第八篇量子理论

hν + me 0 c 2 = hν ′ + me c 2 p = p ′ + pe
对电子利用相对论中的能量动量关系式：
2 2 E e2 = me2 c 4 = pe c 2 + me 0 c 4
E k = hν − A
当入射光的频率
可以将上述能量与动量守恒方程化为：
A ν <ν0 = h
时，电子无法克服金属表面的引力而逸出，因此没有光电子 发射。 1907 年，爱因斯坦进一步将能量不连续的概念应用到 固体中原子的振动， 解释了温度趋于绝对零度时固体比热趋 于零的现象。至此，能量不连续的概念才引起物理学家的普
CV = 5 R 2 ≈ 5 cal ⋅ mol-1 ⋅ K -1
但是，实验发现，当温度低于60K时，这些气体的定容摩尔 热容量都下降到
CV ≈ 3 cal ⋅ mol-1 ⋅ K -1
经典统计力学同样无法解释这个现象。
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18.2 量子假说 历史上，量子理论首先在黑体辐射问题上得到突破。普 朗克找到的黑体辐射公式与实验符合得非常好， 这促使他进 一步去探索其背后蕴含的更深刻的本质。他发现，如果作下 列假设，就可以从理论上导出他的经验公式：对于一定频率 v 的电磁辐射，物体只能以 hv 为单位吸收或发射它，h 称为 普朗克常数。 这就意味着吸收或发射电磁辐射只能以 “量子” 的方式进行，每个“量子”的能量为 ε = hν 。量子假说是 向不能纳入经典物理学框架的未知世界迈出的第一步。 从经典物理学的角度看， 能量不连续的概念完全不符合 常识。因此，尽管从这个假说能够导出与实验极为符合的公 式， 但是， 在相当长的时间里， 这项工作并未引起普遍重视。 爱因斯坦首先注意到量子假设有可能解决经典物理学 所碰到的其它困难。他在 1905 年用普朗克的量子假说去解 决光电效应问题，进一步提出了光量子的概念，认为电磁场 由光量子组成， 每个光量子的能量和动量与电磁场的频率的 关系是：
(
−9
)
ρ=
2πckT
λ4
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原子的线状光谱 光谱分析的方法是在17世纪由牛顿初创的。 到19世纪中 叶，这种方法被广泛地应用于工业生产和科学研究中，因而 得到迅速的发展。 由于每一种原子都有由一定频率成份构成 的线状特征光谱，因此，线状光谱是分析物质的化学成分和 研究原子结构的重要手段。19世纪末，光谱分析方法积累了 相当丰富的资料，人们开始对它们进行整理和分析。1885 年，巴耳末发现，氢原子可见光谱线的频率具有下列规律：
3 N A kT = 3RT
因此，固体的定容摩尔热容量
CV = 3R ≈ 6 cal ⋅ mol -1 ⋅ K -1
实验发现，在极低温下，固体的定容摩尔热容量趋于零。经 典统计力学无法解释这个现象。 多原子分子气体的定容摩尔热容量也存在类似的问题。 比如N2、O2、H2和CO等双原子分子有5个自由度，按照能量 均分定理，这些气体的定容摩尔热容量
+
是电子的康普顿波长。由此可见，散射光的波长随角度增大 而增加。理论计算与实验结果完全符合。 康普顿散射实验对光量子概念是一个直接的强有力的 支持，它证实了普朗克—爱因斯坦关系在定量上是正确的， 并首次证明了在微观的单个碰撞事件中， 动量和能量守恒定 律仍然成立。 在微观的单个碰撞事件中， 动量和能量是否守恒？这个 问题在历史上曾经有过激烈的争论。玻尔、克喇末(H A Kramers)和斯莱特(J C Slater)等曾认为，在微观过程中，动 量和能量只是统计地守恒，单个事件中并不一定守恒。l924 年，博特(W Bothe)和盖革(H Geiger)通过实验否定了这种看 法。1925 年，康普顿和西蒙(A W Simon)用云室仔细记录光 子及反冲电子的径迹，分析结果也否定了玻尔等人的观点。 “在微观的单个碰撞事件中， 动量守恒定律和能量守恒 定律仍然成立” 的结论， 在后来发现的 “电子正电子对湮没” 现象中也得到证实。正电子由安德森(C D Aderson)于 1932 年在宇宙射线中观测到， 安德森因此而获得了诺贝尔物理学 奖。 例题：电子对的湮没(annihilation) 1928 年，狄拉克在电子的相对论性理论中预言，除质 子和电子外， 还有一种带正电的粒子， 称为正电子(positron)， 它是电子的反粒子，其质量与电子相同。1932 年，安德森 在宇宙线中观测到这种粒子。当一个正电子穿过物质时，会 与物质内部的原子发生碰撞而减速， 然后有可能被某个原子 俘获，最后与一个电子一起湮没。在适当条件下，一个正电 子也有可能与一个电子形成类似于氢原子的电子偶素 (positronium)，然后才湮没。电子偶素的寿命极短，而氢原 子的寿命却很长。 这种湮没也发生在其他的粒子和反粒子之 间。 比如， 质子和反质子湮没将放出电子、 正电子和中微子， 同时还放出电磁辐射。 在电子对湮没时，考虑到动量守恒，至少要产生两个光 子：
−12
−8
ν = Rc⎜ − ⎟ , n = 3 , 4 , 5
式中
⎛1 ⎝2
1⎞ n⎠
R = 109677.581cm −1
称为里德伯常数。巴耳末公式与观测结果惊人地符合，引起 了人们的注意。后来不少人对光谱线的规律进行了大量研 究，发现了一系列线系，每一线系的各条谱线都有与巴耳末 公式类似的规律。在这个基础上，里兹(W Ritz)于l908年提 出了组合原则，对此作了更普遍的概括。按照这个原则，每 一种原子都有其特有的一系列光谱项 T(n)，原子发出的光 谱线的频率总可以表示成两个光谱项之差：
依我看来，当今 的物理学理论中，有 可能在未来的终极 理论中保留下来的 部分是量子力学。 温伯格 Nobel 物理学奖得主
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第18章
波粒二象性
在19世纪末到20世纪初这个世纪之交的年代里， 经典物 理学理论一方面被认为已经发展到了相当完善的程度，但 是， 另一方面又有一系列重大的实验发现无法用经典物理学 的理论来解释。 这种情况迫使物理学家跳出经典物理学的传 统框框，去寻找新的解决办法。其中对热辐射和原子辐射给 经典物理学带来的困境进行的探索导致了量子理论的诞生。 18.1 辐射之谜 黑体辐射 在19世纪， 冶金高温测量技术和天文学研究等方面的需 要，促使人们对热幅射进行深入的研究。热辐射依靠热运动 来维持辐射的能量来源。到19世纪末，人们已经认识到，热 辐射与光辐射都是电磁波， 并且开始研究热辐射 <= 紫 外 灾 的能量在不同频率中的分布问题， 特别对黑体辐 ρ 射进行了较深入的理论上和实验上的探讨。 所谓 的黑体指的是这样一种物体， 它的表面对入射的 电磁波具有完全吸收的作用。 当这样的物体由于 Wien 热运动而发射电磁波时， 所发射的电磁波就叫做 λ 黑体辐射。当绝对黑体与热辐射达到平衡时，辐 射的能量密度随频率的变化曲线如图9.1中的圆 图 18.1 黑体辐射 点所示。维恩(W. Wien)于1894通过分析实验数 据得出描述该曲线的经验公式
遍重视。 从光的量子假说可以看到， 人们对于光的本性的认识是 螺旋式上升的。早期，牛顿认为光是由微粒组成的。惠更斯 倡议的光的波动说， 只是在 19 世纪 20 年代经过杨和菲涅耳 等人的干涉与衍射实验证实后，才被人们普遍承认。到 19 世纪下半叶，由于麦克斯韦、赫兹等人的工作，光的波动学 说获得全面胜利。但是，光电效应与黑体辐射所揭示的困难 又促使人们重新认识光的粒子性。不过，普朗克—爱因斯坦 的光量子论决不是牛顿微粒说的简单复归， 而是认识上的一 个大飞跃。 光是粒子性与波动性的统一体。 在不同的条件下， 光会表现出象“波”或者象“粒子”。 光量子的概念以及普朗克－爱因斯坦关系式在 1923 年 的康普顿散射实验中得到了直接的证实。早在 1904 年，人 们就发现，X 射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的 现象。康普顿(A H Compton)提出，这是 X 射线的光子与电 子碰撞而产生的现象。 如果在微观粒子的碰撞过程中能量与 动量是守恒的，由于反冲，电子将带走一部分能量与动量， 散射 X 射线光子的能量与动量就减小，相应的频率变小， 波长变长。 在碰撞之前，电子的速度很小，可以看作是静止的。电 子在原子中的束缚能相对于 X 射线光子的能量也很小，可 以视为自由电子。假设碰撞过程中能量与动量守恒：
地分布在大小约 10 cm 的原子中，电子有规律地分布在正 电荷之中。1911年，卢瑟福在研究 α 粒子与原子碰撞后散 射 α 粒子的角分布时发现，实验中许多 α 粒子的散射角 很大。这个结果无法用汤姆孙模型解释。为了解释 α 粒子 的大角度散射，卢瑟福提出：原子中的正电荷部分集中在小 原子的质量主要集中在正 于 10 cm 的一个很小的区域中， 电荷部分， 形成“原子核”。 原子中的负电荷部分由电子组成， 电子围绕着原子核运动，这种情况与太阳系有点相似。卢瑟 福提出的这个模型就是著名的原子的“有核模型”， 也称为原 子的“行星模型”。 在原子的有核模型中，电子在核外作加速运动。按照经 典电磁理论，加速运动的电荷将不断地辐射能量而减速。因 此，核外电子最终会丧失所有的能量而掉到原子核中，原子 随之崩溃。但在现实世界中，原子却稳定地存在着。经典电 磁理论无法对此作出解释。 固体的热容量 固体中每个原子在其平衡位置附近作微振动， 可以看成 是有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与 势能均为3kT/2。于是，一摩尔固体物质的平均内能就是
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在望远镜看不到的地方，显微镜开始起作用了。这两者 哪一个有更大的视界呢？ 维克多·雨果
第八篇
量子理论
正像一个粒子有可能处于这样一个量子态， 在这个态中 既不是明确地在这里也不是明确地在那里……一个粒子也 有可能处于一个态， 在这个态中既不能明确地说它是电子也 不能明确地说它是中微子， 只有当我们测量到某些区别二者 的特性（比如电荷）之后才能把它们分辨出来。 温伯格，S Weinberg，物理学家 ……从根本上说， 量子理论的统计表现是由于这一理论 所描述的物理体系还不完备。 爱因斯坦 它们全都同样古怪。 费曼对亚原子粒子的描述