解决二次函数面积问题的技巧
二次函数面积问题(整)
二次函数面积问题(整)1.题型一：割补法1.1 求解析式已知抛物线经过点A（4，）和点B（，2），且对称轴为直线l，顶点为C，求解析式。
由对称性可知，顶点C的横坐标为4/2=2，代入抛物线方程得2b+c=-4，又由于抛物线经过点A和B，代入方程可得2b+c=16和-b+c=2.解方程组得b=-3，c=2，代入方程y=-x^2-3x+2即可得到解析式。
1.2 求面积连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积。
由于AC和BC在对称轴上，所以它们的长度相等。
设AC=BC=x，由顶点C的坐标可知，AC和BC的纵坐标分别为2和-2，因此四边形ADBC的面积为x*4+1/2*x*(-4)=2x。
2.如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A 点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，），求解析式和四边形AOBM的面积。
2.1 求解析式由于抛物线经过点A、B、C，所以可以列出三个方程，分别是c=4，a+b+c=0，4a-2b+c=-2.解方程组得a=1，b=-3，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-3x+4.2.2 求面积设抛物线的顶点为M，连接AM和XXX，求四边形AOBM的面积。
由于抛物线的对称轴与x轴垂直，所以顶点M的横坐标为1.5，代入抛物线方程可得纵坐标为4.25.因此，四边形AOBM的面积为1/2*2*4.25=4.25.3.已知抛物线y=3(x+1)^2-12如图所示3.1 求交点坐标抛物线与y轴的交点为(-3,-3)，因为当x=0时，y=-3.抛物线与x轴的交点为(-3±2√3,0)，因为当y=0时，x=-1±√3.3.2 求面积设顶点D的坐标为(-1,0)，连接AD和BD，求四边形ABCD的面积。
由于AD和BD在对称轴上，所以它们的长度相等。
设AD=BD=x，由顶点D的坐标可知，AD和BD的纵坐标分别为3和-3，因此四边形ABCD的面积为x*6+1/2*x*6=9x。
二次函数面积问题解题思路
二次函数面积问题解题思路二次函数面积问题是高中数学中比较常见的题型，也是考查数学问题分析与解决能力的重要方式之一。
本文将从以下几个方面详细介绍二次函数面积问题的解题思路：第一步：理解二次函数面积问题的含义在解决二次函数面积问题之前，我们需要先了解一些概念，比如二次函数的图象、面积等等。
二次函数的图象一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
而二次函数的面积问题则是指，在一定条件下，通过二次函数所确定的抛物线与坐标轴之间所形成的面积。
第二步：根据题目所给条件列出方程式在解决二次函数面积问题时，一般会给出一定条件，根据条件列出方程式，然后解方程，得到需要求解的值。
例如，在给出二次函数y=ax²+bx+c和横坐标轴的三个交点的情况下，我们可以列出以下方程：ax²+bx+c=0 (x1<=x<=x2)ax²+bx+c>0 (x1<x<x2)其中，x1和x2分别是二次函数与x轴的交点，可以通过求解二次方程式ax²+bx+c=0求得。
第一个方程式是根据二次函数与横坐标轴的交点所得，第二个方程式是根据二次函数开口朝上还是朝下来确定的。
开口朝上的抛物线面积为正，开口朝下的抛物线面积为负。
第三步：解方程求出需要的答案在得到方程式后，我们需要解方程来求出需要的答案，如求抛物线与横坐标轴之间的面积、求最大值或最小值等等。
可以使用一些求根公式或者试和错方法来解方程，但需要注意的是，对于一些较为复杂的问题，可能需要运用更高级的数学知识来解决。
第四步：检验答案的正确性在解题的过程中，为了避免出现错误的答案，需要对所得的答案进行检验。
检验的方法是将最终得到的答案带回原方程式中进行验证，看是否符合条件，比如是否满足开口方向、是否满足交点、是否满足面积等等。
只有经过检验后，我们才能确定所得答案的正确性。
总之，通过以上几个步骤，我们可以比较容易地解决二次函数面积问题。
二次函数面积最大值问题
二次函数面积最大值问题二次函数面积最大值问题是一个经典的数学优化问题，旨在寻找一个二次函数的最大面积。
为了理解这个问题，我们首先需要明确什么是二次函数。
二次函数是一种具有形如y=ax^2+bx+c的函数形式的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
在二次函数面积最大值问题中，我们希望找到一个二次函数的最大面积，该函数关于x轴对称。
这意味着，我们需要在二次函数的图像上找到一个顶点，使得顶点对应的面积最大。
要解决这个问题，我们可以利用一些基本的数学知识和技巧。
首先，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状。
当抛物线开口朝上时，函数的最小值对应于顶点；当抛物线开口朝下时，函数的最大值对应于顶点。
为了找到二次函数的顶点，我们可以使用一些数学方法。
一种简单的方法是求出二次函数的导数，并令其等于零。
这将给我们一个方程，从中我们可以解出顶点的x坐标。
将这个x坐标代入原函数，我们可以找到顶点的y坐标。
一旦我们找到了顶点坐标，我们可以计算出顶点对应的面积。
这可以通过将顶点下方的曲线与x轴之间的曲边梯形与顶点上方的曲线与x轴之间的曲边梯形的面积相加来实现。
通过这种方法，我们可以找到二次函数的最大面积。
需要注意的是，由于二次函数的图像可能对称于y轴，因此可能存在多个顶点。
因此，在求解问题时，我们需要将所有的顶点都考虑在内，并计算出对应的面积。
最后，我们选取最大的面积作为答案。
总之，二次函数面积最大值问题是一个寻找二次函数的最大面积的数学优化问题。
通过寻找二次函数的顶点，并计算出对应的面积，我们可以解决这个问题。
这是一个有趣且实用的数学问题，可以帮助我们理解和运用二次函数的概念。
解决二次函数面积问题的技巧
求【2 】“半天吊”三角形面积技能：如图1,过△ABC的三个极点分离作出与程度垂直的三条线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“程度宽”,中央的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h”.三角形面积的新办法:,即三角形面积等于程度宽与铅垂高乘积的一半.留意事项：1.找出B.C的坐标,横坐标大减小,即可求出程度宽;2.求出直线BC的解析式,A与D的横坐标雷同,A与D的纵坐标大减小,即可求出铅垂高;3.依据公式: S△=×程度宽×铅锤高,可求出面积.真题剖析：如图,抛物线极点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连PA,PB,当P点活动到极点C 时,求△CAB的铅垂高CD 及;(3)在(2)中是否消失一点P,使,若消失,求出P点的坐标;若不消失,请解释来由.解析：(1)由极点C(1,4),A（3,0）可以得出抛物线的解析式为：y1=-x²+2x+3,已知B点的坐标为(0,3),所以直线AB的解析式为：y2=-x+3(2)因为C点坐标为(1,4),把x=1代入y2=-x+3可得D(1,2),是以CD=4-2=2,(3)设P(x,-x²+2x+3),由A.D横坐标相等易知D(x,-x+3),则PF==(-x ²+2x+3)-(-x+3)=-x²+3x第1页，－共3页第2页，－共3页 由S △PAB =S △CAB 得：×OA ×PF=×3×(−x ²+3x)=×3,解得,x=,则P 点坐标为(,)二次函数中常见图形的的面积问题1.说出若何表示各图中暗影部分的面积？2.抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A.B （点A 在B 右侧）,与y 轴交与点C, D 为抛物线的极点,衔接BD,CD, （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提醒：本题中的三角形没有横向或纵向的边,可以经由过程添加帮助线进行转化,把你想到的思绪在图中画出来,并选择个中的一种写出具体的解答进程）3.已知抛物线4212--=x x y 与x 轴交与A.C 两点,与y 轴交与点B, （1）求抛物线的极点M 的坐标和对称轴;（2）求四边形ABMC 的面积. 4.已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2,0）.B （1,0）,且经由点C （2,8）．（1）求该抛物线的解析式;（2）求该抛物线的极点D 的坐标;（3）求四边形ADBC 的面积.5.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经由A(-2,0),B(0,4),C(2,4)三点,且与x 轴的另一个交点为E.（1）求该抛物线的解析式;（2）求该抛物线的极点D 的坐标和对称轴;（3）求四边形ABDE 的面积.6.已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A.B 两点（A 在B 的左边）,与y 轴交于点C,极点为P.（1）联合图形,提出几个面积问题,并思虑解法; xy O M E N A 图五 O x y D C 图四 x y O D C E B 图六x y O A B D 图二 E x y O AB C 图一 P x yO A B 图三 备用图备用图C xOAB y第3页，－共3页 （2）求A.B.C.P 的坐标,并求出一个方才提出的图形面积;（3）在抛物线上（除点C 外）,是否消失点N,使得ABC NAB S S ∆∆=,若消失,请写出点N 的坐标;若不消失,请解释来由.变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N,使得ABC NAB S S ∆∆=,若消失直接写出N 的坐标;若不消失,请解释来由.变式二：在双曲线3y x =上是否消失点N,使得ABC NAB S S ∆∆=,若消失直接写出N 的坐标;若不消失,请解释来由.7.抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A.B （点A 在B 右侧）,与y 轴交与点C,若点E 为第二象限抛物线上一动点, 点E 活动到什么地位时,△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积． 提醒：点E 的坐标可以设为（32,2+--x x x ）,x 的取值规模是-3＜x ＜0,依据题2求三角形面积的思绪树立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式,领会点E 地位的不肯定性对办法的选择是否有影响．A x yB OC 变式一图 A xyO B C 变式二图。
二次函数中的面积最值问题最佳处理方法
因材教育二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0）．∴点P 坐标为（－32，154）三、切线法若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l ，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC 的解析式是y ＝x ＋3，过点P 作BC 的平行线l ，从而可设直线l 的解析式为：y ＝x ＋b ．＝278．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE ⊥x 轴交于点E ，交BC 于点F ，怍PM ⊥BC 于点M ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0），则F(x ，x ＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征；②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C点坐标为(2，t )．（1）若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3).（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的坐标．（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．4.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接PB ．（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RMP 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，已知点H (0，-1)．①在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使得S △ABH =S △ABD ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．②在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、知识点睛充分利用横平竖直的线段长函数特征几何特征互转二、精讲精练12。
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》
专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。
特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。
与面积有关的问题，更是常见。
本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。
同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。
【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。
）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。
初中数学：二次函数面积最值问题的4种解法.doc
初中数学：二次函数面积最值问题的4种解法原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。
设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。
这其实属于高中内容。
但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
解法四：三角函数法。
请大家认真看上面的解题步骤。
总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。
过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。
设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。
对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
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求“半天吊”三角形面积技巧：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。
三角
形面积的新方法:，
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
注意事项：1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;
2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;
3.根据公式: S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。
真题分析：如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B
(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及;(3)在(2)中是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.
解析：(1)由顶点C(1，4)，A（3,0）可以得出抛物线的解析式为：
y1=-x²+2x+3，已知B点的坐标为(0，3)，
所以直线AB的解析式为：y2=-x+3
(2)因为C点坐标为(1，4)，把x=1代入y2=-x+3可得D(1,2)，因此CD=4-2=2，
(3)设P(x，-x²+2x+3)，由A、D横坐标相等易知D(x，-x+3)，则PF=
=(-x²+2x+3)-(-x+3)=-x²+3x
由S△PAB= S△CAB得：× OA×PF= ×3×(−x²+3x)= ×3,
解得，x= ，则P点坐标为( ， )
二次函数中常见图形的的面积问题
1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
2、抛物线322
+--=x x
y 与x 轴交与
A 、
B （点A
在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.
（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）
图五
图四
图六
图三 备用图
备用图
3、已知抛物线42
12
--=
x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.
4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标；（3）求四边形ADBC 的面积.
5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322
--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.
（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；
（2）求A 、B 、
C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC
NAB
S S ∆∆=若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；
若不存在，请说明理由.
变式二：在双曲线3
y x
=
上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
7、抛物线322
+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．
提示：点E 的坐标可以设为（32,2
+--x x x ），x 的取值范围是-3＜x ＜0,根据题2求三角形面积的思路建立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式，体会点E 位置的不确定性对方法的选择是否有影响．
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