高等数学科学出版社D5_不定积分习题课
高等数学 第四章不定积分课后习题详解.doc
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
高等数学不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
第五章不定积分习题课
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
第1页
第五章 不定积分 习题课
嘉兴学院
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第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
第3页
1、原函数
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第五章 不定积分
《不定积分习题》课件
详细描述
不定积分具有一系列重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。线性性质是指∫[af(x) + bf'(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫f'(x)dx；可加性是指∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx；可乘性是指∫f(x) * g(x)dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx。这些性质在解决不定积分问题时非常有用。
PART THREE
不定积分的基本公式与法则
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
积分公式表
包括基本积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等，这些公式是解决不定积分问题的基础。
常用积分公式
如贝塞尔函数、勒让德函数等，这些特殊函数在解决某些不定积分问题时非常有用。
特殊函数积分公式
不定积分的计算方法
总结词：不定积分的计算方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。 详细描述：不定积分的计算方法有多种，其中最常用的是直接积分法、换元积分法和分部积分法。直接积分法是将不定积分转化为求导的逆运算，即利用微分公式和基本初等函数的导数公式来计算不定积分。换元积分法是通过引入新的变量来简化不定积分，即通过换元将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。分部积分法是将不定积分转化为乘积的形式，即通过分部相乘来计算不定积分。这些方法在解决实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用不定积分的概念和性质。
通过递推关系式，可以方便地求出一些复杂函数的积分。
递推积分公式
包括乘的积分问题化简为简单的积分问题。
线性积分法则
幂函数的积分可以通过分部积分法进行求解，幂函数的不定积分可以通过幂函数的原函数进行求解。
不定积分习题课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
1)9
C
；
（Hale Waihona Puke ）1 36(4x1
1)11
C
.
17
二、求下列不定积分：
1、
1 x2
cos
1 x
dx
;
2、
x2
dx 2x
;
5
3、
ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
4、
(1
x2 x
2
)2
dx
;
5、
1
dx ; 1 x2
6、
x2
x
1 x2
1
dx
;
7、
e
x
dx (1 e
2
x
;
)
1 x2
tan 1 x2 d 1 x2 ln cos 1 x2 C
4
第四章 不定积分 习题课
例3
x2 1
x4
dx 1
分子分母同除以 x2
解 原式
1
1 x2
dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
5
第四章 不定积分 习题课
例4
xe x (1 x)2 dx
解
xe x
(1 x)2 dx
(1
x x
)2
de
x
v
u
原式
xe
x
d( 1
1
) x
xe 1
x
x
( xe x ) dx
1 x
不定积分的习题及答案
不定积分的习题及答案不定积分的习题及答案数学作为一门精确的科学，无论在理论还是实践中都扮演着重要的角色。
而在数学中，不定积分是一个重要的概念，它与求导密切相关，被广泛应用于微积分、物理学等领域。
本文将围绕不定积分展开，介绍一些相关的习题及答案。
1. 求解以下不定积分：a. ∫(3x^2 + 2x - 1) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成三个部分：∫(3x^2) dx + ∫(2x) dx - ∫(1) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(3x^2) dx = x^3 + C1∫(2x) dx = x^2 + C2∫(1) dx = x + C3因此，原积分的解为：x^3 + C1 + x^2 + C2 - x + C3，其中C1、C2、C3为常数。
b. ∫(e^x + 1/x) dx解答：对于第一部分∫(e^x) dx，我们可以利用指数函数的不定积分公式进行求解，即e^x + C1。
对于第二部分∫(1/x) dx，我们可以利用对数函数的不定积分公式进行求解，即ln|x| + C2。
因此，原积分的解为：e^x + ln|x| + C1 + C2，其中C1、C2为常数。
2. 求解以下不定积分：a. ∫(2sinx + 3cosx) dx解答：对于第一部分∫(2sinx) dx，我们可以利用正弦函数的不定积分公式进行求解，即-2cosx + C1。
对于第二部分∫(3cosx) dx，我们可以利用余弦函数的不定积分公式进行求解，即3sinx + C2。
因此，原积分的解为：-2cosx + 3sinx + C1 + C2，其中C1、C2为常数。
b. ∫(x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成四个部分：∫(x^3) dx + ∫(2x^2) dx + ∫(3x) dx + ∫(4) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C1∫(2x^2) dx = (2/3)x^3 + C2∫(3x) dx = (3/2)x^2 + C3∫(4) dx = 4x + C4因此，原积分的解为：(1/4)x^4 + (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + 4x + C1 + C2 + C3 + C4，其中C1、C2、C3、C4为常数。
D5习题课
再求导:
①
可见 f (x) 应为二次多项式 , 设
代入① 式比较同次幂系数 , 得 故
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二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 思考: 下列作法是否正确?
2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法
b
a
f
(x)
d
x
(03考研)
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证: (1) lim f (2x a) 存在, lim f (2x a) 0,
xa x a
xa
由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 又 f (x) 0，所以f (x)
在(a, b)内单调增, 因此
k 1
k
n
1 n
已知
lim
n
sin k
1
1
sin x dx
2,
n k 1
nn
0
lim n 1 n n 1
利用夹逼准则可知 I 2 .
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思考: 提示:由上题
sin
(n1)
n
n
1 n1
故
J
I
lim
sin
n
lim
sin
(n1)
n
n n 1
n
n
1 n1
2
00
2
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时,
0
x ne 1 e
x x
x n , 所以
0
1 xnex 01 ex
dx
高等数学第5章课后习题答案(科学出版社)
Ww dalkdlksdw ;d;alskdlkasldkasl;kd;laksdl;kawdawww 习 题 5.1 1．证：dx x kf x kf x f k dx x f kbani i ban i i ⎰∑⎰∑=∆=∆==→=→)()(lim )(lim )(11ξξλλ2．解：（1）令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘ 得驻点：,,221ππ==x x由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====ππππf f f f ， 得 2)(max ,1)(min ==x f x f由性质，得ππππ2)(454≤≤⎰dx x f（2）令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘， 所以)(x f 在]333[，上单调增加，ππ33)(max ,36)(min ==∴x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-≤≤-∴⎰ππxdx x ， 即 ππ32a r c t a n 9333≤≤⎰x d x x3．解：（1）当10≤≤x 时，有23x x ≤，且23x x -不恒等于0，0312>-∴⎰dx x x ）（，即dx x dx x ⎰⎰>1212。
（2）当60π≤≤x 时，有x x ≤sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-∴⎰dx x x ）（，即dx x dx x ⎰⎰>11sin 。
（3）令)1ln()(x x x f +-=，则)10(01111)(≤≤≥+=+-=x xxx x f ‘， 所以)(x f 在]1,0[上单调增加，0)0()1ln()(=>+-=∴f x x x f ， 且x x ln -不恒等于0)10(≤≤x ，所以⎰⎰+>110)1l n (dx x xdx（4）令)1()(x e x f x +-=，则)10(01)(≤≤≥-=x e x f x ‘，所以)(x f 在]1,0[上单调增加，0)0()1()(=>+-=∴f x e x f x ， 且)1(x e x+-不恒等于0)10(≤≤x ，所以⎰⎰+>11)1(dx x dx e x4.解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥→≥，由比较定理： ⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x5. 证明：考虑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上的函数2x e y -=，则 22x xe y --='，令0='y 得0=x 当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,21x 时，0>'y 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 时，0<'y∴2x e y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2x e y -=在21±=x 处取最小值21-e.故⎰⎰⎰-----<<21212121212121d 1d d 2x x ex e x ，即⎰---<<2121212d 22x e ex 。
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的原函数, 且 求
解: 由题设 F ( x) f ( x) , 则 故 即 又 , 因此
故
二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
指数函数有理式
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
x x
2) x (3 2)2 x 1 (3
da a ln a dx
x x
dx
2 )x arctan( 3
ln 2 ln 3
C
例2. 求
解: 原式 [ ln( x 1 x ) 5 ] d [ ln( x 1 x 2 ) 5 ]
2
3 2 2 ln(x 1 x ) 5 2 C 3
1
1 ln ( x y ) 2 1 C 2
例5. 求 解: 原式 arctan e x de x
e e arctan e e dx 2x 1 e
x x
x
x
(1 e 2x ) e 2x e x arctan e x dx 2x 1 e
1 e 2 x ( 4 x 3 6 x 2 2 x 7) C 8
例7. 设
证明递推公式:
1 n2 n2 In sec x tan x I n2 n 1 n 1
证: I n sec n 2 x sec 2 x dx
(n 2)
sn 2) sec n 2 x (sec 2 x 1) dx
u v dx u v uv dx
使用原则: 1) 由 v 易求出 v ;
2)
u v dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v .
例1. 求
2 3 解: 原式 dx 2x 2x 3 2 d ( 2) x 1 3 2 ln 3 1 ( 2 ) 2 x 3
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
练习
作业
• 第五章总练习题1的奇数小题
例16. 求
( n 为自然数)
dx 解: I ( x a ) ( x b) n
令
则
xa x b
n 1 n dt t2 b a t C a b
例17. 计算 解: 原式=
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f 2 ( x ) f ( x)
sec
n2
(n 2) sec
n 3
x sec x tan x
x tan x (n 2) I n (n 2) I n2
例8. 求
解: 设 F ( x) x 1 则 因 连续 , 利用
x 1 , 1 x ,
x 1 x 1
x 1 x 1
dx (4) 4 x 1
1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
dx
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
e x arctan e x x 1 ln (1 e 2 x ) C 2
例16. 计算 解: 原式=
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f 2 ( x ) f ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
得
1 x2 x C , 1 2 1 x2 C , x2 2
1 C1 2
得
1 C 2 2
记作
C
x 1 x 1
2 1 1 x 2 )x 1 C , ( 1 C, 22 2 2 1 ( x 1x2 C ,C , 2 x ) 1 2
例9. 设
为
x x tan C 2
分部积分
例4. 设 解:
求积分
令 x y t, 即 y x t
t3 x 2 , t 1
t t 2 (t 2 3) y 2 , 而 dx 2 dt t 1 (t 1) 2
t 2 (t 2 3) 原式 3 2 dt 2 t 3 t (t 1) 2 t 2 1 t 1
使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出. 例如 ,
1 k 2 sin 2 x dx (0 k 1) ,
含x 4 , x 2有理式的积分技巧
例10. 求下列不定积分，
x2 1 x2 1 x2 (1) 4 dx，(2) 4 dx， (3) 4 d x, x 1 x 1 x 1 1 1 x4 1 (4) 4 dx, (5) 4 d x, (6) 6 dx 2 x 1 x x 1 x 1
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
例6. 求
解: 原式
1 原式 e 2 x 1 ( x3 x 2) 1 (3x 2 1) 1 6 x 16 6 C 2 4 8
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第五章
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
(代换: x (t ))
(注意常见的换元积分类型)
3. 分部积分法
x ln cos x sin x C a cos x b sin x dx 的积分. 说明: 此技巧适用于形为 c cos x d sin x
解: 令 3 cos x sin x
sin x 例13. 求 I1 dx 及 a cos x b sin x cos x I2 dx . a cos x b sin x 解：因为 a cos x b sin x a cos x b sin x d x x C1 b cos x a sin x a cos x b sin x d x
例12. 求
A(cos x sin x) B(cos x sin x) ( A B) cos x ( A B) sin x 令 a cos x b sin x A B 3 比较同类项系数 x d sin x) , B(c A 1,B 2 x) 故 cos x d sin A(c cos A B 1 d(cos x sin x) ∴ 原式 dx 2 cos x sin x
例11. 求
dx 1 e e e
x 6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t e , 则 x 6 ln t , dx 6 dt t
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 ln(t 2 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
x x
d( x 1 ) x
d( x 1 ) x
1 2 2
arctan
x1 x
1 1 C ln 2 22 2 x1 2 x
x1 2 x
按常规方法解:
第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得
第二步 化为部分分式 . 即令
dx x 4 1
比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 !
1 2
分析:
(1
2
2x 2 1 x
2
) dx
2
d [ ln( x 1 x ) 5 ]
x 1 x
dx 1 x
2
例3. 求 解:
x x x 2 sin cos 2 2 dx 原式 2 x 2 cos 2 x x x d tan tan dx 2 2
例14. 求不定积分 解: 原式
1 ( 2u )(u 2 1)
A 2u
B u 1
C u 1
dx 例15. 求 I (a b k ) sin( x a) sin( x b) 1 sin[( x a) ( x b)] d x 解: I = sin(a b) sin( x a) sin( x b) 1 sin( x a)cos( x b) cos( x a)sin( x b)d x sin(a b) sin( x a) sin( x b) 1 cos( x b) d x cos( x a) d x sin(a b) sin( x b) sin( x a) 1 ln sin( x b) ln sin( x a) C sin(a b) 1 sin( x b) ln C sin(a b) sin( x a)