2015年四川省成都市新津中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p25．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣77．（5分）函数f（x）=（4﹣x）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，3）C．（4，+∞）D．（3，+∞）8．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和T n=n2，则通项a n=．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=．13．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为．14．（5分）已知sin（+α）=，则cos（）=．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）关于直线x=对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；④若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线x=对称；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题13分，21题14分.16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．18．（12分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（Ⅰ）若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=Gd′，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；（2）求直线DP与平面PBG所成角的正弦值．20．（13分）已知函数．（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求a的最小值；（2）若，对，使f′（x1）≤g（x2）成立，求a的范围．21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}【解答】解：，则M∩N={1}．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=﹣3，∴tanα==﹣，故选：D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p2【解答】D解：函数y=log2014[（2﹣x）（2+x）]，定义域均为（﹣2，2），对f（x）=log2014[（2﹣x）（2+x）]，f（﹣x）=log2014[（2+x）（2﹣x）]=f（x），∴y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数，即命题p1为真命题；对于函数，，∴为奇函数，命题p2为真命题；则有：命题p1∧（￢p2）中，p1为真命题，￢p2为假命题，“且”命题为假命题．故选：D．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选：C．6．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．7．（5分）函数f（x）=（4﹣x）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，3）C．（4，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：∵f′（x）=e x+（4﹣x）•e x=e x（3﹣x），令f′（x）＜0，由于e x＞0，∴3﹣x＜0，解得x＞3，故选：D．8．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．【解答】解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选：D．9．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴a1q m+n﹣2=16a1，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=•（）（m+n）=≥=上式等号成立时，n2=9m2，即n=3m，而m+n=6，∴m=，不成立，∴m=1、n=5时，∴=；∴m=2、n=4时，∴=；∴最小值为故选：B．10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]【解答】解：依题意，直线为（x+y﹣4）﹣λ（x﹣3y）=0，联立，解得，故定点为（3，1），log a3=1，∴a=3，．令h（x）=f（x）﹣mx+2=0，故f（x）=mx﹣2．则f（x）的图象与g（x）=mx﹣2的图象有三个不同的交点．作图，得关键点A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），可知g（x）=mx﹣2应介于直线AB与直线AC之间．由k AB=1，，故．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和T n=n2，则通项a n=2n﹣1．【解答】解：当n=1时，T1=1．当n≥2时，a n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时，上式也成立．∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=1．【解答】解：∵，∴∵∴（2）=2∴2﹣2λ=0∴λ=1故答案为：113．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为3：1．【解答】解：设这两个等差数列的前n项和分别为S n，T n，由题意知===3，故答案为：3：114．（5分）已知sin（+α）=，则cos（）=﹣．【解答】解：因为cos（﹣α）=sin（+α）=，∴cos（）=2﹣1=2×﹣1=﹣，故答案为﹣．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）关于直线x=对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；④若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线x=对称；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为①③⑤．【解答】解：对于①，f（x+a）=f（x﹣a）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a 的周期函数，充分性成立；反之，若f（x）是T=2a的周期函数，则f（x+a）=f（x﹣a）一定成立，必要性成立，故f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a），①正确；对于②，当f（x+a）=﹣f（x）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数，必要性成立；反之，f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=﹣f（x）不一定成立，即充分性不成立；故f（x）是T=2a的周期函数的必要不充分条件是f（x+a）=﹣f（x），故②错误；对于③，若f（x）关于直线x=对称，则f（a+x）=f（﹣x），又由f（x+a）=﹣f （x），可得f（x）=﹣f（﹣x），即f（x）是奇函数，故③正确；对于④，若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形不一定是轴对称图象，故④错误；对于⑤，由条件图象关于点（a，0）对称，故﹣f（x）=f（2a﹣x），又图象关于直线x=b对称，f（2b﹣x）=f（x），所以，﹣f（2b﹣x）=f（2b﹣x），即﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）．由﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）得：﹣f（2a﹣2b+x）=f（4a﹣4b+x），∴﹣（﹣f（x））=f（4a﹣4b+x），因此，f[4（a﹣b）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（a﹣b）为周期的函数．故⑤正确故答案为：①③⑤．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题13分，21题14分.16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+），∴=+3，∴=3，又，∴{}是首项为2，公差为3的等差数列．∴=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，∴．（2）b n=a n a n+1==，∴T n===．∴T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=﹣，∴由正弦定理可得：=﹣，整理得：cosAsinB+2cosAsinC=﹣sinAcosB，即2cosAsinC=﹣sin（A+B），∴2cosAsinC=﹣sinC，∴cosA=﹣，又A为三角形的内角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，①由正弦定理得：===，∴sinB=，sinC=，∴sinB•sinC=，②①代入②，sinB•sinC=≤=，当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值．18．（12分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（Ⅰ）若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样，可得抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47．…（4分）（Ⅱ）因为10名职工的平均体重为=（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71所以样本方差为：s2=（102+12+22+52+72+82+92+62+42+122）=52．…（8分）（Ⅲ）从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）．故所求概率为P（A）==…（13分）19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=Gd′，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；（2）求直线DP与平面PBG所成角的正弦值．【解答】解：（1）四棱锥P﹣ABCD中，PG⊥平面ABCD∵四面体P﹣BCG的体积为．∴∵GB=GC=2，解得：PG=4以GP，GB，GC构造长方体，外接球的直径为长方体的对角线，所以：（2R）2=16+4+4解得：R=S=4πR2=24π（2）由GB=GC=2∴△BGC为等腰三角形，GE为∠BGC的角平分线，作DK⊥BG交BG的延长线于K，∴DK⊥平面BGP．由平面几何知识可知：DK=GK=，PD=设直线DP与平面PBG所成角为α∴sin20．（13分）已知函数．（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求a的最小值；（2）若，对，使f′（x1）≤g（x2）成立，求a的范围．【解答】解：（1）依题意知，f′（x）=x2+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≥﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，而y=﹣（x+1）2+1在[1，+∞）单调递减，从而y max=﹣3，∴只需a≥﹣3．∴a min=﹣3．（2）对，使f′（x1）≤g（x2），即[f′（x）]max≤[g（x）]max，f′（x）=（x+1）2+a﹣1在单调递增，∴f′（x）max=f′（2）=8+a，g（x）在上单调递减，则，∴，则．21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，【解答】解：所以，又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）所以a=3，．所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由消去x 得（k 2+9）y 2+2kmy +m 2﹣9=0，…（5分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有，．①…（6分）因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 ．由，得 （x 1﹣3）（x 2﹣3）+y 1y 2=0．…（7分） 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得 （k 2+1）y 1y 2+k （m ﹣3）（y 1+y 2）+（m ﹣3）2=0．将 ①代入上式，解得 或m=3（舍）．…（8分）所以，令D 是直线AB 与X 轴的交点，则|DC |=则有=．…（10分） 设，则．所以当时，S △ABC 取得最大值．…（12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =第21页（共21页）⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。