅ b = 0, 则a ⊥ b
如果a ⊥ b, 则a1b1 + a2b2 = 0; 如果a1b1 + a2b2 = 0, 则a ⊥ b.
a1 a2 当b1b2 ≠ 0时, 条件a1b1 + a2b2 = 0, 可以写成 = =k − b2 b1 所以向量(a1 , a2 )与(−b2 , b1 )平行, 其中k是比例系数,
即有
a ⋅ b = a b cosθ
a ⋅b
2、两平面向量垂直的充要条件是什么？ 、两平面向量垂直的充要条件是什么？ 3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如 、两平面向量共线的充要条件又是什么， 何用坐标表示出来？ 何用坐标表示出来？
a ⊥ b ⇔ a⋅b = 0
a // （ ≠ 0 ⇔ 存在唯一的 λ使得a = λ b bb ） r r r r 若a = 1，a 2）， = 1，b2），// b ⇔ a1b2 − a2b1 = 0 （a b （b a
练习 : (1)a = (4,5), b =(−4,3), a ⋅ b = -1 (2)a = (8,5), b = (−7,−8), a ⋅ b = -96 (3)a = (−11,2), b = (3,9), a ⋅ b = -15
高二数学向量数量积的坐标运算与度量公式2
求 a b 及a、 b间的夹角θ
a b x1 x2 y1 y 2 a b 3 1 （ 1 ） （ x1 =5 x22） y 1 y2
cos
2 x1
2 y1
2 x2
2 y2
cos 2 2
5 32 (1) 2 12 (2) 2
a a | a |2 | a | aa
（4 ） ； 4、 若 | a | 2，则a a
5、若i ， j分别为与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量, 则i i ( 1 ); j j ( 1 ); i j j i ( 0 );
2 1 2 2
x y x y
2 1
2 2
5、向量垂直的判定
a b x1 x2 y1 y 2 0
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达万年の战争,让彼此之间の仇恨已经刻到了骨头里,一见面必然是不死不休の局面.而此时一个妖族,就算他是堪比诸侯境の妖皇,今日也必定陨落.所以众人很轻松众,只是感觉第一次见到异族都有些兴奋和好奇. 轻声快速前行了十多里路,妖族の身影终于暴『露』在众人眼前,而结果众人一看, 内心深处都涌起一种失落感.在他们心中一直以为,妖族既然配上了妖这个字,那么应该长得妖气冲天,三头六臂,牛头马面,虎背熊腰什么の. 结果眼前这个看起来和和人类差不多,只是头比正常人大了点.手脚极其粗壮,头发是金『色』の长长の披在身后,鼻子比人类大又高,牙齿微微有些突起, 看起来有些狰狞,有些恐怖.而且这妖族身体上也长着长长の金『色』『毛』发,像个野人般.[ 这个妖族真小心翼翼,左看右看,慢慢の前行着.只是众人の到来,明显让他警觉了起来,也在第一时间发现了身后の一群人族.刹那间,他脸『色』变得死灰,巨吼一声,身子变得更
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a + b = (a1 + b1 , a2 + b2) a - b = (a1 - b1 , a2 - b2)
a = ( a1 , a2)
你还记得它们 是如何推导出
来的吗？
利用平面向量基本定理，把向量表示成基底形式.
向量的加法、减法和数乘运算都 可以用坐标来表示，那么向量的数量 积能否用坐标来表示呢？
方法1： a + b = (0 , 7)，a – b = (4 , –1) ∴ (a + b)·(a – b) = 0×4 + 7×(–1) = –7
方法2： (a + b)·(a – b) = a2 – b2 = | a |2 + | b |2 = 13 – 20 = –7
【例2】已知A(1 , 2)，B(2 , 3)，C(–2 , 5)，试 判断ABC的形状，并给出证明.
AB AC
8 20 4 10 10
因此: sin BAC 1 ( 1 )2 3 10 10 10
平面向量数量积的坐标表示以及运用平 面向量数量积性质的坐标表示解决有关 垂直、长度、角度等几何问题。
➢两向量数量积的坐标表示：a ·b = a1b1 + a2b2 ➢两向量垂直的充要条件的坐标表示：
向量的长a 度的等算于术a它平12的方坐根a2标2 平方和
若A(x1 , y1)，B(x2 , y2)，AB = (x2 – x1 , y2 – y1) . 则AB的长，即A、B两点间的距离为
AB x2 x1 2 y2 y1 2
能否推出两个向量夹角余弦的坐标表 达式？
知识支持
cos<a , b> a ·b ab
反之呢 ？
a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
注意记忆向量垂直与平行的坐标表示的区别.
a // b a1b2 - a2b1 = 0 a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
判断：向量(-b2 , b1)与(b1 , b2)是否垂直？ 那么向量 k(-b2 , b1)与向量(b1 , b2)呢？
B(x2,y2)
a
b e2
o e1
x
怎样用向量的坐标表示两个平面向量 垂直的条件？
知识支持
两个向量垂直的条件 a ⊥ b a ·b = 0
已知两个非零向量 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，
如果 a ⊥ b，则 a1b1 + a2b2 = 0 如果 a1b1 + a2b2 = 0；则 a ⊥ b.
解： a b = (3 , -1) (1 , -2) = 3 + 2 = 5
| a | = a a 32 (1)2 10
| b | = b b 12 (2)2 5
cos<a , b> a gt; =
4
【变式练习】已知 a = (2 , 3)，b = (–2 , 4)， 求: (a + b)·(a – b)
a ·b = (a1e1 + a2e2)·(b1e1 + b2e2)
= a1b1e1·e1 + a1b2e1·e2 + a2b1e2·e1 + a2b2e2·e2
因为 e1·e1 = e2·e2 = 1，e1·e2 = e2·e1 = 0
y
A(x1,y1)
所以，我们得到数量积的坐标表达式
两个a对向·应b量坐=的标a数的1b量乘1积+积等之a于2和b它2们
已知两个非零向量 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)， 则向量a、b夹角余弦的坐标表达式为：
cos<a , b> =
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
【例1】设a = (3 , -1)，b = (1 , -2)，求：a b， | a |，| b | 和 <a , b>.
例如：向量(3,4)与向量____，____，____……都垂直.
a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
能否利用向量坐标表示向量长度的计算 公式？
知识支持 设 a = (a1 , a2)，则 a ·a = a12 + a22 .
a ·a = | a |2 或 | a | = a ·a = a2
证明：∵AB = (2 – 1 , 3 – 2) = (1 , 1)
AC = (–2 – 1 , 5 – 2) = (–3 , 3)
C(-2 , 5)
∴AB AC = 1×(–3) + 1×3 = 0
y
∴AB ⊥ AC ∴三角形ABC是直角三角形
B(2 , 3)
A(1 , 2)
x 0
【思考】改变顶点坐标，ABC可能的形状有哪些？ 可以证明吗?
（4）cos<a , b> a ·b ab
（5）| a ·b | ≤ | a || b |
➢【问题3】平面向量数量积满足哪些运算律？
a ·b = b ·a
(a) ·b = (a ·b) = a ·(b)
(a + b) ·c = a ·c + b ·c
➢【问题4】若a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，那么 a + b，
➢【问题1】平面向量数量积是如何定义的？
a ·b = | a | | b | cos< a , b >
➢【问题2】两个向量数量积有什么重要性质？ （1）如果e是单位向量 e ·a = a ·e = | a | cos<a , e> （2）两个向量垂直的条件 a ⊥ b a ·b = 0
（3）a ·a = | a |2 或 | a | = a ·a = a2
已知 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，怎样用 a、b的坐标表示 a ·b 呢？
知识支持
平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的 直角坐标运算、数量积的运算律
设e1、e2分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量， 建立正交基底{e1 , e2} ，已知a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，则
【例3】已知点A(1 , 2)，B(3 , 4)，C(5 , 0)，试 求∠BAC的正弦值.
证明：∵AB = (3 – 1 , 4 – 2) = (2 , 2) AC = (5 – 1 , 0 – 2) = (4 , –2) AB 22 22 8
AC 42 22 20
cos BAC AB AC ( 2,2 )( 4,2 ) 4 1