第8章 常微分方程导学8-1(概念、可分离)
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
高等数学 第八章 常微分方程
第八章 常微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．2． 基本公式一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+=的通解公式:()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰． 3． 基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构． 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以 )0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x yy d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln y x C =-+， 1ex C y -+=，1e e C x y -=±，所以 exy C -= （C 为任意常数）．请思考为什么所求通解 e x y C -= 中的任意常数C 可以为零，如何解释． 问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率 xy k d d =（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 d d s v t=，加速度 22d d d d ts tv a ==，角速度 tw d d θ=，电流 tq i d d =等．例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t 的函数关系．解 设t 时刻镭的现存量()M M t =，由题意知：0(0)M M = ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程kM tM -=d d ，其中(0)k k >为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M 逐渐减小，0d d <tM ．将方程分离变量得ektM C -=，再由初始条件得00e M C C ==， 所以0ektM M -=，至于参数k ，可用另一附加条件 2)1600(0M M =求出，即160000e2k M M -⋅=，解之得k =≈ln .216000000433，所以镭的衰变中，现存量M 与时间t 的关系为0.0004330etM M -=．三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为01,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0，特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin c y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为y x A x B x p =+(c o ss i n )， 代入原方程，可得1,02A B =-= 所以y x x p =-12cos ，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()cos ()sin xn h f x P x x P x x αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =．解二 方程''+=y y x sin 所对应的齐次方程''+=y y 0之通解y C x C x C =+12cos sin ．为求''+=y y x sin 的一个特解，先求辅助方程 i e e (0i )x xy y λλ''+===+ ①的特解，由于i λ= 恰是特征单根，故可设i e xp y Ax =为①的一个特解．将其代入①整理得2i 1A = 即i 2A =-，所以i i i 11e(c o s i s i n )s i n i (c o s)2222xp y x x x x x x x x =-=-+=-， 即y x x *cos =-12为方程''+=y y x sin 的一个特解．因此，所求通解为y C x C x x x =+-1212cos sin cos ．该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项()()ecos xm f x P x x αβ=或()()e sin x m f x P x x αβ=时，可先令()()e x m f x P x λ=(i λαβ=+)按λ是否为特征方程的特征根（λ是特征根设1k =，不是特征根设0k =），可设()e kxp m y x Q xλ=为方程()e xm y py qy P x λ'''++=的特解，求出12i p y y y =+的形式，则y 1为''+'+=y py qy ()e cos x m P x x αβ的一个特解， y 2 为''+'+=y py qy ()e sin x m P x x αβ的一个特解． 上述两种解法，实质上是一样的，为什么？四、练习题1． 判断正误（1）若y 1和y 2是二阶齐次线性方程的解，则1122C y C y +（C 1，C 2为任意常数）是其通解 ； （ ⨯ ）解析 只有1y 和2y 是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合1122C y C y +才是通解．（2）'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=； （ ⨯ ） 解析 '''+''-=y y x 0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为0=''+'''y y ，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．因此，'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=．（3）方程''-'=y y x sin 的特解形式可设为x B x A sin cos +（Ａ，Ｂ为待定系数） ；（ √ ）解析 对应的齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为 1r =0，2r =1． 又因为1,0==βα,i i αβ±=±不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为x x Q x x P y p s i n )(c o s )(00+== x B x A sin cos +．（4）'=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）． （√ ）解析 特征方程为01=-r ，特征根为r =1，所以，特征方程的通解为e x y C =．2．选择题（1）2(1)e xy y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；(C) ()e xa xb +； (D) 2)(x b ax +．解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e xp y x ax b =+．（2）2e sin x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ C ）；(A) e sin x A x -； (B) 2e sin x Ax x -； (C) e (sin cos )x A x B x -+； (D) )cos (sin 2x x Ax +．解析 特征方程为 0122=++r r ，特征根为 1r =2r =1-．又因为1,1=-=βα，i 1i αβ±=-±不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为)cos sin (x B x A e y xp +=-．（3）22e cos x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A) (cos sin )e x x A x B x -+； (B) e cos x Ax x -；(C) e sin x Ax x -； (D) (cos sin )e x Ax x x -+．解析 特征方程为0222=++r r ，特征根为 1r =1i -+，2r =1i --．又因为1α=-，1β=，i 1i αβ±=-±是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为 e(c o s s i n xp y x A x B x -=+．（4）下列方程中，通解为12e e x xy C C x =+的微分方程是（ A ）．(A) 02=+'-''y y y ； (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 ； (D) '=y y ．解析 由通解y =12e e x x C C x +=12()e xC C x +可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根1r =2r =1，对应的特征方程为0122=+-r r ，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为02=+'-''y y y ．３．填空题（１） 方程 '''+'=y y 0的通解为 123cos sin C C x C x ++；解 特征方程为03=+r r ，特征根为1r =0，2r =i ，3r =i -，方程的通解为 y =123cos sin C C x C x ++． (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ；解 特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．（3）''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ； 解 方程两边积分得 y '=2sin d x x ⎰=12cos x C -+， 微分方程的通解 1(2c o s )d y x C x =-+⎰=122sin x C x C -++．（４）''-'+=y y y 567满足670==x y和'=-=y x 01的特解为 237ee6xx-+ ．解 对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，特征方程为0652=+-r r ，特征根为1r =2，2r =3，对应齐次方程的通解为2312eexxc y C C =+．由于λ=0不是特征方程的根，故设00()ee xxp y Q x A ==，将()Q x A =，0)()(=''='x Q x Q 代入方程，有6A =7， 即 A =67．于是方程的特解为 67=p y ，方程的通解为 23127=e +e6xxy C C +．现在求满足初始条件的特解．对y 求导得23122e 3e x xy C C '=+，将初值代入y 与y '，有121277(0),661(0)23,y C C y C C ⎧⎪==++⎨'-==+⎪⎩即 {12120,231,C C C C +=+=- ⇒{121,1,C C ==- 于是，方程满足初始条件的特解为y =237e e 6x x -+．4． 解答题(1) 用两种方法求解 ''=-'y x y 2；解一 对应的齐次方程为02='+''y y ，特征方程为 022=+r r ，特征根为 1r =0，2r =2-，于是对应的齐次方程的通解为c y =212exC C -+．由于λ=0是特征方程的特征单根，于是设p y =0()e x Q x =x(Ax+B)0e x ， 求导得 B Ax x Q +='2)(， A x Q 2)(=''， 则有 x B Ax A =++)2(22， ⇒ 1,41,4A B ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以方程的特解为 p y =)414(-x x ，所求方程的通解为 y =212exC C -++442x x-．解二 设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d p x p=-，两边积分，得 l n 2l n p x c=-+， 即2e xp c -=， 根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()exc x x -'=， 2()e,xc x x '=积分得 2()ed xc x x x=⎰=21de2xx ⎰=2211ee d 22xxx x -⎰=22111ee24xxx C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24xx C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e)d 24xx C x --+⎰=212exC C -++442x x-．(2) 求方程 ''+=y y x x cos 2满足10==x y，019x y ='=-的特解；解 对应的齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为1r =i ，2r =i -，对应的齐次方程的通解为c y =12cos sin C x C x +．先求辅助方程2i e x y y x ''+=的特解：由于λ=2i 不是特征方程的特征根，于是设p y =2i ()e x Q x =)(B Ax +2i e x ，A x Q =')(， 0)(=''x Q ，则有 4i 3()A Ax B x -+= ⇒ 1,34i,9A B ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以，辅助方程的特解为p y 14(i)(cos 2i sin 2)39x x x =--+1414(cos 2sin 2)(sin 2cos 2)i 3939x x x x x x =-++--，于是原方程的特解为 p y =x x x 2sin 942cos 31+-， 所求方程的通解为 y =12cos sin C x C x +14cos 2sin 239x x x-+．现在求满足初始条件的特解．对通解求导数，得='y 12128sin cos cos 2sin 2cos 2,339C x C x x x x x -+-++由初始条件10==x y ，019x y ='=-，带入上面两式，得121,2,3C C =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以，满足初始条件的特解为 x x y sin 32cos -=14cos 2sin 2.39x x x -+(3) 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解； 解 整理得 e (e 1)d e (e 1)x y yxx y -=-+，用分离变量法，得eed de 1e 1yxyxy x =--+，两边求不定积分，得 l n (e 1)l n (e 1)l y xC -=-++，于是所求方程的通解为 e 1e 1yxC-=+，即 e 1e 1yxC =++．(4) 求()y x y y 2620-'+=的通解；解 分离变量，得 2d 2d 6y y xx y=-，取倒数，有2d 613d 22x x y x y yyy-==-，是x 关于y 一阶线性微分方程．求此方程的通解．对应的齐次方程为d d x y=3yx ，用分离变量法，得 d x x=3d y y，两边积分，得 l n 3l n l n x y c =+， 即 3x c y =，用常数变易法，设方程的解为x =3()c y y ，代入方程，有31()2c y y y '=-， 即 21()2c y y'=-，积分，得 ()c y =12C y+，所以，方程的通解为 x =2312y C y +．(5) 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37C 。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
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例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
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③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
高等数学武大社教案08第八章常微分方程
第八章常微分方程一、教学目标1.熟悉微分方程的基本概念及其求解方程的基本思路；2.掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、常系数齐次线性微分方程的求解方法；3.了解高阶线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程的解法.二、课时分配本章节4共个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.可分离变量的微分方程；2.一阶线性微分方程的解法；3.可降阶的二阶微分方程；4.二阶常系数齐次线性微分方程.四、教学难点1.伯努利方程；2.齐次方程；3.二阶常系数非齐次线性微分方程.五、教学内容第一节微分方程的基本概念一、微分方程的引例【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程.【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件，得y′=x2.两边积分，得y=1/3x3+C.式中，C为任意常数.由于所求曲线过原点，即将y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲线方程为y=1/3x3.二、微分方程的基本概念1. 微分方程和微分方程的阶定义1 若在一个方程中涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程.定义2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.一般地,设x为自变量，y为未知函数，n阶微分方程有如下形式：F(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))=02.微分方程的解与通解定义3 某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程，满足微分方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解.若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数，则称此解为方程的通解. 当通解中各任意常数都取定值时所得的解，称为方程的特解. 用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件.一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解.【例3】验证函数y=C1e−x+C2xe−x是微分方程y″+2y′+y=0的通解，并求出满足初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2的特解.【解】容易求得y=C1e−x+C2xe−x的一阶导数和二阶导数为y′=(C2−C1)e−x−C2xe−xy′′=(C1−2C2)e−x+C2xe−x代入方程中，得(C1−2C2)e−x+C2xe−x+2[(C2−C1)e−x−C2xe−x]+C1e−x+C2xe−x=[(C1−2C2)+2(C2−C1)+C1]e−x+(C2−2C2+C2)xe−x≡0因此，y=C1e−x+C2xe−x是原微分方程的解.又因为其中含有两个独立的任意常数，因而是方程的通解.将初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2代入，可得C1=4，C2-C1=-2从而解出C1=4，C2=2因此，满足初始条件的特解为y=4e−x+2xe−x第二节一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程在一阶微分方程中，形如dy=f(x)∙g(y)的方程，称为可分离变量的方程.其中，函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)≠0.将方程变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式两边分别积分，得∫1dy=∫f(x)dx+C若设G(y)及F(x)依次为1/g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C可以证明，G(y)=F(x)+C就是两个方程的通解.值得说明的是，对方程求解时，总假设g(y)≠0.如果g(y)=0，则可由方程求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.综上所述，求解可分离变量的微分方程的步骤如下：(1) 分离变量；(2) 两边积分.【例1】求方程dydx =−xy的通解.【解】分离变量，得ydy=-xdx两边积分，得∫ydy=∫(−x)dx+C11 2y2=−12x2+C1所以通解为x2+y2=C(2C1=C)其中,C为任意常数.二、一阶线性微分方程如果一阶微分方程可化为y′+P(x)y=Q(x)(8-11)的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此方程为一阶线性微分方程.【例4】求方程(1+x2)y′−2xy=(1+x2)2的通解.【解】原方程可化为y′−2x1+x2y=1+x2所以原方程是线性非齐次的，即P(x)=−2x1+x2,Q(x)=1+x2对应齐次方程y′−2x1+x2y=0，分离变量，得dy dx =2x1+x2dx两边积分，得ln y=ln(1+x2)+ln C 所以齐次方程通解为y=C(1+x2)设y=C(x)(1+x2)，代入原方程，得C′(x)(1+x2)+2xC(x)−2x1+x2C(x)(1+x2)=1+x2整理得C′(x)(1+x2)=(1+x2)C′(x)=1C(x)=x+C由此得到原方程的通解为y=(x+C)(1+x2).第三节可降阶的高阶微分方程一、y″=f(x)类型的方程这种类型的方程特点是其左端为未知函数y的高阶导数，而右端不含y，两边积分得y′=∫f(x)dx+C1再积分，得方程通解y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2其中，C1,C2为任意常数.【例1】求方程y″=x+sinx满足初始条件y|x=0=1，y′|x=0=2的解.【解】对方程两端积分，得y′=12x2−cos x+C1将初始条件y′|x=0=2代入，得C1=3,即y′=12x2−cos x+3再次对方程两端积分，可得y=16x3−sin x+3x+C2将初始条件y|x=0=1代入，得C2=1.所以原方程解为y=16x3−sin x+3x+1二、y″=f(x,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含未知函数y，则可以通过变量代换，降为一阶微分方程求解.将y′看作未知函数p(x)，即令y′=p(x)，则y″=dp/dx，代入原方程得到关于x 和未知函数p(x)的一阶微分方程dpdx=f(x,p)设其通解为p=φ(x，C1)或y′=φ(x，C1),积分得原方程通解y=∫φ(x,C1)dx+C2三、y″=f(y,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含自变量x，此时可将y′看作未知函数p(y)，即令y′=p(y)，两边对x求导得y′′=dpdy∙dydx=pdpdy代入原方程得到关于y和未知函数p(y)的一阶微分方程p dpdy=f(y,p)设其通解为p=φ(y,C1)或dy=φ(y,C1)这是关于x和未知函数y(x)的可分离变量的一阶微分方程，若φ(y，C1)≠0，分离变量dyφ(y,C1)=dx 积分得原方程的通解∫dyφ(y,C1)=x+C2其中，C1,C2是任意常数.第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程通解的结构y′′+py′+qy=f(x)(p,q为常数)的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.定理1 (齐次线性方程解的叠加性)若函数y1，y2是齐次线性方程的两个解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)也是方程的解.定理2 (齐次线性方程通解的结构)若函数y1,y2是方程的两个线性无关的特解,则y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)是方程的通解.由此可见,求二阶常系数齐次线性方程通解的关键是求它的两个线性无关的特解.定理3 (非齐次线性方程通解的结构)设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,Y是对应的齐次方程的通解,则y=Y+y∗是非齐次方程的通解.定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和.二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法设二阶常系数齐次线性微分方程为y′′+py′+qy=0由于方程左端是未知函数y及y′，y″的线性代数和，所以函数y必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入左端整理后才可能为零.因此，我们猜测y=e rx可能是方程的解，其中常数r需要待定，它表示了该解的特征.将y=e rx，y′=re rx，y″=r2e rx代入方程(8-19)中，得(r2+pr+q)e rx=0.由于e rx≠0，所以r2+pr+q=0.若函数y=e rx是方程的解，则r必须满足方程，称方程为微分方程.【例1】求微分方程y′′−y′−2y=0的通解.【解】微分方程的特征方程为r2−r−2=0即(r+1)(r-2)=0其根为r1=-1，r2=2，故通解为y=C1e−x+C2e2x三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法1. f(x)=P m(x)eλx型其中，P m(x)为m次多项式P m(x)=a0x m+a1x m-1+…+a m-1x+a m，λ为常数.这时，微分方程为y″+py′+qy=P m(x)eλx.根据方程两端的特征，可以猜想方程有形如y*=Q(x)eλx的特解，其中Q(x)是需待定的多项式.将y*的一阶、二阶导数y*′，y*″及y*代入方程中，得Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).式的左端应是m次多项式.2. f(x)=eλx p m(x)cosωx或f(x)=eλx p m(x)sinωx型设方程y″+py′+qy=eλxpm(x)cosωx，或y″+py′+qy=eλx p m(x)sinωx.其中，p，q，λ，ω＞0均为常数，pm(x)为m次多项式，可以证明(从略)方程具有形如y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］.的特解，其中Q m(x)，R m(x)为待定m次多项式，而k的取值根据λ±iω是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0.【例4】求微分方程y″+5y′+4y=3-2x的特解.【解】与所给方程对应的齐次方程为y″+5y′+4y=0它的特征方程为r2+5r+4=0即(r+1)(r+4)=0它的根为r 1=-1，r 2=-4.因为所给方程中λ=0不是特征方程的根，而且P m (x)=3-2x 是一次多项式，所以它的特解应为y*=b 0x+b 1(也是一次多项式).将y*=b 0x+b 1，y*′=b 0，y*″=0代入原方程中，得5b 0+4b 1+4b 0x=3-2x比较两端同次项的系数，得{5b 0+4b 1=34b 0=−2解得b 0=−12,b 1=118，于是，所求特解为y ∗=−12x +118。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
常微分方程
第八章 常微分方程 考试内容常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 贝努利（Ber-noulli ）方程 全微分方程 可用简单变量代换求解的微分方程 可降阶的高微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二姐常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 Euler 方程 微分方程的简单应用 考试要求1. 了解微分方程及其阶，解，通解，初始条件及特解等概念。
2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。
3. 会解Ber-noulli 方程和全微分方程（数二，三不要求），会用简单的变量代换解某些微分方程。
4. 会用降阶法解下列微分方程：()()"'"',(,),(,).()n f x f x f x yy y y y ===数三不要求5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会街某限额高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7. 会解自由项多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非其次线性微分方程。
8. 会解Euler 方程（数二，三不要求）。
9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
重点内容和长常见题型1. 求五类典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接而属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x 与y 对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型; 2. 求解可降阶方程；3. 求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；4. 根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；通常是引用物理，力学的定律，几何知识等，运用数学的工具建立微分方程与相应的定解条件（重要）。
5. 综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
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第8章 常微分方程 导学
8.1 微分方程的基本概念 8.2.1 可分离变量的微分方程
一、相关问题
1. 将初始温度C u 00100=的一杯水放置于环境温度a u 保持在C 020的桌上，10 分钟后测得水的温度为C 085。
如果水的温度低于055C 才可以喝，请问再过20分钟后这杯水能喝了吗？
2. 现代城市高楼林立，高空坠物事件经常发生。
你能根据坠物砸到地面的损坏情况或地面印迹等信息判断坠物掉落的高度吗？
二、相关知识
1. 微分方程的通解和特解有什么关系？
2．可分离变量的微分方程的标准形式是什么？如何求解？
3. 指出下列微分方程的阶数，回答方程是否是线性的、齐次的还是非齐次的：
(1)
， (2) ,
(3) ， (4) 三、练习题
1. 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x , y)处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.
2. 验证函数11x
x
Ce y Ce +=- 是微分方程21(1)2dy y dx =- 的解，并指出该解是通解还是特解？
3. 求积分曲线族
所满足的微分方程. 4. 求微分方程221dy x y xy dx
=+++的通解. 四、思考题
1. 通解是否包含微分方程所有的解？
2. 是否所有的微分方程都存在通解？。