平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示模夹角教学目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)[基础·初探]教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P 106“探究”以下至P 107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.数量积a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2向量垂直a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝02.向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝．3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝AB→ ．（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）24．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝＝.a ·b|a |·|b |判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0度．( )(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°.(2)√.由向量数量积定义可知正确．(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( )A ． B ．－1212C ．D ．－3232(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－.32(2)a·b ＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b ·c ＝5，所以解得所以c ＝.{2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，){x ＝97，y ＝47，)(97，47)【答案】 (1)D (2)1 4 (3)(97，47)1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．[再练一题]1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )A．(－15，12)B．0C．－3D．－11解：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】 C向量的模的问题 (1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )A．4B．555C．3D．4(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.x2＋y2(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.解：(1)由y＋4＝0知y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D．5(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，因此|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.（－2）2＋4255【答案】 (1)D (2)2 4向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝.x 2＋y 2[再练一题]2．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.解：∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)，∴|a ＋b|＝＝x 2＋（x ＋2）22x 2＋4x ＋4≥，2（x ＋1）2＋22∴|a ＋b|∈[，＋∞)．2【答案】 [，＋∞)2[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【提示】 cos θ＝＝.a ·b|a ||b |探究2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？【提示】 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝，|b |＝，a ·b ＝λ－1.21＋λ2∵a ，b 的夹角α为钝角，∴{λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，)即{λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，)∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)． (1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．∪(－2，12)(12，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)(2)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？(1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔求解．{a·b >0a ≠λb )(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0来求m .解：(1)当a·b 共线时，2k －1＝0，k ＝，此时a ，b 方向相同，12夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠，即实数k 的取值范围是12∪，选B ．(－2，12)(12，＋∞)【答案】 B(2)a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝.2331．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．x 2＋y 2(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a 、b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．[再练一题]3．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b的夹角为锐角．解：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.12(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a ·b <0且a 与b 不反向．由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－，12由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向，所以λ的取值范围为.(－∞，－12)(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a ·b >0且a ，b 不同向．由a ·b >0，得λ>－，由a 与b 同向得λ＝2，所以λ的取值范围12为∪(2，＋∞)．(－12，2)[构建·体系]1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝( )A ．5B ．4C ．－2D ．－1【解析】 a·b ＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.【答案】 D2．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解：由题意，a·b ＝(－2，1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A ．【答案】 A3．(2016·邢台期末)平行四边形ABCD 中，＝(1，0)，AB→ ＝(2，2)，则·等于( )AC → AD → BD → A ．－4B ．－2C ．2D ．4解：·＝(－)·(－2)AD → BD → AC → AB → AC → AB → ＝＋2－3·AC 2→ AB 2→ AC→ AB → ＝8＋2－3×2＝4.故选D ．【答案】 D4．已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________.解：因为a ＝(3，－4)，所以|a|＝＝5.32＋（－4）2【答案】 55．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )．解：(1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a ＋b ) 2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，(a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·开封质检)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( )A ． B ．4334C ．－D ．－3443解：b －c ＝(x ，－4)，由a ⊥(b －c )知3x －4＝0，∴x ＝.故选A ．43【答案】 A2．(2016·马鞍山质检)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( )A ．5B ．335C ．2D ．252解：∵a ∥b ，∴4＋2x ＝0，∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，∴|a －b|＝3.故选B ．5【答案】 B3．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2，2)，则a 与b 的夹角是( )33A ．B ．π6π4C ．D ．π3π2解：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，a ·b|a||b|（1，3）·（－2，23）2×412解得θ＝.故选C ．π3【答案】 C4．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( )A ．B ．65565C ．D ．13513解：a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝＝＝＝.a ·b |b |（2，3）·（－4，7）（－4）2＋722×（－4）＋3×765655【答案】 A5．已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( )A ．B ．1232C ．D ．3545解：以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则D ，E ，于是cos ∠DOE ＝(1，12)(12，1)＝.(1，12)(12，1)12＋(12)2 ·(12)2 ＋1245【答案】 D 二、填空题6．已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点OA → OB → AC → OB → BC → AB → C 的坐标是________．解：设C (x ，y )，则＝(x ＋2，y －1)，AC→ ＝(x ，y －2)，＝(2，1)．BC → AB→ 由∥，⊥，得AC→ OB → BC → AB → 解得{2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，){x ＝－2，y ＝6，)∴点C 的坐标为(－2，6)．【答案】 (－2，6)7．(2016·德州高一检测)若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．解：若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0)即，解得y ＝－1且λ＝－，所以b ≠λa (λ<0)时{1＝－2λy ＝2λλ<0)12y ≠－1；①若a 与b 夹角θ∈时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0)．(π2，π)当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.②由①②得y <－1或－1<y <1【答案】 (－∞，－1)∪(－1，1)三、解答题8．已知＝(6，1)，＝(4，k )，＝(2，1)．AB → BC → CD→ (1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值．BC → CD → 解：(1)因为＝＋＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三AC→ AB → BC → 点共线，所以∥，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4.AC→ CD → (2)因为＝(2，1)，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝CD → BC→ CD → ＝＝.BC→ ·CD →|BC→ ||CD → |1242×5310109．已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.解：∵a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，k a －b ＝k (1，1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)，a ＋b ＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵k a －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0，∴k ＝－1.即当k ＝－1时，k a －b 与a ＋b 共线．(2)∵|k a －b |＝，k 2＋（k ＋2）2|a ＋b |＝＝，12＋（－1）22(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝，（k a －b ）·（a ＋b ）|k a －b ||a ＋b |即－＝，12－22·k 2＋（k ＋2）2化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1±.3即当k ＝－1±时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.3[能力提升]1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．B ．(79，73)(－73，－79)C ．D ．(73，79)(－79，－73)解：设c ＝(x ，y )，又因为a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，所以c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又因为(c ＋a )∥b ，所以有(x ＋1)·(－3)－2·(y ＋2)＝0，即－3x －2y －7＝0，①又a ＋b ＝(3，－1)，由c ⊥(a ＋b )得：3x －y ＝0，②由①②解得{x ＝－79，y ＝－73，)因此有c ＝.(－79，－73)【答案】 D2．(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，求：(1)，的坐标；(2)|－|的值；(3)cos ∠BAC 的值．AB → AC → AB → AC→ 解：(1)＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AB→ ＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．AC→ (2)因为－＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，AB→ AC → 所以|－|＝＝2.AB→ AC → （－2）2＋（－4）25(3)因为·＝(－1，1)·(1，5)＝4，AB→ AC → ||＝，||＝，AB → 2AC→ 26cos ∠BAC ＝＝＝.AB → ·AC →|AB→ ||AC → |42×2621313。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》反思
1、在本堂教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。
数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。
在例题的选择上即达到应用公式的目的，同时也渗透数形结合思想，把本堂课的教学目标贯彻到底。
2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理，密度适中。
知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，并在黑板上板书，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。
3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如问题1：对于上述向量i,j，则i2,j2,i.j分别等于什幺？这样的问法我觉的还太繁琐，我想是否可以改为计算i2,j2,i.j,这样是否更直接一点。
4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。
如公式推导后学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。
5、在板演时，对于学生的错误解法在旁边要做个记号，以示警示，(4)例2的设计很好，但在数据上的设置还需改进，这样能起到更好的考察效果。
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
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1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。 合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料 设计问题
复习思考 提出问题
类比化归 解决问题
反思建构 操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入 提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明 。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习， 提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图： 渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a
b
a
b
cos
2． 数量积的性质：
（1）
a
b
ab
0
（2）当
a与b同向时，a
b
a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a
b
?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使 学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 / 1 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a →，b →如果以O 为起点，作OA →=a →，OB →=b →，那么射线OA ，OB 的夹角θ叫做向量a →与向量b →
的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a →，b →的夹角为θ，那么我们把|a →||b →|cos θ叫做a →与b →的数量积，记做a →⋅b → 即：a →⋅b →=|a →||b →|cos θ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a →=0．
注意：
①a →⋅b → 表示数量而不表示向量，符号由cos θ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b →在a →上的投影是一个数量|b →|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2， 3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a →与b →的数量积a →⋅b →等于a →的长度|a →|与b →在a →的方向上的投影|b →|cos θ的积．。
平面向量数量积的坐标表示,模,夹角评课稿
平面向量数量积的坐标表示，模，夹角评课稿
评《平面向量数量积的坐标表示，模，夹角》
应老师这一堂组内公开课《任意角》，其课堂的师生互动、思维碰撞，令听课的老师耳目一新。
下面是笔者对这节课的几点体会。
一、教学设计
1.结构清晰
课堂中先是通过初中对向量数量积及其变形以及相关知识的回顾，然后通过引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量通过知识基础向量的坐标表示，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。
最后通过几个习题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。
课堂结构清晰完整流畅。
2.环环相扣
针对学生的思维特点，在教学环节涉及上做到由浅入深环环相扣。
例如在复习回顾的过程中引导学生回顾两个向量数量积的几何角度和坐标角度的相关公式，然后在探究新制过程中给出：已知是分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量的条件后，提问对于上述向量，则,分别等于什幺？在旧知的基础上，学生较易得到结论。
紧接着引进，提问：能表示出来向量、的坐标吗？与已有知识再次融合，同时成为生成新知的知识基础。
最后提问：我们能将用坐标表示吗？如果能，如何表示？使学生顺利完成整堂课的核心内容。
3.习题有效
在新知识内容探究结束以后，给出两个例题。
第一个例题从两个已知向量出发的三个计算题，涵盖数量积，向量的模。
简单基础，学生解决较为容易，在激发信心的同时也能进一步巩固本堂课的基础内容。
第二个例题结合。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.