2017年东北三省四市教研联合体高考模拟数学文科试卷及解析
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(6)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(六)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合U={1,2,3,4,5},M={2,3,4},N={4,5},则(∁U M)∪N=()A.{1}B.{1,5}C.{4,5}D.{1,4,5}2.设(1+i)x=1+y i,其中x,y为实数,则|x+y i|=()A.1B.C.D.23.已知命题p:“∂x∈R,e x-x-1≤0”,则命题p为()A.∀x∈R,e x-x-1>0B.∀x∉R,e x-x-1>0C.∀x∈R,e x-x-1≥0D.∂x∈R,e x-x-1>04.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.5.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1,a3,a4成等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,则的值为()A.-2B.-3C.2D.36.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是()A.36B.24C.12D.67.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f 的值等于()A.-B.-C.-D.-8.若如下程序框图运行结果为S=41,则图中的判断框①中应填入的是()A.i>6?B.i≤6?C.i>5?D.i≤5?9.函数y=x sin x+cos x的图象大致为()10.直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,则m的值为()A.1B.-2C.1或-2D.-11.函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-f(x)=x·e x,且f(0)=,则的最大值为()A.1B.-C.-1D.0第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.14.已知F1,F2为双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为.15.已知x,y满足若z=x+my的最大值为,则实数m=.16.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称函数f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称函数f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在内不是凸函数的是.(填序号)①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=x e x.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=.(1)求角C的大小;(2)若c=,求a2+b2的取值范围.18.(本小题满分12分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.19.(本小题满分12分)如图,直角三角形ABC中,A=60°,沿斜边AC上的高BD,将△ABD折起到△PBD的位置,点E在线段CD上.(1)求证:PE⊥BD;(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M,点N为PB的中点,若PE∥平面DMN,求的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆的标准方程为=1(a>0).(1)当a=1时,求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率;(2)过椭圆的右焦点F2的直线与圆C:x2+y2=4a2(常数a>0)交于A,B两点,求|F2A|·|F2B|的值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设a=2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C2:(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)若射线l:θ=α(ρ>0)分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.(1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;(2)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(六)1.D解析(∁U M)∪N={1,5}∪{4,5}={1,4,5},故选D.2.B解析由(1+i)x=1+y i,可知x+x i=1+y i,故解得所以,|x+y i|=.故选B.3.A解析∵命题p:“∂x∈R,e x-x-1≤0”,∴命题p为“∀x∈R,e x-x-1>0”.4.D解析从题中4张卡片中随机抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,其中2张卡片上的数字之和为奇数的是(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)4种结果.所以所求的概率为.5.C解析设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),因为a1,a3,a4成等比数列,所以a1a4=,即a1=-4d,所以=2.6.C解析由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示.由题意可知底面ABCD是边长为3的正方形,AP⊥平面ABCD,且AP=4,所以四棱锥的体积V=×3×3×4=12.故选C.7.C解析由题意,f(3)=f(-2)=-f(2)=-f(-1)=f(1)=f(0)=0,f=-f=-f=f=-,所以f(3)+f=0-=-.8.C解析由题意,得i=10,S=1,满足条件,执行循环体,第1次循环,S=11,i=9,满足条件,执行循环体,第2次循环,S=20,i=8,满足条件,执行循环体,第3次循环,S=28,i=7,满足条件,执行循环体,第4次循环,S=35,i=6,满足条件,执行循环体,第5次循环,S=41,i=5,此时i不满足循环条件,退出循环,所以判断框中的条件为i>5.故选C.9.D解析由题意得,函数y=x sin x+cos x是偶函数,当x=0时,y=1,且y'=sin x+x cos x-sin x=x cos x,显然在上,y'>0,所以函数y=x sin x+cos x在上单调递增,故选D.10.A解析∵直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,∴1×2-(1+m)m=0,解得m=1或-2,当m=-2时,两直线重合.故选A.11.C解析由f(0)f(1)=(1+1-5)>0,可排除A.由f(1)f(2)=(1+1-5)(2+2-5)>0,可排除B.由f(2)f(3)=(2+2-5)(4+3-5)<0,可知函数f(x)在(2,3)内一定有零点,故选C.12.A解析令F(x)=,则F'(x)==x,则可设F(x)=x2+c,c为常数,∴f(x)=e x.∵f(0)=,∴c=.∴f(x)=e x.∴.当x≤0时,≤0;当x>0时,≤1,当且仅当x=1时等号成立.所以的最大值为1,故选A.13.-2解析由题意,得a+b=(m+1,3).由|a+b|2=|a|2+|b|2,可得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.14.解析因为MF1垂直于x轴,所以|MF1|=,|MF2|=2a+.因为sin∠MF2F1=,所以,化简得b=a,故双曲线的离心率e=.15.2解析如图,画出不等式组所表示的区域,即可行域,如图阴影部分所示.由题意可知,目标函数取最大值时,=x+my,x=-my,所以直线恒过定点,所以目标函数在点A处取到最大值,将A代入x=-my,从而可知m=2.16.④解析对于①,f″(x)=- (sin x+cos x),x∈时,f″(x)<0恒成立;对于②,f″(x)=-,在x∈时,f″(x)<0恒成立;对于③,f″(x)=-6x,在x∈时,f″(x)<0恒成立;对于④,f″(x)=(2+x)·e x,在x∈时,f″(x)>0恒成立,所以f(x)=x e x在内不是凸函数.17.解(1)因为tan C=,即,所以sin C cos A+sin C cos B=cos C sin A+cos C sin B,即sin C cos A-cos C sin A=cos C sin B-sin C cos B,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去),即2C=A+B,又A+B+C=π,故C=.(2)由C=,可设A=+α,B=-α,0<A,B<,知-<α<.又2R==2,a=2R sin A=2sin A,b=2R sin B=2sin B,故a2+b2=4(sin2A+sin2B)=4=4-2=4+2cos 2α.由-<α<,知-<2α<,则-<cos 2α≤1,故3<a2+b2≤6.所以a2+b2的取值范围是(3,6].18.解(1)根据直方图知组距为10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2,成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个, 其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,故所求概率为P=.19.(1)证明因为BD是AC边上的高,所以BD⊥CD,BD⊥PD,又PD∩CD=D,所以BD⊥平面PCD.因为PE⊂平面PCD,所以PE⊥BD.(2)解连接BE,交DM于点F,连接NF,PE∥平面DMN,且PE⊂平面PEB,平面PEB∩平面DMN=NF,所以PE∥NF.因为点N为PB的中点,所以点F为BE的中点.因为∠BDC=90°,所以DF=BE=EF.又因为∠BCD=90°-60°=30°,所以△DEF是等边三角形.设DE=a,则BD=a,DC=BD=3a,所以.20.解(1)当a=1时,椭圆的标准方程为=1,所以焦点坐标F1(-1,0),F2(1,0),离心率e=.(2)当斜率不存在时,|F2A|=|F2B|=a,此时|F2A|·|F2B|=3a2;当斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-a),由得(1+k2)x2-2ak2x+k2a2-4a2=0,x1+x2=,x1x2=.|F2A|=|x1-a|,|F2B|=|x2-a|,所以|F1A|·|F1B|=(1+k2)|x1x2-a(x1+x2)+a2|=(1+k2)=3a2.所以|F2A|·|F2B|为定值3a2.21.解(1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1,f'(x)=3(x-2+)(x-2-).当x∈(-∞,2-)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,2-)内单调递增;当x∈(2-,2+)时,f' (x)<0,f(x)在(2-,2+)内单调递减;当x∈(2+,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(2+,+∞)内单调递增.综上,f(x)的单调递增区间是(-∞,2-)和(2+,+∞),f(x)的单调递减区间是(2-,2+).(2)因为f'(x)=3x2-6ax+3,而f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,等价于方程3x2-6ax+3=0在其判别式Δ>0(即a>1或a<-1)的条件下在区间(2,3)内有解.所以由3x2-6ax+3=0,可得a=,令g(x)=,求导函数可得g'(x)=.所以g(x)在(2,3)内单调递增,所以,即<a<.此时满足Δ>0,所以a的取值范围是.22.解(1)C1:ρ(cos θ+sin θ)=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以ρ=2cos θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),-<α<,则ρ1=,ρ2=2cos α,×2cos α(cos α+sin α)=(cos 2α+sin 2α+1)=,当α=时,取得最大值+1).23.证明(1)∵|x1-2|<1,∴-1<x1-2<1,即1<x1<3,同理1<x2<3,∴2<x1+x2<6.∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,∴|x1-x2|<2.(2)|f(x1)-f(x2)|=|-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2-1<5,∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2017年高考数学一模试卷(解析版)(文科)
2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣34．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．45．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．46．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=08．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=09．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f（m）10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．18．（10分）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19．（10分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．20．（15分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），B={x|1＜x≤2}=（1，2]，则A∩B=（1，2），故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1+i）z=2i，可得（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化简整理即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化为：2z=2（i+1），∴z=1+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭虚数的定义，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质求解．【解答】解：∵=（1，2），=（m，m+1），∥，∴，解得m=1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．4．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的顶点（a，0）到渐进线bx+ay=0的距离等于虚轴长的，可得，即2a=c，可得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，∴几何体的体积V=×1×2×3=2．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图．【分析】求出质量在100.5﹣105.5之间的频率，设出前三组长方形的高度成等差数列的公差为d，利用频率和为1求出d的值，再求出115.5﹣120.5对应的长方形高．【解答】解：根据题意，质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，频率为=0.25；前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，则根据频率和为1，得（0.25﹣d）+0.25+（0.25+d）+（0.25+d）+（0.25+d）=1；解得d=；所以质量在115.5﹣120.5的频率是×（0.25+）=，对应小长方形的高为÷5=．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=0【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=a1+2a2，∴，解得：a1=﹣4d．∴=0，故A正确；=﹣10d，不一定最小，故B错误；S3=3a1+3d=﹣9d，，故C正确；a5=a1+4d=0，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=0【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件以及利用正弦函数的单调性，求得ω的最大值，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，∴ω•+φ≥2kπ﹣，ω+φ≤2kπ+，且•≥﹣，∴ω≥，ω≤，且ω≤4．令k=1，可得6﹣≤ω≤5﹣，且ω≤4，故ω的最大值为4，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．9．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f（m）【考点】程序框图．【分析】根据据二分法求方程近似解的步骤和程序框图，逐项分析不难确定答案．【解答】解：据二分法求方程近似解的步骤知：当f（m）f（b）＜0即f（m）f（a）＞0时，说明方程的根在区间（m，b）内，故处理框（1）应填写a=m．当f（m）f（a）＜0即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，故处理框（2）应填写b=m．故选：A．【点评】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±【考点】直线与抛物线的位置关系．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，，求得﹣y1=4y2，设出直线AB的方程，与抛物线方【分析】据S△AOF程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出tanα．【解答】解：根据题意设点A（x1，y1），B（x2，y2）．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，|，，得，由S△AOF故﹣y1=4y2，即．设直线AB的方程为y=k（x﹣）．联立，消元得ky2﹣2py﹣kp2=0．故y1+y2=，y1y2=﹣p2．则，，解得k=，即直线AB的斜率为．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π【考点】球的体积和表面积．【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=60π．故选A．【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减；又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，它等价于g（x）＜2，即g（x）＜g（0），∴x＞0，即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线为过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；几何概型．【分析】求导，由函数存在极值，则f′（x）=0，存在两个不相等的实根，则△＞0，求得a＞2b，求得阴影部分的面积，利用几何概型概率公式，即可求得答案．【解答】解：由数，求导，f′（x）=x2+2+2b，由函数存在极值．则方程x2+2+2b=0，有两个不相等的实根，△=4a﹣4×2b＞0，即a＞2b，∴由题意可知阴影部分的面积S1=×2×1=1，a，b所围成图形的面积S=2×2=4，∴存在极值的概率S==，故答案为：．【点评】本题考查几何概型概率公式，极值存在的应用，考查计算能力，属于中档题．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用，可得≤，4a2+b2≥，即可得出．【解答】解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得≤，4a2+b2≥，∴S=2﹣（4a2+b2）≤，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用等差数列和等比数列中项的性质，运用等差数列的定义证明数列{}是等差数列．再利用等差数列的通项公式求出的通项公式，进而求出b n，a n．【解答】解：∵a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，∴2b n=a n+a n+1①，a n+12=bn•b n+1②．由②得a n+1=③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2b n=+．∵b n＞0，∴2=+，∴{}是等差数列．设数列{}的公差为d，由a1=1，b1=2，a2=3，得b2=．∴=，=，d=﹣=．∴=+（n﹣1）=（n+1），∴b n=（n+1）2，a n==n（n+1）=．故答案为：．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，利用构造等差数列法求得数列{}的通项公式是解答本题的突破口，本题还考查了学生的运算能力，运算要细心．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2017•辽宁一模）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，可求，即可得解B的值．（Ⅱ）由正弦定理可求b的值，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC，∴，由正弦定理得，即b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，有，∴．（Ⅱ）∵，解得，∴（当且仅当a=c时取等），∴．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（10分）（2017•辽宁一模）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，结合图表求出n和x的值即可；（Ⅱ）根据条件概率求出至少有1人在30岁以上的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，由题意，得n=60，则：人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取．（Ⅱ）设所选的人中，有m人年龄在30岁以下，则，∴m=4．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人；分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2．则从中任取2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2）（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是（A1，B1），（A1，B2）（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）．所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为．【点评】本题考查了条件概率问题，考查分层抽样，是一道中档题．19．（10分）（2017•辽宁一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥DE．连接EC1，证明ED⊥C1D，然后证明DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）求出，说明BD为三棱锥B﹣C1DE的高，然后利用等体积法转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC为正三角形，点D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面ACC1A1，从而BD⊥DE．连接EC1，∵AA1=4AE，AB=AA1=2，∴，，，，则，∴ED⊥C1D，又C1D∩BD=D，∴DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）解：∵AA1=2AE，∴，∴，由（Ⅰ）知BD⊥面ACC1A1中，所以BD为三棱锥B﹣C1DE的高，所以．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（15分）（2017•辽宁一模）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积的最值列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理化简数量积，求出n；②当直线l的斜率为0时，验证求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，且a2=b2+c2．解得．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．，===．若为定值n，则，即，此时．②当直线l的斜率为0时，，亦符合题意；∴存在点，使得向量为定值．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）（2017•辽宁一模）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．通过①当a ≤0时，②当0＜a≤4时，③当a＞4时，分别判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解单调区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，当x∈（0，1]时，求出函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，转化为：对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，求出导函数，通过①当m≤1时，判断函数的单调性求出最值，②当m＞1时，（ⅰ）当1＜m＜e2时，（ⅱ）当m≥e2时，通过函数的地址求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．①当a≤0时，﹣ax≥0，∴，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a≤4时，△=a2﹣16≤0，所以h（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞4时，△=a2﹣16＞0，令h（x）=0，得，f′（x）＞0⇒x∈（0，x1）∪（x2，+∞）；f′（x）＜0⇒x∈（x1，x2）．所以，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．综上，1°当a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；2°当a＞1时，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，即对任意的a∈[﹣2，0），都成立，即对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，则h'（a）=2me a（a+2）﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1）．∵a∈[﹣2，0），∴，且a+2≥0．①当m≤1时，me a﹣1＜0，∴h'（a）≤0，即a∈[﹣2，0）时，h（a）单调递减．∴h（a）＞0，只需h（0）≥0，解得，∴．②当m＞1时，令h'（a）=0得a=﹣2或a=﹣lnm，因为a∈[﹣2，0），所以2（a+2）≥0．（ⅰ）当1＜m＜e2时，﹣lnm∈[﹣2，0），当a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0；当a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴，解得，∴m∈（1，e2）．（ⅱ）当m≥e2时，因为﹣2≤a＜0，所以，所以me a≥1，所以h'（a）≥0，则h（a）在[﹣2，0）上单调递增，得h（﹣2）=5﹣2me﹣2＞0，即，∴．综上，m的取值范围是．【点评】本题考查函数的导数以及函数的单调性，极值以及最值的关系，构造法的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•辽宁一模）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C1的极坐标方程；根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C2直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得C3：，即，再根据点到直线的距离公式和直角三角形即可求出．【解答】解：（Ⅰ）直线C1：，曲线C2的普通方程为．（Ⅱ）C3：，即．圆C2的圆心到直线C3的距离．所以．【点评】本题考查了极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•辽宁一模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合条件求a+b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得．即，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，属于中档题．。
2017年东北三省四市教研联合体高三文科一模数学试卷
2017年东北三省四市教研联合体高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 集合，，则A. B.C. D.2. 复数满足，则的共轭复数为A. B. C. D.3. 关于函数，给出下列三个结论：①函数的图象与的图象重合；②函数的图象关于点对称；③函数的图象关于直线对称．其中正确的个数是A. 个B. 个C. 个D. 个4. 已知命题：函数在上单调递减，命题：函数是偶函数，则下列命题中为真命题的是A. B.C. D.5. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且满足，，则A. B. C. D.6. 庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数后，输出的，则输入的的值为A. B. C. D.7. 已知，，则的最小值为A. B. C. D.8. 如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为A. B. C. D.9. 已知实数，满足，，则函数有三个零点的概率为A. B. C. D.10. 点，，，在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为A. B. C. D.11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点（点在轴上方），过点作斜率为负数的渐近线的垂线，过点作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离等于虚轴长，则双曲线的离心率等于A. B. C. D.12. 定义域为的函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 两个单位向量，满足，且，则 ______．14. 如果两组数，，和，，的平均数分别是和，那么一组数，，，的平均数是______．15. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为______．16. 观察下列立方和：，，，，则归纳上述求和的一般公式 ______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知（1）当为第二象限角时，化简；（2）当时，求的最大值．18. 某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在的名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：组数分组题满分人数题满分人数占本组人数比例第一组第二组第三组第四组第五组第六组（1）补全所给的频率分布直方图，并求，，的值；（2）现从，两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取份进行展出，并从份试卷中选出两份作为优秀试卷，求优秀试卷分别来自两个分数段的概率．19. 如图，已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为与的中点，且侧面底面．（1）证明： 平面．（2）求三棱柱的体积．20. 已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆右焦点到椭圆的中心的距离是（1）求椭圆的方程；（2）设直线与该椭圆交于不同的两点，，若坐标原点到直线的距离为，求的面积．21. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：．22. 已知曲线：（为参数），直线：，：（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）与交于不同两点，，的中点为，与的交点为，恒过点，求．23. 已知函数．（1）证明：；（2）当时，求不等式的解集．答案第一部分1. B2. C3. C4. A5. A6. C7. D8. C9. A 10. D11. D 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）当为第二象限角时，，，（2）当时，由（Ⅰ）可得．那么：，则．所以的最大值为．18. （1）图形如图所示：，第一组的人数为，所以，解的，第三组的频率为，则第三组的人数为，所以．第六组的频率为，所以第六组的人数为，所以．（2）由，两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取份进行展出，因为第二组和第三组的试卷份数为比为，所以第二组抽取的试卷份数为份，第三组抽取的试卷份数为份，并记第二组抽取的份试卷为，，第三组抽取的份试卷为，，，，则从份试卷中选出两份作为优秀试卷，共有种基本事件，分别为，，，，，，，，，，，，，，，其中优秀试卷分别来自两个分数段有种，分别为，，，，，，，，故优秀试卷分别来自两个分数段的概率为．19. （1）取中点，连接，，中，，分别为与的中点，所以，，因为，，平面，平面，所以平面 平面，因为平面，所以 平面．（2）连接，过作平面，的所有棱长均为，，，分别为与的中点，且侧面底面．所以是边长为的等边三角形，所以是中点，所以，因为，所以三棱柱的体积．20. （1）椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆右焦点到椭圆的中心的距离是所以，，则，所以所求椭圆方程为．（2）设，．由已知可得：，得．不妨取．又由消去得：，所以，，，，所以．的面积：．当时，所求三角形的面积也是．21. （1），记，①当时，因为，所以，函数在上单调递增；②当时，因为，所以，函数在上单调递增；③当时，由解得，所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增．（2）时，问题转化为证明：，令，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故，故，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故，故：时，．22. （1）曲线：（为参数），普通方程为；：普通方程为；（2）的参数方程代入圆方程可得．，所以．代入的方程：可得，所以．23. （1）因为，所以当且仅当即时“”成立；（2）时，，时，，解得：，时，，无解，时，，解得：，故不等式的解集是或．。
2017年高三数学一模(文科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.2314. 3 15. 3 16. 9 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得2314=-=a a d ， ……………………1分 所以n n d n a a 22)1(2)1(1n =⨯-+=⋅-+=． ……………………………………2分 设等比数列}{nb 的公比为q ，由题意得8253==b b q ，解得2=q ． ……………………3分 因为221==qb b ，所以n n n n q b b 222111=⋅=⋅=--． ……………………………………6分 （Ⅱ）21)21(22)22(--⋅++⋅=n n n n S 2212-++=+n n n ． ……………………12分 （分别求和每步给2分）18. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）x2050004.0=⨯ ，∴100=x . ……………………………………1分 ∵1005104020=++++y ，∴25=y . ……………………………………2分008.05010040=⨯，005.05010025=⨯，002.05010010=⨯，001.0501005=⨯)/(3m g μ ……………………………………5分（Ⅱ）在空气质量指数为10051-和200151-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为10051-的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为200151-的1天记为e ， ………………………………………6分 从中任取2天的基本事件分别为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，),(e a ，(,)b c ，(,)b d ，),(e b ，(,)c d ，),(e c ，),(e d 共10种， ………………………………………8分其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共6种， ………………………………………10分 所以事件A “两天都为良”发生的概率是63()105P A ==. …………………………12分 19. (本小题满分12分)解: （Ⅰ）证明：因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1，…………………2分 又 平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面 C C AA 11平面ABC AC = ……………………4分 且⊂O A 1平面C C AA 11，⊥∴O A 1平面ABC . ……………………6分（Ⅱ）AC C A //11 ,⊄11C A 平面ABC ,⊂AC 平面ABC ，//11C A ∴平面ABC ，即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离. ……………8分由（1）知⊥O A 1平面ABC 且32211=-=AO AA O A ， ……………………9分1332213131111=⨯⨯⨯⨯=⋅==∴∆--O A S V V ABC ABC A ABC C . ……………………12分 20. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）1ln )(++='x a x f ， ……………………1分01)1(=+='a f ，解得1-=a ，当1-=a 时， x x x x f ln )(+-=，……………………2分即x x f ln )(='，令0)(>'x f ，解得1>x ； ……………………3分 令0)(<'x f ，解得10<<x ； ……………………4分)(x f ∴在1=x 处取得极小值，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(. …………………6分（Ⅱ）1)(--=m x f y 在),0(+∞内有两个不同的零点，可转化为1)(+=m x f 在),0(+∞内有两个不同的根，也可转化为)(x f y =与1+=m y 图像上有两个不同的交点， ………………7分 由（Ⅰ）知，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(min -==f x f ， … 8分 由题意得，11->+m 即2->m ①……………10分 当10<<x 时，0)ln 1()(<+-=x x x f ；当0>x 且0→x 时，0)(→x f ；当+∞→x 时，显然+∞→)(x f （或者举例：当2e x =，0)(22>=e ef ）；由图像可知，01<+m ，即1-<m ② ……………11分由①② 可得 12-<<-m ……………12分 21. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意得22=b ，解得1=b ， ……………………………………1分22==a c e ，222c b a +=，∴2=a ，1=c ，故椭圆的标准方程为1222=+y x . ………………………………………………3分（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取)22,1(A ，)22,1(-B ，)22,1(--C ， 故22221=⨯⨯=∆ABC S ： ………………………………………………4分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 化简得0224)12(2222=-+-+k x k x k ， …………………………5分设),(11y x A ，),(22y x B ，1242221+=+k k x x ，12222221+-=⋅k k x x ， ……………6分]4)[()1(||212212x x x x k AB ⋅-+⋅+=]12224)124[()1(222222+-⋅-+⋅+=k k k k k 1212222++=k k ， ………………………………………8分点O 到直线0=--k y kx 的距离1||2+-=k k d 1||2+=k k因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为d 21||22+=k k ， …………………9分2222222)12()1(221||2)12122(212||21++=+⋅++⋅⋅=⋅=∴∆k k k k k k k d AB S ABC22)12(414122+-=k 2< …………………11分 综上，ABC ∆面积的最大值为2. …………………12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， …………………1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， …………………3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. …………………5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ …………………8分因为圆C 的半径为1，则C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. …………………10分（用直角坐标求解酌情给分） 23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， …………………1分原不等式等价于x x x 2132<-<-， …………………3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . …………………5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， ………6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- …………………8分原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . …………………10分。
2017年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)
2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．1 D．2．（5分）A={x|y=lg（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2） D．（1，4]3．（5分）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，则z=x+y的取值范围为（）A．[0，3]B．[2，7]C．[3，7]D．[2，0]5．（5分）已知，p：sinx＜x，q：sinx＜x2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0 B．9 C．18 D．547．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）直线x+2y=m（m＞0）与⊙O：x2+y2=5交于A，B两点，若|+|＞2||，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，在随机取一个实数a，则f （a）＞0的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．8πB．16πC．πD．π11．（5分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若x•f'（x ）+f （x ）=e x （x ﹣1），且f （2）=0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（1，2） D ．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．14．（5分）已知函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f （x ）=xlnx ﹣x ，则曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线方程为 ．15．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P﹣CDF 的体积）．16．（5分）方程f （x ）=x 的解称为函数f （x ）的不动点，若f （x ）=有唯一不动点，且数列{a n }满足a 1=1，=f （），则a 2017= ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知直线是函数f （x ）=msin2x ﹣cos2x 的图象的一条对称轴．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=2，且，求的取值范围．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，．（Ⅰ）设ND中点为Q，，求证：MQ∥平面ABC；（Ⅱ）若M到平面BCD的距离为，求直线MC与平面BCD所成角的正弦值．20．（12分）椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣a+lnx．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x﹣1；（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，求实数a的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2017•全国三模）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．1 D．【解答】解：由z•（1+i）=2i，得，则|z|=．故选：A．2．（5分）（2017•全国三模）A={x|y=lg（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2） D．（1，4]【解答】解：A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，={y|0≤y≤2}，则A∩B=（1，2]，故选：B．3．（5分）（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．4．（5分）（2017•全国三模）已知实数x，y满足，则z=x+y的取值范围为（）A．[0，3]B．[2，7]C．[3，7]D．[2，0]【解答】解先根据约束条件画出不等式组表示的可行域，z=x+y的几何意义为直线在y轴上的截距．由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为2．当直线z=x+y过点B（4，3）时，z最大值为7．故选：B．5．（5分）（2017•全国三模）已知，p：sinx＜x，q：sinx＜x2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx＞0，∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（0）=0，因此命题p是真命题．而，令g（x）=x2﹣sinx，则g′（x）=2x﹣cosx，=﹣1×π＜0，∴g′（x）=0有解，因此函数g（x）存在极值点，设为x0，则2x0=cosx0．g（x0）=﹣sinx0=﹣sinx0==∈，因此命题q不一定成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）（2017•全国三模）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0 B．9 C．18 D．54【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，则b变为27﹣18=9，由b＜a，则a变为18﹣9=9，由a=b=9，则输出的a=9．故选：B．7．（5分）（2017•全国三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A8．（5分）（2017•全国三模）直线x+2y=m（m＞0）与⊙O：x2+y2=5交于A，B 两点，若|+|＞2||，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线x+2y+m=0与圆x2+y2=5交于相异两点A、B，∴O点到直线x+2y+m=0的距离d＜，又∵，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，可知，OC＞2．圆的圆心到直线的距离d＞2，可得：，m＞0，解得m∈（2，5）．故选：B．9．（5分）（2017•全国三模）已知函数，在随机取一个实数a，则f（a）＞0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在使f（a）＞0的a的范围为（），区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选C．10．（5分）（2017•全国三模）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．8πB．16πC．πD．π【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为PD，∴××PD=3，解得PD=3，设外接球的半径为R，则OD=3﹣R，OC=R，在△ODC中，CD=AC=，由勾股定理得：（3﹣R）2+3=R2，解得R=2．∴外接球的体积V==．故选：D．11．（5分）（2017•全国三模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设|PF1|=x，|PF2|=y，设∠PF1F2=θ，则有y﹣x=2a，tanθ=，又由，则有x2+y2=|F1F2|=4c2，e2=====1+=1+=1+，令t=tanθ+，由于θ=，则tanθ∈（2﹣，），则t∈（，4），则有2≤e2≤2+4，则有≤e≤+1，即双曲线离心率e的取值范围是[，+1]；故选：D．12．（5分）（2017•全国三模）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若x•f'（x）+f（x）=e x（x﹣1），且f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，令φ（x）=xf（x），则φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e x（x﹣1），可知当x∈（0，1）时，φ（x）是单调减函数，并且0•f'（0）+f（0）=e0（0﹣1）=﹣1＜0，即f（0）＜0x∈（1，+∞）时，函数是单调增函数，f（2）=0，则φ（2）=2f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，不等式的解集为：{x|0＜x＜2}．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）（2017•全国三模）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=27．【解答】解：由题意可得=，即x=27，故答案为：2714．（5分）（2017•全国三模）已知函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f （x ）=xlnx ﹣x ，则曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线方程为 x +y +e=0 ． 【解答】解：函数f （x ）为偶函数，可得f （﹣x ）=f （x ）， 即有x ＜0时，﹣x ＞0， 当x ＞0时，f （x ）=xlnx ﹣x ，可得f （﹣x ）=﹣xln （﹣x ）+x=f （x ）， 则x ＜0时，f （x ）=﹣xln （﹣x ）+x ，导数为f′（x ）=﹣ln （﹣x ）﹣1+1=﹣ln （﹣x ），可得曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线斜率为k=﹣lne=﹣1， 切点为（﹣e ，0），则曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线方程为y ﹣0=﹣（x +e ）， 即为x +y +e=0． 故答案为：x +y +e=0．15．（5分）（2017•全国三模）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有=（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．【解答】解：设PM 与平面PDF 所成的角为α，则A 到平面PDF 的距离h 1=PAsinα，C 到平面PDF 的距离h 2=PCsinα， ∴V P ﹣ABE =V A ﹣PBE ==，V P﹣CDF=V C﹣PDF==，∴=．故答案为：．16．（5分）（2017•全国三模）方程f（x）=x的解称为函数f（x）的不动点，若f（x）=有唯一不动点，且数列{a n}满足a1=1，=f（），则a2017=2017．【解答】解：由题意可知：=x，即x2﹣（a﹣1）x=0，由f（x）=有唯一不动点，则a﹣1=0，即a=1，f（x）=，=f（），整理得：=，=a n+1，∴a n+1﹣a n=1，数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则a n+1a2017=a1+（n﹣1）d=2017，故答案为：2017．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•全国三模）已知直线是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的一条对称轴，∴f（）=m+=或m+=﹣，解得m=；…..（3分）∴f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的增区间是：；…（6分）（2）由f（B）=2，得sin（2B﹣）=1，解得B=；又，由正弦定理得：，∴a﹣=2sinA﹣sin（A+）=sin（A﹣）；…（8分）又A∈（0，），∴A﹣∈（﹣，），∴sin（A﹣）∈（﹣，1），∴sin（A﹣）∈（﹣，），即a﹣∈（﹣，）．…..（12分）18．（12分）（2017•全国三模）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=•0.93=0.729，P（X=1）=•0.1•0.92=0.243，P（X=2）=•0.12•0.9=0.027，P（X=3）=•0.13=0.001；∴X的分布列为数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．19．（12分）（2017•全国三模）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，．（Ⅰ）设ND中点为Q，，求证：MQ∥平面ABC；（Ⅱ）若M到平面BCD的距离为，求直线MC与平面BCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：延长三棱台的三条侧棱，设交点为S，当时M为FA 的中点，设CD中点为R，连MR，MQ，RQ，在梯形ACDF中，中位线MR∥AC，又MR⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MR∥平面ABC；在△CDN中，中位线QR∥CN，又QR⊄平面ABC，CN⊂平面ABC，∴QR∥平面ABC，又MR∩QR=R且MR⊂平面MQR，QR⊂平面MQR，∴平面MQR∥平面ABC，又MQ⊂平面MQR∴MQ∥平面ABC；（Ⅱ）解：设AB中点为H，连SH，AH，在△SAH中，作MO∥AH且交SH于点O，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AH⊂平面ABC，AH⊥BC，∴AH⊥平面SBC，又MO∥AH，∴MO⊥平面SBC（D），∴MO为M到平面SBC的距离，MO=．且∠MCO为直线MC与平面BCD所成角．∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，CD⊂平面BCDE，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，在Rt△SAC中，DF∥AC，DF=1，AC=2，CD=1，由，得，即M为FA的中点．∴CF⊥SA，又CF=，FM=，∴CM=．在Rt△MCO中，sin∠MCO=．故直线MC与平面BCD所成角的正弦值为．20．（12分）（2017•全国三模）椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）∠PF2Q=90°⇒平行四边形PF1QF2为矩形，⇒|F 1F2|=|PQ|=2⇒c=1，又PF1+PF2=2a，得a2=2，b2=1，椭圆方程：…．（4分）（2）解：设直线l：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），则…．（6分）以MN为直径的圆经过点A，⇒3m2﹣2m﹣1=0…．（10分）又直线不经过A（0，1），所以m≠1，，直线l：y=kx﹣，直线经过定点…（12分）21．（12分）（2017•全国三模）已知函数f（x）=e x﹣a+lnx．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x﹣1；（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：a=1时，，设，g'（x）在（1，+∞）递增，又g'（1）=0，∴x＞1时g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即e x+lnx﹣2x+1＞0，x＞1时，e x+lnx＞2x﹣1，即f（x）＞2x﹣1…．（6分）（2）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即即存在x0≥e，使．设（x≥e），则，设，在[e，+∞）递增，，所以u＞0在[e，+∞）恒成立，h'（x）＞0在[e，+∞）恒成立，所以h（x）在[e，+∞）递增，所以x≥e时，，需e a＞e e⇒a＞e…．（12分）请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•全国三模）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1t2＜0，（8分）∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•全国三模）已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，∴x4+16y4≥2x3y+8xy3参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；刘老师；caoqz；双曲线；沂蒙松；w3239003；陈高数；qiss；zcq；zhczcb；danbo7801；whgcn；铭灏2016；742048；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年7月14日。
2017年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(二) 数学(文)试题+答案(WORD版)
2017年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合{}13A x x =-<<，集合{}21<<-=x x B ，则A B = （ ） A.()1,2 B.()1,2- C. ()1,3 D. ()1,3- 2.31ii+-的虚部为 A. 2 B. －2 C. －2i D. 2i 3. 已知向量)1,2(-=a ，)1,0(=b ，则|2|b a +=（ ）A.22B. 5C. 2D. 44. 一组数据分别为12，16，20，23，20，15，28，23，则这组数据的中位数是 A.19 B. 20 C. 21.5 D. 235、已知函数24,0()2,0x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩，则((1))f f =（ ）A ．2B ．0C ．-4D ．－6 6. 已知sin()cos()66ππαα-=+，则tan α＝（ ）A. －1B. 0C.12D.1 7、执行右图的程序框图，则输出的S ＝（ ） A. 21 B. 34C. 55D. 898、在△ABC 中，3c =，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A 、4πB 、πC 、2πD 、4π 9. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为（）A B C D 10. 将函数)2sin()(ϕ+=x x f )2|(|πϕ<的图象向右平移12π 个单位后的图象关于y 轴对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ）A. 0B. －1C. 21-D.23-11、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ） 且MF 与双曲线的实轴垂直则，双曲线C 是率心离的 A.52B.5C.2 D. 212、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，若1|(ln )(ln )|(1)2f x f x f -< ，则x 的取值范围是（ ）A. 1(0,)eB. (0,)eC. 1(,)e eD. (,)e +∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数y x ,满足1200x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 .14. F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+ ， 21()2OC OA OF =+ 则||||OB OC +＝ .15. 设集合S T ,满足S T ⊆且S ≠∅，若S 满足下面的条件：（ⅰ）,a b S ∀∈，都有a -b S ∈且ab S ∈；（ⅱ）,r S n T ∀∈∈，都有rn S ∈. 则称S 是T 的一个理想，记作S T .现给出下列3对集合：①{}0S T ==,R ;②{}S T ==,Z 偶数；③S T ==R,C ，其中满足S T 的集合对的序号是_____________（将你认为正确的序号都写上）.16. 已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为 .三.解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434(1)S a =+，3435a a =，数列{}n b 是等比数列，且123bb b =，152b a =.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者（18名女志愿者中有6人喜欢运动）。
东北三省三校2017届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题-Word版含答案
哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}|12B x x =<≤，则A B =I （ ） A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[]1,2-D ．[1,2)-2.设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设向量(1,2)a =r ，(,1)b m m =+r，//a b r r ，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．13-D ．3-4.双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．32C ．3D ．45.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.检测600个某产品的质量（单位：g ），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5~105.5之间的产品数为150，则质量在115.5~120.5的长方形高度为（ ）A ．112B ．130C ．16D ．1607.已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ） A ．90S =B ．5S 最小C ．36S S =D ．50a =8.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）在区间(,)42ππ内是增函数，则（ ）A ．()14f π=-B ．()f x 的周期为2πC ．ω的最大值为4D ．3()04f π=9.如图是用二分法求方程320x -=近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（ ）A ．a m =，b m =B ．b m =，a m =C ．()a f m =，()b f m =D ．()b f m =，()a f m =10.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若4OAF OBF S S ∆∆=，则直线AB 的斜率为（ ） A ．35±B ．45±C ．34±D ．43±11.已知四面体A BCD -中，ABC ∆和BCD ∆都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（ ） A ．60πB ．30πC ．20πD ．15π12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(0)2f =，则不等式()20xf x e -<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足40,360,23120,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．14.若02a <<，02b <<，则函数321()233f x x bx =+-存在极值的概率为 ．15.若0a >，0b >，且21a b +=，且224a b -的最大值是 ． 16.各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且11a =，23a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin sin sin()a c A Ba b A B -+=-+． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积S 的最大值．18.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：支持 保留 不支持 30岁以下 900 120 280 30岁以上（含30岁）300260140（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 为1AA 上．（Ⅰ）当14AA AE =时，求证：DE ⊥平面1BDC ； （Ⅱ）当12AA AE =时，求三棱锥1C EBD -的体积．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，PAB ∆面积的最大值为23（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l 过椭圆的左焦点1F ，且l 与椭圆C 交于M ，N 两点，试问在x 轴上是否存在定点D ，使得DM DN ⋅u u u u r u u u r为定值？若存在，求出点D 坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数2()2ln 2()f x x x ax a R =+-+∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在0(0,1]x ∈，使得对任意的[2,0)a ∈-，不等式20()322(1)a f x a a me a >++-+（其中e 是自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （Ⅱ）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =++-的最小值为4． （Ⅰ）求a b +的值； （Ⅱ）求221149a b +的最小值．哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷答案一、选择题1-5:ACAAB 6-10:DBCAD 11、12：AB二、填空题13.8 14.1415.212- 16.22n n n a +=三、解答题17.解：（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+=Q ，∴sin sinBsin a c A a b C-+=-， 由正弦定理得a c a ba b c-+=-， 即222b a c ac =+-， 结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，∴3B π=． （Ⅱ）22sin3b R π==，解得3b =，所以，22232cos23b ac ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等）， 所以133sin 234S ac π=≤． 18.解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人． 由题意n 30090019260120+=+，得60=n ．则4543==n x 人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． （Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则632140280280m==+，∴4m =．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ． 则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是）（）（2111,,,B A B A ）（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159=． 19.（Ⅰ）证明：ABC ∆Q 为正三角形，点D 为AC 的中点， ∴BD AC ⊥，∴BD ⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥．连接1EC ，Q 14AA AE =，12AB AA ==，∴12EA =，52ED =，2195242EC =+=，15C D =则22211EC ED C D =+，∴1ED C D ⊥，又1C D BD D =I ，∴DE ⊥平面1BDC ．（Ⅱ）Q 12AA AE =，∴112,5ED C D C E ==132C DE S ∆=， 由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高， 所以111113333322C EBD B C DE C DE V V S BD --∆==⋅=⨯=． 20. 解：（Ⅰ）由题意，max 11,()22322PAB c e S ab ab a ∆===⨯==222a b c =+. 解得2,3,1a b c ===.∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在定点(,0)D m ，使得向量DM DN ⋅u u u u r u u u r为定值n .①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点1(1,0)F -，设直线l 的方程为1x ty =-.联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x ，得22(34)690t y ty +--=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122269,3434t y y y y t t -+==++． 1122(,),(,)DM x m y DN x m y =-=-u u u u r u u u r，21212121212()()()DM DN x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++u u u u r u u u r2121212(1)(1)(()2)ty ty m t y y m y y =---+-++221212(1)(1)()(1)t y y m t y y m =+-++++222222229(1)6(1)(615)9(1)(1)343434t t m m t m m t t t -++---=-++=+++++． 若DM DN ⋅u u u u r u u u r 为定值n ，则615934m ---=，即118m =-，此时13564n =-． ②当直线l 的斜率为0时，11527135(20),(20),(,0),88864A B D DM DN --⋅=-⨯=-u u u u r u u u r ，，，亦符合题意； ∴存在点)0,811(-D ，使得向量DN DM ⋅为定值64135-=n . 21. 解：（Ⅰ）2222()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>． 令2()22h x x ax =-+，216a ∆=-．①当0a ≤时，0ax -≥，∴()()0h x f x x'=>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当04a <≤时，2160a ∆=-≤，所以()0h x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ③当4a >时，2160a ∆=->，令()0h x =，得221216160,0a a a a x x --+-=>=>， '12()0(0,)(,)f x x x x >⇒∈+∞U ；'12()0(,)f x x x x <⇒∈．所以，()f x 在()10,x 和()2+x ∞，上单调递增，在12(,)x x 单调递减． 综上，1o当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；2o 当1a >时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[2,0)a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)3f a =-，对任意的[2,0)a ∈-，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()32a me a f x a a ++>++成立， 即对任意的[2,0)a ∈-，20max 2(1)()32a me a f x a a ++>++都成立，即对任意的[2,0)a ∈-，不等式22(1)410a me a a a +--+>都成立，记2()2(1)41ah a me a a a =+--+，则()2(2)242(2)(1)aah a me a a a me '=+--=+-．21[2,0),[,1)a a e e ∈-∴∈Q ，且20a +≥． ①当1m ≤时，10,()0ame h a '-<∴≤，即[2,0)a ∈-时，()h a 单调递减. ∴()0h a >，只需(0)0h ≥，解得12m ≥-，∴1[,1]2m ∈-． ②当1m >时，令()0h a '=得2a =-或ln a m =-，因为[2,0)a ∈-，所以2(2)0a +≥. （ⅰ）当21m e <<时，ln [2,0)m -∈-，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <；当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，∴2min ()(ln )ln 2ln 30h a h m m m =-=-++>，解得31(,)m e e∈ ，∴2(1,)m e ∈．（ⅱ）当2m e ≥时，因为20a -≤<，所以211a e e≤<，所以1a me ≥，所以'()0h a ≥，则()h a在[2,0)-上单调递增，得2(2)520h me --=->，即252e m <，∴225[,)2e m e ∈. 综上，m 的取值范围是215[,)22e -． 22. 解：（Ⅰ）直线1C ： 2sin 3cos ()3R πρθρθθρ=-⇒=∈， 曲线2C 的普通方程为22(3)(2)1x y ++=． （Ⅱ）3C ： ()3R πθρ=∈，即3y x =．圆2C 的圆心到直线3C 的距离32122d -+==． 所以212134AB =-=． 23．解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值为4a b +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知4a b +=，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923a ba b ++≥⨯+⨯=．即221116()4913a b +≥，当且仅当113223ba =，即1636,1313ab ==时，等号成立．所以，221149a b +的最小值为1613．另法：因为4a b +=，所以4b a =-，则2222211(4)133264(04)494936a a a a ab a --++=+=<< 当1613a =时，221149a b +取最小值，最小值为1613．。
2017年三省三校联合考试一模数学文科答案
东北师大附中三省三校联考一模数学（文科）答案第Ⅰ卷一、选择题：1——6 ACAABD 7——12 BCADAB13． 8 14． 1415．16． 22n n n a +=17．解：（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+= sin sinB sin a c A a b C-+∴=- ——1分 由正弦定理得a c a ba b c-+=-， ——2分 即222b a c ac =+- ——4分 结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，3B π∴=． ——6分 （Ⅱ）法一：22sin3b R b π==⇒= ——8分所以，22232cos23b ac ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等）——10分所以1sin 23S ac π=≤——12分（Ⅱ）12sin 2sin 2sin sin()23S ac B A C A A π===⨯=-，21sin )cos sin )2A A A A A A =+=+112cos 2))226A A A π=-+=-．——10分 270,23666A A ππππ<<∴-<-< ， 2,62A ππ∴-=即3A π=时，S——12分18．解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人． 由题意n 30090019260120+=+，得60=n ．则4543==n x 人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． ——4分1AA1C1BBCDE （Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则632140280280m==+，4=∴m ．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ．——6分 则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个 ——8分 其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是）（）（2111,,,B A B A ）（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． ——10分所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159=．——12分 19．（Ⅰ）证明：ABC ∆ 为正三角形，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，BD ∴⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥． ——2分连接1EC ， 14AA AE =，12AB AA ==，1115,,22EA ED EC C D ∴=====则222111,EC ED C D ED C D =+∴⊥， ——4分 又1C D BD D= ∴DE⊥平面1BD C .——6分 （Ⅱ） 12AA AE =，∴11ED C D C E ===，132C DE S ∆∴=， ——8分由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高 ——10分所以1111133322C EBD B C DE C DE V V S BD --∆==⋅=⨯=——12分20．解：（Ⅰ）由题意，max 11,()222PAB c e S ab ab a ∆===⨯==222a b c =+. 解得1,3,2===c b a .∴椭圆的标准方程为13422=+y x . ——4分 （Ⅱ）假设存在定点)0,(m D ，使得向量DN DM ⋅为定值n .①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点)0,1(1-F ，设直线l 的方程为1-=ty x .联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422ty x y x ，消去x ，得096)43(22=--+ty y t . 设),(),,(2211y x N y x M ，则439,436221221+-=+=+t y y t t y y . ——6分),(),,(2211y m x DN y m x DM -=-=.21221212121)())((y y m x x m x x y y m x m x DN DM +++-=+--=⋅2122121)2)(()1)(1(y y m y y t m ty ty ++-+---=221212)1()()1()1(++++-+=m y y t m y y t22222222)1(439)156()1(43)1(643)1(9+++---=++++-++-=m t t m m t m t t t . ——8分若DN DM ⋅为定值n ，则493156-=--m ，即811-=m ，此时64135-=n . ——10分②当直线l 的斜率为0时，6413582785),0,811(),02(),02(-=⨯-=⋅--DN DM D B A ，，，亦符合题意； ——11分∴存在点)0,811(-D ，使得向量DN DM ⋅为定值64135-=n . ——12分 21．解：（Ⅰ）)0(2222)(2>+-=-+='x xax x a x x x f ——1分 .令22)(2+-=ax x x h ，162-=∆a① 当0≤a 时，0≥-ax ，0)()(>='∴xx h x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增； ——2分② 当40≤<a 时，0162≤-=∆a ，所以0)(≥x h ，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ——3分③ 当4>a 时，0162>-=∆a ，令0)(=x h，得120,0x x =>=>，'12'12()0(0,)(,)()0(,)f x x x x f x x x x >⇒∈+∞<⇒∈所以，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 综上，1当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；2 当1>a 时，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 ——6分（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,2[-∈a 时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是a f -=3)1(，对任意的)0,2[-∈a ，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式23)()1(220++>++a a x f a me a 成立， 即对任意的)0,2[-∈a ，23)()1(22max 0++>++a a x f a me a 都成立. 即对任意的)0,2[-∈a ，不等式014)1(22>+--+a a a me a都成立. 记14)1(2)(2+--+=a a a me a h a ，则)1)(2(242)2(2)(-+=--+='a a me a a a me a h .8分)1,1[),0,2[2e e a a ∈∴-∈ ，且20a +≥. ①当1≤m 时，10,()0ame h a '-<∴≤，即)0,2[-∈a 时，)(a h 单调递减.0)(>∴a h ，只需0)0(≥h ，解得21-≥m ，1[,1]2m ∴∈-. ——9分②当1>m 时，令0)(='a h 得2-=a 或m a ln -=，因为)0,2[-∈a ，所以0)2(2≥+a . （ⅰ）当21m e <<时，)0,2[ln -∈-m ，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <； 当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，03ln 2ln )ln ()(2min >++-=-=∴m m m h a h ，解得),1(3e em ∈ ，2(1,)m e ∴∈. ——10分（ⅱ）当2m e ≥时，因为20a -≤<，所以211a e e≤<，所以1ame ≥，所以'()0h a ≥，则)(a h在[2,0)-上单调递增，得025)2(2>-=--me h ，即252e m <.225[,)2e m e ∴∈.——11分 综上，m 的取值范围是)25,21[2e -. ——12分 22．选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）直线1C ：2sin cos ()3R πρθθθρ=⇒=∈ ——3分 曲线2C的普通方程为22((2)1x y ++=. ——5分 （Ⅱ）3C : )(3R ∈=ρπθ，即y =. ——6分圆2C 的圆心到直线3C 的距离32122d -+==. ——9分所以AB == ——10分 23．选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ——3分 当且仅当b x a ≤≤-时，等号成立，所以()f x 的最小值为4=+b a . ——5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4=+b a ，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923a ba b ++≥⨯+⨯=. ——7分即221116()4913a b +≥，当且仅当331221b a=，即1336,1316==b a 时，等号成立. 所以，229141b a +的最小值为1613． ——10分 另法：因为4=+b a ，所以4b a =-，则2222211(4)133264(04)494936a a a a a b a --++=+=<< ——7分当1613a =时，229141b a +取最小值，最小值为1613． ——10分。
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2017年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知复数12z i =+，则z z ⋅=
A.34i -
B.54i +
C.3-
D.5
2.已知集合{}{}2|230,|2A x x x B x x =--<=<，则A B =
A.{}|22x x -<<
B.{}
|23x x -<<C.{}|13x x -<< D.{}
|12x x -<<3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.设A,B 为两个等高的几何体，p：A,B 的体积不相等，q:A,B 在同高处的截面面积相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.直线330x y -+=与圆()()221310x y -+-=相交所得弦长为
A. B.2 C. D.5.下列命题中错误的是
A.如果平面外的直线a 不平行于平面α，则α内不存在与a 平行的直线
B.如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，l αβ= ，那么l γ
⊥C.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
6.已知数列{}n a 满足112,5n n a a a +-==-，则126a a a +++=
A.9
B.15
C.18
D.30
7.平面内的动点(),x y 满足条件3010x y x y +-≤⎧⎨
-+≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A.(),-∞+∞ B.(],4-∞ C.[)4,+∞ D.[]
2,2-8.函数()x
e f x x
=的大致图象是
9.某几何体的三视图如图所示，则其体积为
A.4
B.73
C.43
D.83
10若关于x 的方程2sin 2
6x m π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个不等实根，则m 的取值范围是
A.(
B.[]0,2
C.[)1,2
D.⎡⎣
10.运行如图所示的程序框图，则输出的,,a b c 满足
A.c b a
≤≤ B.a b c ≤≤C.a c b ≤≤ D.b c a
≤≤12.对10,,8log 13x a x x ⎛⎫∀∈≤+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数a 的取
值范围是
A.20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为
.14.函数()sin x f x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为.
15.等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足2124283,16S a a a =+=，则4S =.
16.F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点，过F 作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A,B 两点，若12AF BF =，则双曲线的离心率为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
已知点)
(),cos ,sin P Q x x ，O 为坐标原点，函数().f x OP QP =⋅ （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若A 为ABC ∆的内角()4,3f A BC ==，求ABC ∆周长的最大值.
18.（本题满分12分）
某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频率分布表如下：
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率.
19.（本题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面
ABCD
，2,AD AP AB E ===为棱PD 的中点.
（1）证明：PD ⊥平面ABE ；
（2）求三棱锥C PBD -的外接球的体积.
20.（本题满分12分）
已知函数()ln f x ax x
=-（1）过原点O 作曲线的切线，求切点的横坐标；
（2）对[)1,x ∀∈+∞，关于x 的不等式()()
22f x a x x ≥-恒成立，求实数a 取值范围..
21.（本题满分12分）已知椭圆()222:10x C y a a
+=>，12,B B 分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点1F 在以12B B 为直径的圆上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫-
⎪⎝⎭
，求线段AB 的长的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
已知平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
曲1C 线的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l
的参数方程为25115x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
（2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 是上的点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知0,0,a b >>函数()f x =2x a x b ++-的最小值为1.
（1）证明：22a b +=；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围.
2017年东北三省四市教研联合体高考模拟数学文科试卷及解析。