高中数学第三章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数问题导学案北师大版必修1

3.1 正整数指数函数
问题导学
一、正整数指数函数的概念
活动与探究1
若函数y ＝(a －2)x
为正整数指数函数，求实数a 的取值范围．
迁移与应用
1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．
A ．y ＝x 5(x ∈N ＋)
B ．y ＝3x ＋2
(x ∈N ＋)
C ．y ＝4－x (x ∈N ＋)
D ．y ＝4×3－x
(x ∈N ＋)
2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x
为正整数指数函数，求a 的值．
判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤是：
首先看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x ；其次看定义域：x 的取值为全体正整数．
以上全部满足，函数是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．
二、正整数指数函数的图像与性质
活动与探究2
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%，假设这种放射性物质最初质量为1.
(1)写出这种物质的剩留量y 随年数x (x ∈N ＋)变化的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性．
迁移与应用
1．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫43x
，x ∈N ＋是( )．
A ．增函数
B ．减函数
C ．奇函数
D ．偶函数
2．画出正整数指数函数y ＝3x
(x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．
1．正整数指数函数的图像是一系列孤立的点，且全部在第一象限内；
2．正整数指数函数不具有奇偶性，但具有单调性，当底数a ＞1时，函数是增函数；当底数0＜a ＜1时，函数是减函数．
三、正整数指数函数的应用
活动与探究3
高一某学生家长去年年底到银行存入2 000元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他n 年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为y ，请写出n 与y 之间的关系式，12年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)
迁移与应用
某公司研发了一种新产品，第一年获利100万元，以后每年比前一年多获利20%，则第三年获利__________万元．
1．正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．
2．求解实际应用问题的关键是仔细审题，把文字语言转化成数学语言进而建模，求解相应的数学模型，最后回归到实际问题．
当堂检测
1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．
A ．y ＝2x ＋1，x ∈N ＋
B ．y ＝x 3
，x ∈N ＋
C ．y ＝3－x ，x ∈N ＋
D ．y ＝3×2x
，x ∈N ＋
2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，x ∈N ＋的图像是( )．
A ．一条上升的曲线
B ．一条下降的曲线
C ．一系列上升的点
D ．一系列下降的点
3．若正整数指数函数y ＝(a －1)x
(x ∈N ＋)在N ＋上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．
4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
，x ∈N ＋，且x ∈[－3,2]的值域是________．
5．某市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则经过x (x ∈N ＋)年后，该市人口总数y (万人)的表达式为__________．
答案：
课前预习导学 【预习导引】
1．y ＝a x
N ＋
预习交流1 提示：正整数指数函数的形式具有以下两个特点：
(1)形如y ＝a x
形式．
(2)对各量的要求是a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋.
预习交流 2 提示：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来，也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．
2．y ＝ka x
(k ∈R ，k ≠0，k ≠1，a ＞0，且a ≠1) 课堂合作探究 【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用正整数指数函数的定义来求a 的取值范围．
解：若函数y ＝(a －2)x
为正整数指数函数， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2>0，a －2≠1，解得a ＞2，且a ≠3. 所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2，且a ≠3}．
迁移与应用 1．C 解析：y ＝4－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x (x ∈N ＋)是正整数指数函数．
2．解：若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a
x
为正整数指数函数，需满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
－3a ＋3＝1，
a >0，且a ≠1，解
得a ＝2.
活动与探究2 思路分析：通过归纳分析，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得答案．
解：(1)由于这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .
经过1年，剩留量y ＝1×84%＝0.841
；
经过2年，剩留量y ＝1×84%×84%＝0.842
； ……
一般地，经过x 年，剩留量y 随年数x 变化的函数关系式为y ＝0.84x
(x ∈N ＋)． (2)
用描点法画出正整数指数函数y ＝0.84的图像(如下图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图可知，随着年数的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数． 迁移与应用 1．A
2．解：3
9
27
…
单调性：函数y ＝3x
(x ∈N ＋)是增函数．
值域：{3,32,33
，…}．
活动与探究3解：一年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)，两年后他应取出的
钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)2；三年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)3
，…，n 年后
他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)n
；所以n 与y 之间的关系式为y ＝2 000(1＋
0.38%)n (n ∈N ＋),12年后他把钱全部取出，取出的钱数应为y ＝2 000(1＋2.38%)12
.
迁移与应用 144 解析：依题意，第三年获利为100×(1＋20%)2
＝144万元． 【当堂检测】
1．C 解析：能化简的首先化简，正整数指数函数最终应为y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)的形
式，其中指数仅为自变量，且x ∈N ＋，a x 的系数为1.而A 中y ＝2x ＋1＝2×2x ；B 中y ＝x 3
是幂
函数的形式；D 中y ＝3×2x ，均不符合；C 中y ＝3－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 符合题目要求．
2．D 解析：底数0＜1
2＜1，函数为减函数，图像下降．因为x ∈N ＋，所以其图像为一
系列下降的点．
3．1＜a ＜2 解析：依题意，应有0＜a －1＜1，解得1＜a ＜2. 4．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
13，19解析：∵x ∈[－3,2]，且x ∈N ＋， ∴x ＝1,2.
又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
，∴y ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫13，19.
5．y ＝100×(1＋1.2%)x
解析：经过1年，人口总数为100×(1＋1.2%)，经过2年，人
口总数为100×(1＋1.2%)2，…，因此经过x 年后，人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x
.。