WCDMA中Gold序列的研究

引言
扩频通信系统中，扩频序列的相关特性是扩频系统性能的 重要特性，很大程度上决定了整个扩频系统的性能优劣，序 列的数量也在一定程度上限制了系统的容量。CDMA 系统中 用作扩频之用的伪随机序列则一直是研究的关键技术之一。 在实际系统中，互相关特性较好的正交码作为系统的扩频序 列，利用伪随机序列良好的自相关特性完成基站和用户的识 别。最常用的伪随机序列是m 序列和Gold序列，Gold码序列 具有较好的自相关和互相关特性，且序列数目比 m 序列增加 了许多，它以其优良的性能在码分多址技术中得到了广泛的 应用。WCDMA 扩频通信系统采用 Gold 序列作为扩频操作 中的扰码，用以区分用户或基站。
• 一般来说，移位寄存器可以有不同的初始状态和不同的反馈逻辑函数，产 生不同的序列，即移位寄存器序列是由它的初始状态和反馈逻辑函数确定 的。对 n 级寄存器总共有 个状态，但当初始状态为 0 状态时， 寄存器输出的都是 0 序列，所以应避免这种状态的出现。随着寄存器末 级的不断输出，可知输出为一周期序列，所以除去0 状态输出序列外，能 产生的序列的最大可能周期为 。对级数为n 的线性移位寄存器， 当周期为 时，这样的序列就称为最大长度序列或 m 序列。
• 由图2 可见，m 序列具有良好的自相关特性，归一化满足双值特性，如式所 示：
式中P 为序列周期，这里 P=63。出现负的相关幅度，表明这个级数中 的直流分量，这是由于一个周期内“0”、“1”个数不相等所引起的。从它的 归一化函数可以看出，对于两个不同相位的m 序列，当周期P 很大而且τ对 P 取模不为 0 时，-1/P 是很小的，这两个序列几乎是正交的，从实际的角 度来看是无关紧要的。
优选对的概念。
• m 序列优选对是指在m 序列集中，互相关函数最大值的绝对值|Rmax|最接 近或达到互相关值下限(最小值) 的一对m 序列。对于两个由N 级本原多项 式所产生的 m 序列A、B，若其互相关函数|Ra，b (k)| 满足：
• 则A，B 构成一对m 序列优选对。由m 序列组成的优选的序列集很小，不利 于扩频多址通信系统的应用。
• 在m 序列中，常常用“+1”表示“0”码元，“-1 ”表示“1”码元，对长度（周 期）为P 的码序列x 的自相关函数 • 其中， 是周期长度为 P 的某一码序列，而 是 移位τ后的码序列 。 对上式进行归一化，则自相关系数 （系数值最大不超过 1） 而两个序列x、y 的互相关特性函数 如式 本文选取了六级本原多项式 103、147 和155 产生 m 序列并通过 MATLAB 求得了103的m 序列自相关特性和103 与147、103 与155 的m 序列互相关 特性，如2图 所示：
• 假设初始状态（a0a1a2a3a4）=10000，时钟脉冲到来时，各级移位寄存器 状态自左至右移到下一位，a0 的“1”输出，并送给模二相加器，与 a1a2a3 送来的存数模二相加为“1”，反馈送入a4 ，寄存器状态由 10000 变为 00001。当下一个时钟脉冲到来时，重复以上过程。最终输出 序列 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 „
•
由图4 可见，Gold 序列的平衡性不一致，经过大量的对 Gold 序列族平衡性 的验证即可发现，当n 是奇数时，一族中有约 50% 的序列平衡，其余则存在 不同程度的偏差，当 n 是非4 的倍数的偶数时，平衡序列约占 75% 。
结论 • 由扩频通信原理可知，扩频地址码的数目直 接影响着系统的容量。m 序列具有良好的随机性 和平衡性，但在数量上有着很大的劣势。Gold序 列具有优良的相关特性,而且两两互相关值小的序 列数量较多，因此被广泛采用。平衡 Gold 序列 的获取，我们可以通过确定基准序列、移位序列 和寄存器初始状态来直接产生。这种充分条件的 确定，需要我们进一步的深入研究。
1 . 移位寄存器序列
• 移位寄存器序列是指由移位寄存器输出的“0”和“1”构成的序列。移 位寄存器由时钟控制的n 个串接的存储器、移位脉冲发生器、反馈函 数和模2 加法器组成。对线性移位寄存器的数学描述是移位寄存器的 特征多项式： 其中 ，系数 为零的不参加反馈运算。移位寄存器的状态为各级寄存器存数(“0”或 “1”)从右至左的顺序排列而成的序列。移位寄存器由外部时钟控制， 来一个时钟脉冲移位一次，同时相加反馈一次。以特征多项式 为例 ，其反馈移位寄存器连接如图 所示：
• 由上文提到的m 序列的产生程序和Gold序列的产生原理可构造MATLAB程序 gold_seq(prim_poly1, prim_poly2)来产生Gold 序列族。例如，选取 n=5 的m 序列优选对45和57，产生一族 Gold 序列，前两行序列为： 0000001000101110111110110111100 0000111010110001100010100010001 可证第一行为两 m 序列移位比特为0 时模二和所得序列。 • Gold序列由m 序列产生，但它已经不再是 m 序列，具有与m 序列优选对类似 的相关特性。本文选取了 m 序列优选对103 与147、103 与133 来产生Gold 序列，对其自相关特性和同族及不同族间 Gold 序列的互相关特性进行了研究， 仿真结果如图 3 所示：
参考文献
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• m 序列在扩展频谱及码分多址技术中有着广泛的应用，并且还是研究和构 造其他扩频序列的基础。因此无论从 m 序列直接应用还是从掌握伪随机 序列基本理论而言，必须熟悉 m序列的产生及其主要特性。
2存器能产生 m 序列的充要条件是其特征多项式为 本原多项式。本原特征多项式与 m 序列一一对应，寄存器不同的初始 状态只改变序列初相值。 • 本原多项式系数一般由八进制数表示，八进制数对应的二进制序列便 是对应的多项式系数，其中x 的次数从左到右按从高到低的顺序排列。 运行自行编制的 m 序列产生函数m _ seq (prim _poly)直接读取八进制 表示数即可产生对应 m 序列，其中prim _poly为给出的八进制表示数。 例如，155 对应的二进制序列、本原多项式和产生的 m 序列分别为 1101101、 、1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0011110111010110100110 11000100100001 1 1 0 0 0 0 0 1 0 。序列周期为 ，除全零状态外，每个状态 在序列一个周期中正好出现一次。 • m 序列具有平衡性、游程分布特性、移位相加特性和良好的自相关特 性，本文主要对其相关性进行了研究。
3 . Gold序列的产生及其主要特性的仿真分析
• Gold 序列是于1967年由R. Gold 提出的一种基于m 序列优选对的码 序列。Gold 序列虽然自相关特性不理性，但具有良好的互相关特性 和较大的序列数目，使它被 WCDMA 标准选为扩频码，用于区分用 户和小区。
• 并联结构产生的 Gold 码是由两个码长相等，码时钟速率 相同的m 序列优选对经过模二和构成的。每改变两 m 序 列的相对位移就可得到一个新的 Gold 序列，当相对位移 为 比特时，就可得到一族 个Gold 序列， 再加上构成Gold序列族的两个m 序列，共有 个Gold 序列。
m 序列的互相关特性则不一致，图2 中103 与147 的m 序列互相关特 性满足三值特性，而103 与155 的m 序列互相关值出现了较大的峰值，不满 足三值特性。对大多数序列来说，互相关函数的峰值幅度是自相关函数峰值 一个大的百分比。因此，m 序列对CDMA 通信系统来说不合适。 由于m 序列中有的互相关特性较好，有的较差。为此，提出了 m 序列
• 由图3 可见，Gold 序列的自相关特性在位移比特τ=0时与m 序列相同， 具有尖锐的自相关峰值，而τ为其它值时，与 m 序列有所差别，相关值 不再是-1/P ，而是满足三值特性。同族Gold 序列归一化互相关特性是 以一定概率出现的三值特性，为：
• -1/P 出现的概率在 n 为奇数时为50% ，在n 为偶数但非 4 的倍数时为 75% 。同族Gold序列的互相关函数取值已有理论结果，而不同族之间 的 Gold 序列的互相关函数取值已不是三值而是多值，且互相关值大大 超过优选对的互相关值，尚无理论结果。
4 序列平衡性的验证
• 平衡性是伪随机序列一个很重要的性能，码不平衡会降低系统的载波 抑制度，增大系统的载波泄漏，破坏扩频通信系统的保密、抗干扰和 抗侦破能力。我们定义伪随机序列的平衡性为序列中“1”的数目比 “0”的数目多一个。 实际上，所有 m 序列都是平衡的。关于这一点，我们可以这样理解： m 序列的产生过 程实际上就是寄存器末级内容的不断输出。移位寄存器的各个状态等 价于给除全 0 外的长度为n 的所有可能的 二进制向量计数。如 果全 0 向量包含在内，所有的 个二进制向量中，正好有一半是偶 数（最后一位是 0），另一半是奇数（最后一位是 1），也就是产生 序列中“0”、“1”个数相同，排除全 0 状态后，实际最终产生的 m 序 列中，“0”的个数比 “1”少一个。 • Gold 序列平衡性的验证，可以把伪随机序列中“0”、“1”映射为“1 ”、“1”，码片逐位累加结果为“1”则平衡。本文选取 m 序列优选对 103 与147、103 与133 产生两族\Gold 序列中第一个序列进行平衡性 验证，如图 4 所示：