第2章课时10 等比数列的前n项和(2) 学案江苏省启东中学高中数学必修五

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等比数列的前n项和公式教案

等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标：1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义。

2. 通过探究等比数列前n项和的公式，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。

3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、教学内容：1. 等比数列的概念及其性质。

2. 等比数列的前n项和的定义。

3. 等比数列前n项和公式的探究。

4. 等比数列前n项和公式的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导过程，以及公式的应用。

2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究等比数列前n项和公式。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解。

3. 实例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等比数列前n项和公式的应用。

五、教学过程：1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，引导学生思考等比数列的前n项和能否也有类似的公式。

2. 等比数列的概念复习：回顾等比数列的定义及其性质。

3. 等比数列的前n项和的定义：引导学生理解等比数列前n项和的含义。

4. 探究等比数列前n项和公式：引导学生分组讨论，归纳总结等比数列前n项和公式。

5. 公式验证与应用：利用多媒体展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解公式。

并通过实例分析，让学生掌握公式的应用。

6. 总结与评价：对本节课的内容进行总结，对学生的学习情况进行评价。

7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考过程，评估他们的合作能力。

3. 练习题解答：收集学生的练习题答案，评估他们对等比数列前n 项和公式的掌握情况。

七、教学拓展：1. 等比数列的极限：引导学生思考等比数列前n项和的极限值，为后续学习数列极限奠定基础。

等比数列前n项和优秀教案

等比数列的前n 项和一、教学目标1.知识目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

2.能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。

3.情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。

二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n 项和公式，能用等比数列的前n 项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学过程（一）复习：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：｛n a ｝成等比数列 ⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。

2. 等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅6．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法如：有一个数列满足135-⋅=n n a ，与公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 比较我们可以判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。

（二）讲解新课创设问题情景课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。

苏教版高中数学必修五《等比数列的前n项和(第2课时)》教案

等比数列的前n项和（第2课时）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前项求和公式解决相关问题；
2.提高学生分析、解决问题能能力，理解这种数列的模型应用。
二、过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。
三、情感、态度与价值观
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
【教学重点与难点】：
重点：用等比数列的通项公式和前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）。
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列的定义： = （，）。
2．等比数列的通项公式：。
3．性质：① 成等比数列 G =ab（），
②在等比数列中，若，则。
4．等比数列的前项和公式：当时， ①，或 ②；
当时，。
当已知 , , 时用公式①；当已知 , , 时，用公式②。
5．，。
6．是等比数列的前项和，
①当且为偶数时，不是等比数列；
②当或为奇数时，仍成等比数列。
，
则（万亩）。
答：从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有万亩。
思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例4某人从年初向银行申请个人住房公积金贷款万元用于购房，贷款的月利率为，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还。如果年还清，那么每月应还贷多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和。

高中数学教案——等比数列的前n项和第二课时

课题：3.5 等比数列的前n 项和（二）教学目的：1.会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题2.提高分析、解决问题能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用公式解决问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;9．等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.10．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列二、例题讲解例1 已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n2项按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式和前项和公式n S 解：∵ ⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a , 解得1a ＝5, d ＝3, ∴ n a ＝3n ＋2, n b ＝n a 2＝3×n2＋2,n S ＝(3×2＋2)＋ (3×22＋2)＋ (3×32＋2)＋……＋(3×n 2＋2) ＝3·12)12(2--n ＋2n ＝7·n 2－6.（分组求和法）例2 设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和解：（用错项相消法）1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ②①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ，当1≠x 时，()n n n nx x x S x ---=-111x nx nx x n n n -+--=+111()xnx x n n n -++-=+1111()()21111x nx x n S n n n -++-=+当1=x 时，()214321n n n S n +=++++= 例3等比数列{}n a 前n 项和与积分别为S 和T ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为'S ，求证：nS S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛='2 证：当1=q 时，1na S =，n a T 1=，1'a n S =， ∴221111T a a n na S S n n n ==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，（成立）当1≠q 时，∵()()()()1111,,1111111'12111--=--==--=-----q q a q q q a S q a T q q a S n n n n n n ， ∴()()221211121'T q a q a S S n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎪⎭⎫ ⎝⎛--，（成立）综上所述：命题成立例4设首项为正数的等比数列，它的前n 项之和为80，前n 2项之和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列解：由题意 ()()()()81821265601118011211=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⇒=--=--n n n nq q q q a q q a 代入（1）， ()()q q a n -=-18011，得：011>-=q a ，从而1>q ， ∴{}n a 递增，∴前n 项中数值最大的项应为第n 项 ∴=-11n q a ()=-=---111n n n q q q q ,54811=--n q ∴3,27548111===-=--n nn qq q q ， ∴21311=-=-=q a ，∴此数列为 162,54,18,6,2例5求和：（x +)1()1()122n n yx y x y +++++ （其中x ≠0，x ≠1，y ≠1）分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，（x +)1()1()122n n yx y x y +++++ )111()(22n n yy y x x x +++++++= yy y x x x n n 11)11(11)1(--+--=n n n n y y y x x x --+--=++1111三、练习：设数列{}n a 前n 项之和为n S ，若2,121==S S 且()202311≥=+--+n S S S n n n ，问：数列{}n a 成等比数列吗？解：∵02311=+--+n n n S S S ，∴()()0211=----+n n n n S S S S ，即021=-+n n a a即：21=+nn a a ()2≥n ，∴{}n a 成等比数列()2≥n 又：2,1,11212211≠=-===a a S S a S a ， ∴{}n a 不成等比数列，但当()2≥n 时成()2≥n ，即：()()⎩⎨⎧≥==-22111n n a n n 四、小结本节课学习了以下内容：熟练求和公式的应用五、课后作业： 1、三数成等比数列，若将第三数减去32，则成等差数列，若将该等差数列中项减去4，以成等比数列，求原三数（2，10，50或938,926,92） 2、一个等比数列前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求n S 3（63） 3、在等比数列中，已知：36,463==S a ，求n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+1271n 六、板书设计（略）七、课后记：。

江苏省连云港市高中数学第2章数列第10课时等比数列的前n项和(2)学案苏教版

第10课时等比数列的前n 项和（2）【学习目标】1.进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2.类比等差数列了解等比数列中和的性质。

【问题导学】复习1：等比数列的前n 项和公式.当1q ≠时，n S = ＝当q =1时，n S =复习2：等比数列的通项公式.n a = = .问题：在等比数列{}n a 中，设公比为q ，则当项数为偶数2n 时，S 偶与S 奇的关系是；项数为奇数21n -时，S 偶与S 奇的关系是。

【交流展示】例1数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列。

例2在等差数列中，有 ,,,232m m m m m S S S S S --成等差数列，在等比数列中是否有类似的结论？变式1：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .变式2：等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .例3设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且113542381,,.a b a a b b b a ==+==分别求出{}n a 及{}n b 的前10项和10S 及10.T变式：已知等比数列{}n a 中，12166,128,126n n n a a a a S -+=⋅==，求项数n 的值。

【典题精练】1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S = .2. 在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .3.等比数列{}n a 共2n 项，和为－240，奇数项和比偶数项和大80，则公比q =4.若等比数列{}n a 中， 13+=n n m S ，则实数m ＝ .5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ ①证明：{}1n a -是等比数列； ②求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .。

江苏省启东中学高中数学五学案：第2章课时10等比数列的前n项和(2)

课时10 等比数列的前n项和(2）
教学目标
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力
教学过程
［例题分析]
例1已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数。

例2已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和,S3，S9，S6成等差数列，求证：a2,a8，a5成等差数列。

例3求数列2x2，3x3，4x4,…，nx n，…的前n项和
小结：
例4求和：(1）（x＋错误!）＋（x2＋错误!）＋…＋（x n＋错误!）（其中x ≠0,x≠1，y≠1）
（2）(x＋错误!）2＋（x2＋错误!)2＋…＋(x n＋错误!）2
例5求数列1,a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和S n
当堂练习
1．等比数列｛a n｝中，S4＝1,S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值
2．数列｛a n｝中,S n＝1＋ka n(k≠0，k≠1）
（1）证明数列{a n}为等比数列；（2）求通项a n；（3）当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋a n2。

高中数学 2.3.3 等比数列的前n项和(2)教案苏教版必修5

2.3.3 等比数列的前n 项和（2）教学目标：1．掌握等比数列前n 项和公式．2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式解决相关的问题．教学重点：进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用相关知识解决有关问题．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程一、复习引入：1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减，分类讨论．二、学生活动求和：2311n a a a a-++++⋯+．三、建构教学1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A .2．S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡)是等比数列．注意：①公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．3．在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ﹡)， S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S ．四、数学运用1．例题讲解．例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值．例2 等差数列{a n }中a 1=1， d =2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n ．例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和．2．练习．①若等比数列{a n }中，,13+=n n m S 则实数m ＝；②等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= ；③等比数列中S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = ；④等比数列{a n }共2n 项,其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = ．五、要点归纳与方法小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A ．2．S n （0n S ≠）为等比数列的前n 项和，则232232,,(,,0n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ----都不为）一定是等比数列． 3．在等比数列中,若项数为2n （n ∈N ﹡），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则q S S =奇偶．六、课外作业课本P62习题6，7，9，10，11，13题．。

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课时10 等比数列的前n项和（2）
教学目标
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力
教学过程
[例题分析]
例1已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
例2已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
例3求数列2x2，3x3，4x4，…，nx n，…的前n项和
小结：
例4求和：（1）（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ）(其中x ≠0，x ≠1，y ≠1) （2）（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）2
例5求数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…的前n 项和S n
当堂练习
1．等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值
2．数列{a n}中，S n＝1＋ka n(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{a n}为等比数列；（2）求通项a n；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋a n2。

第2章 课时10 等比数列的前n项和(2) 学案 江苏省启东中学 高中数学 必修五

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