《基本不等式》教案

《基本不等式》教案
教学目标
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.
教学重、难点
重点：均值不等式定理的证明及应用.
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.
教学过程：
一、知识学习：
我们已经学过重要不等式222(,),a b ab a b R +≥∈为了方便同学们的学习，下面将它以定理的形式给出，并给出证明.
定理1：如果a 、b ∈R ，那么222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“＝”号) 证明：因为2222()0,a b ab a b +-=-≥当且仅当a ＝b 时等号成立，所以 222a b ab +≥，当且仅当a =b 时，等号成立.
探究：你能从几何角度解释定理1吗？
如果把实数a ，b 作为线段长度，那么可以这样来解释定理1：
以a ≥b 为例.如图1.1-2(课本第5页)，在正方形ABCD 中，AB =a ；在正方形CEFG 中，E F =b .那么S 正方形ABCD +S 正方形CEFG =a 2+b 2.
矩形BCGH 和矩形JCDI 的长均为a ，宽为b ，它们面积的和是S 矩形形BCGH +S 矩形JCDI =2ab .
矩形BCGH 和矩形JCDI 的公共部分是正方形JCGK ，它的边长等于b ，其面积与正方形C EFG 相等.所以，上述两个矩形面积的和2ab 就等于图中阴影部分面积，它不大于正方形ABC D 与正方形CEFG 面积的和，即
222a b ab +≥.
当且仅当a =b 时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD 与正方形C EFG 面积的和，即
222a b ab +=.
将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式.
定理2(基本不等式) 如果a ，b >0，那么
2
a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“＝”号) (老师引导学生完成证明过程)
说明：如果a ，b 都是正数，我们称
2
a b +为a ，b
为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
下面我们讨论基本不等式的几何意义.在图1.1-3(课本第6页)中，CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，AD =a ，BD =b .于是，
11().22
90,90,.
Rt Rt .
,.OC AB a b DCA A B A DCA B DCA DBC AD CD a CD CD BD CD b
CD =
=+∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴∆∆∴=⇒=∴= ∽ 当a ≠b 时，在Rt △OCD 中，斜边CO 大于直角边CD
，所以2
a b +> 当a =b 时，Rt △ABC 斜边AB 上的中线CO 和高CD
重合，所以
2a b += 综上所述可知，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高
二、例题讲解：
例3 求证：(1)在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；
(2)在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.
一般地，从基本不等式可以得到下面结论：对两个正实数x ，y ，如果它们的和S 是定值，则当且仅当x =y 时，它们的积P 取最大值；如果它们的积P 是定值，则当且仅当x =y 时，它们的和S 取得最小值.
例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主题造型平面图(图1.1-4，课本第7页)是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为每平方米80元.
(1)设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值.
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件.。