辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试题含答案

__________.
（本题第一个空 2 分，第二个空 3 分）
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10 分)已知 sin(α＋π)＝－ 5，α∈(0，π)．
2
5
sinα－π－cos3π＋α
(1)求
2
2 的值；
sinπ－α＋cos3π＋α
(2)求 cos(2α－3π)的值． 4
9．设全集U R ，集合 A {y | y x2, x R} ，集合 B {x | x2 x 2 0, x R} ，则
（） A．A∩B=(0,1)
B． A B (2, )
C．A∩ B=(0,+∞)
D． A∪ B=R
10 ． 已 知 函 数 f x Acos x (A 0, 0,0 ) 的 图 象 的 一 个 最 高 点 为
3
(2)∵cos α＝－
5 ，sin
α＝2
5 ⇒sin
2α＝－4，cos
2α＝－3.
5
5
5
5
cos(2α－3π)＝－
2 cos
2α＋
2 sin
2α＝－
2 .。。。。。。。10 分
4
2
2
10
18.解：（1）
f
x
2x
m
1 x 2
，所以
f
1
2
1 m
f
1
1 2
2m ，
所以 m
1，检验，此时
f
x
2x
4
2
4
；在选历史的条件下，选地理的概率为 ．（1）求该校最终选地理的学生概率；
3
5
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 X．
①求随机变量 X 2 的概率； ②求 X 的概率分布表以及数学期望．
20.已知函数
f
x
2sin2
x
4
3cos2x ．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；
6
得到函数 g（x）＝2cos（2x ）+1 36
7
2cos
2
x
6
1
的图象，
由于
x∈
4
，
4
，所以
2 3
2x 6
3
，故
1 2
cos
2x
6
1，
所以 0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．。。。。。12 分
21.解：（1）记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种
mb
x
，所以
a b
x x
a b
x
m ，
因为 a 0,1 ， b 1，所以 a 0,1 ．
b
6
（1） m 0 即 m≥0，解集为 R；
（2）
m
0
即
m
0
，解集为
,
log
a
m
．…….12
分.
b
19.解：（1）该校最终选地理的学生为事件 A，
P A 3 2 1 4 7 ；
4 3 4 5 10 答：该校最终选地理的学生为 7 ；.。。。。。。。6 分
18．（本题 12 分）设函数 f x ax mbx ，其中 a, m,b R ．
（1）若 a 2 ， b 1 且 f x 为 R 上偶函数，求实数 m 的值；
2
3
（2）若 a 4 ， b 2 且 f x 在 R 上有最小值，求实数 m 的取值范围；
（3） a 0,1 ， b 1，解关于 x 的不等式 f x 0 ．
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解： (1)sin(α＋π)＝－ 5，α∈(0，π)
2
5
⇒cos
α＝－
5，α∈(0，π)⇒sin
α＝2
5 .
5
5
sinα－π2－cos32π＋α＝－cos
α－sin
α1 ＝－ .。。。。5 分
sinπ－α＋cos3π＋α sin α－cos α
B.若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概
率为 1 ； 4
2
C.线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 ， A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 9
不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率为 2 . 3
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 0.19 ，
0.65 ，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为 0.16 ，
从而 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为 1900，6500，1600
件，
故利润估计为190010 6500 6 1600 2 61200 元．
14．
x
2 x
7
的展开式中
x
的系数为__________.
15．若 x 2 是函数 f (x) (x2 ax 1)e x1 的极值点，则 f (x) 的极小值为
．
16．已知函数
f
(x)
2x , x
x
2
,
x
a, a.
①若
a
1 ，则不等式
f
(x)
1 的解集为__________；
② 若 存 在 实 数 b ， 使 函 数 g(x) f (x) b 有 两 个 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
1
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
设得分的中位数 me ，众数 m0 ，平均数 x ，下列关系正确的是（ ）
A． me m0 x
B． me m0 x
C． me m0 x
D． m0 me x
8．已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x 1) 是偶函数， f (x 1) 是奇函数， f (x) 在[1,1]
4
估计值（精确到 0．01）．
22．已知函数： f x 1 x2 a ln x a, g x ex x 1
2
（I）当 x 1, e时，求 f x 的最小值； （II）对于任意的 x1 0,1 都存在唯一的 x2 1, e 使得 g x1 f x2 ，求实数 a 的
取值范围．
12．定义：若函数 F x 在区间 a,b 上的值域为a,b ，则称 a,b 是函数 F x 的“完美
区间”．另外，定义a,b 的“复区间长度”为 2b a ，已知函数 f x x2 1 ．则（ ）
A．[0，1]是 f x 的一个“完美区间”
1
B．
2
5
,1 2
5
是
f
x 的一个“完美区间”
A． 2 2
B． 2
C．1
D． 0
5．已知
f
(x)
cos x
f
(
x
1)
1
(x (x
0) 0)
，则
f
(4) 3
f
(
4) 的值为（ 3
）
A． 1
B． 1
C． 0
D．1
2
6．已知函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
A．
f
(x)
sin | x | 2 cos x
上单调递增，则（ ）
A． f (0) f (2020) f (2019)
B． f (0) f (2019) f (2020)
C． f (2020) f (2019) f (0)
D． f (2020) f (0) f (2019)
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
343
1000
1000
1000
1000
E X 1 189 +2 441 3 343 21 ．答：数学期望为 21 ．。。。。12
1000 1000 1000 10
10
分
20. 解 ：（ Ⅰ ） 函 数
f
x
2sin2
x
4
3cos2x 1 ﹣ cos （ 2x ） 2
3cos2x
19．（本题 12 分）“新高考方案： 3 1 2 ”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外
语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历 史 2 门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门。
3
某校根据统计选物理的学生占整个学生的 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为
B． (1, 2)
D．既非充分也非必要条件 ）
C． (2, 3)
D． (3, 4)
3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到 3 所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生
院至少派 1 位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ）
A.18 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种
4．若 x R ，使得 a x(2 x) 成立，则实数 a 的最大值为（ ）
产品为一等品”，则事件 B，C 互斥，
且 由 频 率 分 布 直 方 图 估 计 P(B) 0.2 0.3 0.15 0.65 ，
P(C) 0.1 0.09 0.19 ，
又 P( A) P(B C) P(B) P(C) 0.84 ，
所以事件 A 的概率估计为 0.84 ．。。。。。。。6 分