反其道而行之——例谈“常量逆代”在解题中的妙用
不妨反其道而行之
不妨反其道而行之
铢珠
【期刊名称】《中国人才》
【年(卷),期】1994(000)008
【摘要】幽默无处不在.即便在你死我活的军事斗争中,也有令人捧腹的故事。
1935年,日伪发动冬季大讨伐。
杨靖宇军长率领东北抗日联军第一军军部一行25人,在转移中与主力失去了联系。
当他们来到吉林省集安县一条大山沟时,陷入重围,无处藏身,形势十分险恶。
杨军长经过一番权衡。
决定在一座破败的院套中隐蔽。
这座院套在山沟的向阳坡上,孤零零的,里面仅存两间破草房。
按说这里最暴露,最容易被敌人发现,可是,杨军长一行在这里藏了半个多月,日伪讨伐队三次经过这里都有惊无险。
后来他们与主力会师,打了一个漂亮的伏击战。
【总页数】1页(P12-12)
【作者】铢珠
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】C933
【相关文献】
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5.反其道而行之最新科技集结Rega Planar 8黑胶唱盘 [J], 晨光(图/文)[1]
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反其道而行之——例谈“常量逆代”在解题中的几种妙用
反其道而行之——例谈“常量逆代”在解题中的几种妙用蔡勇全
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)002
【摘要】常量逆代是指在解有规则的数字问题时,用字母或含有字母的代数式来替代题目中的全部或部分常量,将数字问题转化为字母问题来研究,换言之,暂时把常量看作变量,并通过变动的、一般的状态来考察不变的、特殊的情形.对常量进行逆代,不仅可以使数字间的特征和规律更加突出、明显,而且能避免繁冗的数字计算,收到以简驭繁的效果,更重要的是能找到令人眼前一亮、耳目一新的解题途径．本文结合实例介绍常量逆代策略在解题中的几种巧妙应用，供参考．
【总页数】2页(P10-11)
【作者】蔡勇全
【作者单位】四川省资阳市外国语实验学校,641300
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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3.一类导数压轴题中数列不等式的倒逆思维过程——例谈“执果索因”法的妙用[J], 杨超拔
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例谈整体思想在数学解题中的应用
例谈整体思想在数学解题中的应用打开文本图片集“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念.整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.例1已知函数f（某）=某2+2a某+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.另解：设f（某）的两个零点为某1，某2∈[1，2]，则f（某）=某2+2a某+b=（某-某1）（某-某2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令某=，则+a+b=f（）=-某1-某2，即a+b=某1-·某2--.由于某1，某2∈[1，2]，即知某1-某2-∈[，]，所以0≤a+b≤2.评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁.此题还可以作如下的变式：已知函数f（某）=某3+2a某+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2022年浙江省高中数学竞赛第19题：设二次函数f（某）=a某2+（2b+1）某-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.解：由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于某的方程某4+a某3+2某2+b某+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.此题留给读者思考.一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.例2ma某{某3+2某+t，某≤1}=.一般性解法：设f（某）=某3+2某+t，某≤1，再对f（某）求导，求出f（某）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.另解：注意到y=某3+2某在某≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求ma某{某3+2某+t，某≤1}，只要求ma某{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：ma某{y+t，y≤3}=t+3.评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知ma某{某2-2某-t，0≤某≤3}=2，则t=.同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.例3已知e为自然对数的底数，设函数f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2），则A.当k=1时，f（某）在某=1处取到极小值B.当k=1时，f（某）在某=1处取到极大值C.当k=2时，f（某）在某=1处取到极小值D.当k=2时，f（某）在某=1处取到极大值一般性解法：学生往往不假思索，先对f（某）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2）所决定的.评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（某）=（某-a）2（某+b）ek，b∈R，某=a是f（某）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.另一背景即2022年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（某）=某（某-1）2（某-2）3（某-3）4，则函数y=f（某）的极大值点为（）A.某=0B.某=1C.某=2D.某=3上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.例4已知a>0，b∈R，函数f（某）=4a某3-2b某-a+b.（1）证明：当0≤某≤1时，①函数f（某）的最大值为2a-b+a；②f（某）+2a-b+a≥0.（2）略.一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（某）=4a某3-2b某-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.另解：①证明：由于f"（某）=24a某>0，故由函数的凹凸性知：f （某）ma某=ma某{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.②由题意，函数f（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（某）d某=0.设折线A-C-B对应的函数为g（某），由于函数f（某）在[0，1]上为凹函数，故某∈[0，1]时，g（某）≥f（某）.于是，g（某）d某≥f（某）d某=0，即知g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（某）ma某≥f（某）min.若不然，即f（某）ma某S△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：g（某）d某=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（某）d某≥f（某）d某=0矛盾.因此，由f（某）ma某≥f（某）min，知f（某）+2a-b+a≥f（某）min+f（某）ma某≥f（某）min+f（某）min≥0.评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（某）ma某≥f（某）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和命制的意义所在.杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.。
反其道而行之
反其道而行之我们中国有句老话：＂反其道而行之＂，其实在有些数学问题上，我们也可以运用这种思维方法解决问题．在今天晚上的练习上，书上给我们出了这样一道颇有趣的数学题：有一池荷花，生长的速度是一天增一倍，要２０天才能长满整个池塘，请问长满半个池塘的时候是第几天？如果按照传统的方法来思考的话，我们应该从条件出发，一步步的推．最后推出结论．可是在这道题中这种方法是行不通的，这个时候，我就想起了＂反其道而行之＂这句话．于是，我就从后往前推：长满一池需20天，已知荷花的生长速度是一天增一倍，所以19天的时候就长了半池。
本来是日增一倍，现在便成了日减一倍，所以这个问题的答案是19天.反其道而行之，以这样的思路，这个问题就很容易得解.生活中的数学今天,我跟爸爸来到了华堂商厦.首先,我们先去给爸爸买衣服,爸爸挑了一件他特别喜欢的衣服.正好国庆特价打了八折.爸爸问我,一件衣服的价钱是150元,打八折就相当于衣服的价钱乘以0.8，你知道一件衣服多少元吗？我想：150*0.8，先把0.8看成8，再用整数乘法的方法进行计算，计算出结果，最后看因数中一共有几位小数，就从积数右边起数出几位，点上小数点。
结果得120元。
我兴奋的回答打完八折这件衣服的价钱是120元。
爸爸又问我：“通常一个数乘另一个数，积一定比因数大，但为什么这道题的积比其中一个因数大？”我想，在做练习的时候，自己遇到过。
我非常有信心的说：“一个数乘大于1 的数积比原来的数小。
爸爸说：“真聪明，那么除法有没有这样的规律呀？”“当然有，当被除数大于0 ，除数大于1时,商比被除数小.当被除数大于0,除数小于1时,商比被除数大.” 爸爸说:“那么我再考考你，这件衣服原价２００元，打五折，现价是多少元？”我快速的回答：“１００元”。
爸爸高兴的说：“我女儿学会举一反三了！”买完衣服，我们就来到了地下超市，爸爸对我说：“商店奶制品搞促销，买二赠一，如果买两箱，相当于打几折？”我说：“不知道。
反其道而行之—— 数学思维的另一种类
反其道而行之——数学思维的另一种类有这样一个故事，说的是两个早餐店卖鸡蛋的事。
A店和B店，他们位于同一条街上且面对面，早点都有鸡蛋出售。
A店每天早上可卖出200多个鸡蛋，B店每天早上卖出的鸡蛋不足30个。
为什么会有这么大的差别呢？抛开天时、地利、人和三方面的因素不说，单看两家店的服务员和卖鸡蛋就可找到原因。
A店的服务员走到客户面前是这样问的：“您好，欢迎光临，请问需要点些什么？另外本店鸡蛋味道独特，您看是来一个还是两个呢？”B店服务员是这样问的：“您好，欢迎光临，请问需要点什么？另外本店鸡蛋味道独特，您要不要鸡蛋？”“要一个还是两个”与“要不要”，这两种不同的问法就决定了每天早上鸡蛋的销量。
提问看似简单，做起来难。
如何提出有针对性、有深度、有质量的问题是一件非常有学问的事情，提问的方式不一样，先后不一样，其结果也不一样。
同样，在数学教学中，同一数学材料，教师教学设计不同，教学效果会有迥然不同的差异。
培养学生的创造性思维，需要教师在平时的教学中多多引导，创设不同的问题空间。
例如，一口钟挂在镜子（平面镜）对面的墙上，如图是白天某一时刻从镜子中看到的时间，则它的真正时间是：。
如果教师直接教学生用轴对称的方法解题，学生很难解出题目，对培养学生的思维意义不大，我们是不是可以这样设计，让学生把画着钟的那张纸翻过来，看看是几点，这样实际上就是把这张纸当做了对称轴，题目的答案也就一目了然了。
一个数学问题，当顺向思维思考比较困难时，常常改为反向思考。
初中教学中用这种策略的例子是很多的。
常用这一策略，可以培养学生反向考虑问题的自觉性，训练学生的逆向思维，使学生不受思维习惯的约束，提高学生思维的灵活程度。
本文略举这方面的几个例子。
一、正与反例如，以下三个方程中：x2－4x＋2m－3＝0 ……… ①x2－6x＋3m＋12＝0 ……… ②x2＋3x－m＋＝0 ……… ③三个方程中至少有一个方程有实数解，求实数m的取值范围。
逆向思维在数学教学中的运用
逆向思维在数学教学中的运用所谓逆向思维是指从问题的反方向进行思考的一种思维方式. 中学数学课本中的逆向思维包括逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性. 在数学解题中，通常是按照从已知到结论的思维方式，但是有部分数学问题若是按照顺向思维方式则是比较困难的，而且常常伴随着较大的运算量，有时甚至无法解决. 在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆运用，就会使较难的问题得到简化. 经常性地运用这样的训练方法可以培养学生思维的灵敏性.一、数学定义的逆用在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆运用容易被学生忽视，我们应重视定义的逆运用，学会逆向思考，这样会达到使问题解答简捷的目的. 定义的可逆性应用是很重要的，也是很广泛的.例1已知函数f（x）＝arcsin（2x＋1）（－1≤x≤0），求f-1（）的值()Ａ. B. -C. D. -分析：常见的方法是：先求反函数f-1（x），然后再求f-1（）的值，但只要逆用反函数定义，令f（x）=，解出x的值即为f-1（）的值.浅议初中数学逆向思维的应用《数学课程标准》指出:数学思考主要是使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维”“丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维”“经历运用数据描述信息,作出推断的过程,发展统计观念”“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理和初步的演绎推理能力”。
初中学生的思维特点是以直观形象思维为主,逐步向抽象逻辑思维过渡。
他们是在听到、看到、感受到的同时进行思维的,他们的思维一般要借助实物、图形或者头脑中的表象来形象思维是一种很好的思维方法,可以终生受用。
但仅有具体形象思维是不够的,还必须掌握抽象逻辑思维的方法,以提高思维能力,所以在我们的教学中可以渗透一些抽象逻辑思维的因素,来培养学生的抽象思维,思考问题的能力,解决问题的能力。
反其道而行之漫话反证法
反其道而行之——漫话反证法3个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里一棵大树下躺下来休息一会儿，结果都睡着了．这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额．三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来．但这并没有引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑．其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了．他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？为了方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并不妨设甲已经发觉自己的脸给涂黑了．那么甲这样想，“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑．如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪．因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了．然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我．由此可知，我的脸也给涂黑了”．这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了．因此，这是一种间接的证明方法．仔细分析甲的思考过程，不难看出它分4个步骤：1．假设自己的脸没被涂黑；2．根据这个假设进行推理，推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪；3．根据这个矛盾，说明原来假设自己的脸没涂黑是错误的．为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？原来在人们的思维中，有这样一个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的判断，不可能都是对的，无论如何至少有一种是错误的．例如，一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说，不可能是星期一、又是星期二．这个规律在逻辑学上叫矛盾律．甲现在就是利用了矛盾律思考对于丙的笑这同一件事，一个是不感到奇怪，一个说应感到奇怪．那么它们两个之中至少有一个是错误的，而乙不感到奇怪这是事实，是真的，因此另一个“应该感到奇怪”便一定错了．而这个错误是由于假设自己的脸没涂黑而推得的，于是我们断定原来的假设错了．4．根据原来的假设脸没被涂黑是错误的，便可做出没被涂黑的反面——涂黑了是对的结论．那么为什么没被涂黑是错误的，它的反面涂黑了就一定正确呢？这是因为在人们的思维过程中，还要遵守这样一个规律：在同一讨论过程中，对某个问题的两种互相否定的判断中，必然是一个是真的．比如，放在你面前的那支铅笔，它不是“红的”，就是“非红的”，绝不会有第三种可能出现．这个规律在逻辑学上叫做排中律．于是，甲最后根据排中律想，既然脸没被涂黑是错误的，那么它的反面——脸被涂黑了就一定正确．简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了．像这样，为了说明某一结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法”．现在，我们把它变成数学上的叙述．要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非A ）是错误的，从而断定A 是正确的，它的步骤如下：1．把要证明的结论A 否定（也就是假定结论A 的反面——非A 是正确的）；2．根据这个假设和其他已知条件进行正确的推理，直到推得一个与已知的事实相矛盾的结果为止；3．由矛盾说明“假设A 的反面正确”是错误的；4．根据排中律指出，原来要证明的结论A 是对的．用反证法证题，关键是设法导出矛盾，如何导出矛盾呢？与已知定义、公式、定理、公理矛盾例1求证：2不是有理数。
反其道而行之的哲学道理
反其道而行之的哲学道理
反其道而行之，是一种非常有趣的哲学道理。
它的意思是，当我们遇到问题时，我们可以尝试从不同的角度来看待问题，从而找到解决问题的方法。
这种方法可以帮助我们打破常规思维，创造出新的思路和解决方案。
在生活中，我们经常会遇到各种各样的问题。
有些问题看似无解，让我们感到束手无策。
但是，如果我们能够反其道而行之，就有可能找到解决问题的方法。
比如，我们在学习中遇到了难题，可以尝试从不同的角度来看待问题，或者换一种方法来解决问题。
这样，我们就有可能找到解决问题的方法。
同样，在工作中，我们也会遇到各种各样的问题。
有些问题看似无解，让我们感到非常困惑。
但是，如果我们能够反其道而行之，就有可能找到解决问题的方法。
比如，我们在工作中遇到了难题，可以尝试从不同的角度来看待问题，或者换一种方法来解决问题。
这样，我们就有可能找到解决问题的方法。
反其道而行之是一种非常有趣的哲学道理。
它可以帮助我们打破常规思维，创造出新的思路和解决方案。
在生活和工作中，我们都可以尝试使用这种方法，从而找到解决问题的方法。
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第３ ４ 卷第 ９ 期
２ ０ １ ５ 年９ 月
数学教 学研 究
４ ７
＝ ＝ ： — — ２ — — ３ — — — — — — ＋ － — — ４ — — ６ — — ｘ — － — ＋ — — — — ２ — — ３＞ 一 ｌ Ｉ ， ．
解析 令
５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ＝ ｘ， ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ＝ ｙ，
则 Ａ — Ｂ ＝ 一歹 ｘ ｎ Ｕ ｌ ＝ 歹 ２ （ ｘ ＋ｙ ２ ，
－
３ 『
下面从 ３ 个角度举例说明如何利用常量
逆代 比较 两个 式子 的大 小．
１ ． １ 逆 代作 差
４ ６
数 学教学研究
第３ ４卷第 ９期
２ ０ １ ５年 ９ 月
反其 道 而行 之
— —
例谈“ 常量逆代” 在解题中的妙用
蔡 勇全
（ 四川省资 阳市外 国语实验学校 ６ ４ １ ３ ０ ０ ）
常量逆代 是指在解有规 则 的数 字问题 时， 用字母或含有字母的代数式来替代题 目 中的全部或部分常量 ， 将数字问题转化为字
故
＝３ （ ￡ ＋ｒ ） （ ｔ －ｒ ） ＞０ ，
４ （ ￡ 。 ＋ ） ＞（ ＋ｒ ） ，
＞￡ ＋ｒ ，
母问题来研究 ， 换言之 ， 暂时 把常量看作 变 量， 并通过变 动的、 一 般 的状 态来考察不 变
的、 特殊 的情 形． 对 常 量 进 行 逆代 ， 不 仅 可 以
，
河 一 丽
２ 十 一 ￡ ＋ｒ ，
一￣ ／ ４ （ ｔ ３ － ｔ － ｒ ３ ） 。 ，
Ａ一
罄一 ，
，
于是要比较 ２ ＋ 与湎 的大小， 只需比 较ｔ
＋ｒ 与ｆ ｆ４ （ ｔ ３ － ｛ － ｒ ３ ） 的大小． 因为 ≠ｒ ， 所以
４ （ ｔ 。 － ＋ － ｒ 。 ） 一（ ￡ ＋ｒ ） 。 一３ （ ＋ ） －３ ｔ ｒ （ ｔ ＋ｒ ）
Ｂ一
所 以
百一
Ａ
ｚ－ ＋ － ２ ３
干 ’ 干ｉ ＿
２ ３ ｘ＋ １
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５ － ０ ３ － ２ ８
作者简介 ： 蔡勇全 （ １ ９ ８ Ｏ 一 ）， 男， 四川遂宁人 ， 教育硕 士， 中学一级教师 ， 主要从事高 中数学课堂教学与解题研究 ．
＝
焦 点为 （ ±５ √ ３， Ｏ ） 、 长 轴长 为 ２ ０的椭 圆
ｏ ｏ
因此
Ａ＞Ｂ．
兰＝ － 一 ＿ 一１
１ ０ ０ ２ ５ 。
１ ． ３ 逆 代放 缩
因为 一５ ， 所 以原 方程 的解 为
例３ 比 较 丽
的大小 ．
＋． 二 万与２ 括
一
±４ ．
评注
本题 也 可 用 如 下 一种 思路 解 决 ：
证明 令 丽
又因为
一 ，方程 可化 为
＞ｎ ＞ｏ ， ｍ。 ＋ 。 ＝６，
￣ ／ （ ＋５ ） 。 ＋（ ｏ 一 ） 。
＋√（ 一５ ） 。 ＋（ ｏ 一 ） 。 ＝２ ０ ，
（ 一 ） ＞７ ｚ 。 （ 一 ） ，
即
ｍｎ （ ｍ＋咒 ） ＜ ＋ ．
（ ｍ＋ ） 。 一６ ＋３ ｍｎ（ ｍ＋ 咒 ）
＜６ ＋３ （ ｍ３ ＋７ ｚ 。 ） ＝２ ４，
＋７ ｌ ＜２ ，
所 以
ｚ轴交点的横坐标 ， 因为 ２ 口 ＝２ Ｏ ， ｃ ＝５ ， 所
即 旆
评注
＋
＜ ２ ．
以ｂ 。 ＝２ ５ ， 该椭圆方程 为
例１ 及例 ３ 利用常量逆代将无理
！ ：１
１ ０ ０ ｌ ２ ５ 上＇ 。
数或无理式的大小 比较转化为含有字母的式
子的大小 比较 ， 体现 了字母代数 的特点 和化 归转化的数学思想 ， 解法简洁 自 然流畅 ； 而例 １ 的变式 与例 ２均是分式在进行大小 比较 ， 它们 的解答思路的共 同点是对分子或分母局
又因 ２ ｘ ＞ｙ ＞Ｏ ， 所 以
Ａ — Ｂ＞ Ｏ， Ａ＞ Ｂ．
１ ． ２ 逆代作 商
例ｌ 比 较２ ＋ 与湎 的大小．
解析 令２ －ｔ ， 一ｒ ， 则
８＝ ｔ 。， － ＿ｒ ３ ，
例 ２已 知 Ａ 一 麓 旨 ， Ｂ 一
试 比较 Ａ， Ｂ的大小． 解析 令 ２ ３ 毗 一 ， ｘ ＞０ ， 则
方程的几 何 意 义是 点 （ ｚ ， Ｏ ） 到点（ 一５ √ ３ ，
） ， （ ５ ， ） 的距离 之 和 为 ２ Ｏ ， 因为 ２ ０ ＞ １ Ｏ ， 所 以 由椭 圆 定 义 可 知 ， 原 方 程 的解 是 焦 点为 （ ±５ ， ） 、 长轴长为 ２ ０的椭 圆与
即 丽 ＞２ ＋ ．
使数字间的特征和规律更加突出、 明显， 而且
能避免繁冗的数字计算 ， 收到 以简驭繁的效
果， 更重要的是能找到令人眼前一亮、 耳目 一 新的解题途径． 本文结合实例介绍常量逆代 策略在解题中的几种巧妙应用 ， 供参考．
１ 比较 大小
变 式 已 知Ａ 一 器 ， Ｂ ＝ 器 ， 试 比 较 Ａ ， Ｂ 的 大 小 ．
部实施常量逆代 ， 然后把其他部位用引入的 变量进行“ 二次逆代” ．
２ 解 方程 （ 组）
令 一０ ， 解得 ｚ ＝±４ 即为原方程的解． 这 种思路虽然不是从常量逆代角度解决问题，
但也能很好地锻炼学生 的思维能力 ， 并且 能 使学生融会贯通学科 内的知识 ， 所 以同样值
得细细品味与掌握 ， 但相比之下 ， 前一种思路
简捷 明 了 ， 让人 耳 目一 新． 变式 ｌ 解 方程 ＋２ Ｘ ２ ＋Ｓ ｘ ＋ 一
１— ０．
例 ４ 解方 程 √ 。 ＋１ ｏ √ ＋８ ｏ＋
－
解析 为
令 ＝ｒ ， 则 ５ ＝ｒ ２ ， 原 方程 转 化