江苏省南菁高级中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省南菁高级中学2016-2017学年第二 学期 高一年级数学期中考试试题 2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 过两点()()1,2,3,4M N 的直线的斜率为 .2. 若数列{}n a 满足()1220n n n a a a n N *++-+=∈，且122,4a a ==，则数列{}n a 的通项公式为n a = .3.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则cos C = .4.已知三个数12,,3x 成等比数列，则实数x = . 5．不等式2340x x +-<的解集是 .6.过两点()1,1-和()3,9的直线在x 轴上的截距是 .7.在等比数列{}n a 中，已知253432,4a a a a =-+=，且公比为整数，则9a = . 8.若直线220ax y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为 . 9.如果关于x 的不等式210mx mx --≥的解集为∅，则实数m 的取值范围是 .10.ABC ∆内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则角B = .11.已知下列四个条件：①0b a >>；②0a b >>； ③0a b >>；④0a b >>.能推出11a b<成立的是 . 12.已知函数()2f x x x =-，则不等式)()1f x f ≤的解集为 .13.在AOB ∆中，3,6,4AOB OA M π∠==为边AB 上一点，M 到边,OA OB的距离分别为则AB 的长为 .14.已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的n N *∈，总有314n n n S T +=，则34a b = . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分） 设集合A 为函数1lg2xy x+=-的定义域，集合B 为不等式()()()1200ax x a -+≥>的解集. （1）若1a =，求A B ；（2）若R B C A ⊆，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）（1）已知直线l 的方程为()20ax y a a R -++=∈，求证：不论a 为何实数，直线l 恒过一定点P ； （2）过（1）中的点P 作一条直线m ，使它被直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=截得的线段被点P 平分，求直线m 的方程.17.（本题满分14分）在ABC ∆中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. （1）若45,2c A a === ，求,C b ； （2）若tan a b A =，且B 为钝角，证明：2B A π-=，并求sin sin A C +的取值范围.18.如图，A,B,C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度是8千米/小时，乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？并说明理由.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n T ，且1,2n n T a n N *=-+∈，设()1223lo g n n b a n N *+=∈，数列{}n c 满足.n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若2114n c m m ≤++对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.20.已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，121, 2.a a ==（1）若54516,S a a ==，求10a ；（2）已知15815S a =，且对任意的n N *∈，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若()12130d d d =≠，且存在正整数(),m n m n ≠，使得m n a a =，求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式.参考答案：一．填空题：1.1；2.2n;3.;4.;5.;6.;7.-256;8.1;9.;10.;11.1,2,4;12.;13.;14.315.(1)(2)16.(1)证明过程略；（2）17.（1）C=，（2）证明过程略，18.(1)由题意可得t1=ACv乙=38h，设此时甲运动到点P,则AP=v甲t1=5×38=158千米，∴f(t1)=PC=AC2+AP2−2AC⋅AP⋅cos A−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=32+(158)2−2×3×158×35−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=341−−√8千米；(2)当t1⩽t⩽78时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB−8t=7−8t，PB=AB−AP=5−5t，∴f(t)=PQ=QB2+PB2−2QB⋅PB⋅cos B−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(7−8t)2+(5−5t)2−2(7−8t)(5−5t)0.8−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=25t2−42t+18−−−−−−−−−−−−−√，当78<t⩽1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f(t)=PB=AB−AP=5−5t∴f(t)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪25t2−42t+18−−−−−−−−−−−−−√,38⩽t⩽785−5t,78<t⩽1∴当38<t⩽1时,f(t)∈[0,341−−√8]，故f(t)的最大值没有超过3千米。

19.(1)由a n+1=12a n得,数列{a n}是公比为12的等比数列，则a n=(12)n+1(n∈N∗),…(2分)所以b n+2=3log12(12)n+1=3n+3,即b n=3n+1.…(4分)(2)由(1)知,a n=(12)n+1(n∈N∗),b n=3n+1，则c n=(3n+1)⋅(12)n+1. …(5分)S n=4×(12)2+7×(12)3+10×(12)4+…+(3n−2)×(12)n+(3n+1)×(12)n+1，①则12S n=4×(12)3+7×(12)4+10×(12)5+…+(3n−2)×(12)n+1+(3n+1)×(12)n+2,②…(7分)①−②两式相减得12S n=4×(12)2+3×(12)3+3×(12)4+…+3×(12)n+3×(12)n+1−(3n+1)(12)n+2=1+3×[(12)3+(12)4+…+(12)n+1]−(3n+1)(1 2)n+2=1+3×(12)3(1−(12)n−1)1−12−(3n+1)(12)n+2=74−(3n+7)(12)n+2所以S n=72−(3n+7)(12)n+1.…(10分)(3)因为c n=(3n+1)⋅(12)n+1，所以c n+1−c n=(3n+4)(12)n+2−(3n+1)(12)n+1=(1−32n)(12)n+1<0，则数列{c n}单调递减，∴当n=1时,c n取最大值是14,…(13分)又∵c n⩽14m2+m−1对一切正整数n恒成立，∴14m2+m−1⩾14,即m2+4m−5⩾0，解得：m⩾1或m⩽−5.…(16分)20.(1)根据题意,有a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16,a4=a5∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1∴d1=2, d2=3.∴a10=2+4d2=14(2)证明：当n为偶数时,∵a n<a n+1恒成立,∴2+(n2−1)d2<1+n2d1，∴n2(d2−d1)+1−d2<0∴d2−d1⩽0且d2>1当n为奇数时,∵a n<a n+1恒成立,∴1+n−12d1<2+(n+12−1)d2，∴(1−n)(d1−d2)+2>0∴d1−d2⩽0∴d1=d2∵S15=15a8,∴8+8×72d1+14+7×62×d2=30+45d2∴d1=d2=2∴a n=n∴数列{a n}是等差数列；(3)若d1=3d2(d1≠0),且存在正整数m、n(m≠n),使得a m=a n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m为奇数，n为偶数∵a m=a n,∴1+m−12d1=2+(n2−1)d2∵d1=3d2,∴d1=63m−n−1∵m为奇数,n为偶数,∴3m−n−1的最小正值为2,此时d1=3,d2=1∴数列{a n}的通项公式为a n=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪32n−12,n为奇数n2+1,n为偶数.。