最新高等院校电子信息课程第7章《一阶电路的零输入响应》电气工程
电路第七章
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
uL (0 ) 48 2 12 24V
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例5 求k闭合瞬间流过它的电流值
结论
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
含有一个动态元件电容或电感的线性电 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。
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RLC电路
应用KVL和元件的VCR得：
Ri uL uC uS (t )
2
(t >0) R i + + uL Us C – －
di d uC duC uL L LC 2 i C dt dt dt 2 d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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④换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
-
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
一阶电路的零输入响应
dt
50 1 e1500t 0.05 1500 e1500t
50 25e1500tV
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§10.4 一阶电路的全响应 一、全响应的分解
全响应：电路中输入激励和储能元件的储能共同产生的响应。
R
+
+ uR – i
–US
C
uC 0 U0
电路方程
ui US
+u US-U0 C
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+ U0
—
R0
+ C uC
—
+ R uR
—
U0
U0
R
uC
i
0
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
二、全响应的分解
1.全响应可分解为稳态分量和瞬态分量。
t
uC = uC′+ uC″ = US + （U0 - US）e
τ
稳态分量 瞬态分量
强制分量 自由分量
2.全响应可分解为零输入响应和零状态响应。
t
t
uc = uc1 + uc2 = U0e τ + US（1-e τ ）
零输入响应 零状态响应
uC US
+ uR –
uR uC i
+
R+i
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
一阶电路的零输入响应
L
diL dt
RiL
0
即
diL dt
R L
iL
0
uR RiL
对应的特征方程为
一阶线性常系数齐次微分方程
p R 0 L
pR 1
L
则微分方程的通解为
i(t)
Ae pt
R
Ae L
t
1
Ae
t
（A为待定常数）
将t=0时的电感电流初始值代入，则有
图示电路换路后电感将经电阻释放储存的能量。
随着时间的延续，电感电流逐渐下降，电阻两端的电压也 逐渐减小，最后电路中的电压和电流均趋近于零，过渡过程结 束，电路进入新的稳态。电流流经电阻将电感储存的能量变成 热能耗散。
开关S断开后，根据KVL和各元件的伏安关系可得
uL uR 0
uL
L
diL dt
意义： （1）τ值的大小表征了一阶电路过渡过程进展的快 慢。 τ值越大， uC和i衰减越慢，过渡过程越长。 这是因为电容量C越小，电容储存的初始能量越少， 维持的时间就短；而R越小，i 越大，电阻耗能越 快。适当的选择R和C，改变电路的时间常数，可 控制放电速度。
（2） τ值还是零输入响应下降为初始值的36.8%所 需时间。并且零输入响应每经过一个τ值的时间后都 衰减为原有值的36.8%。
解：10kV是高压三相电路的线电压， 星形连接时电容器两端 电压为相电压,则电容电压的初始值为：
uc
(0
)
uc
(0
)
10000 3
5770V
时间常数为： RC 100106 40106 4000s
电容电压为：
t
uc (t) uc (0 )e
1t
一阶电路的零输入响应基础知识讲解
R
现象 ：电压表坏了
10V
L
例2 t=0时 , 开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两
端电压u12。 解
iL(0 ) iL(0 )
K(t=0) 2
+1
24V
– 4
2 iL 3 4 u+L 6H
－
6
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
R 3 (2 4) // 6 6
L 6 1s
t>0
iL() 10A
iL (t ) 10(1 e100t )A
10A
+
2H uL Req
iL –
uL(t ) 10 Reqe100t 2000e V 100t
例2 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端
电压。
5 10
解
这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：
K(t=0)
10V
+
uV
–
V RV 10k
iL
解 R=10 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e t/ t 0
L 4 4104 s
RV 10k
R RV 10000
uV RV iL 10000e2500t t 0
iL
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
－
iL –
u 5I S 10iL uL 20 10e V 10t
储能大 放电电流小
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
电路原理第7章 一阶电路
3
前面几章所讨论的是电路的稳定状态。所谓稳定状态，就是电路 中的电流和电压在给定的条件下已到达某一稳定状态(对交流讲是指 它的幅值到达稳定)，稳定状态简称稳态。电路的过渡过程往往为时短 暂所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态，因而过渡过程又称 为暂态过程。暂态过程虽然为时短暂，但在不少实际工作中却是极为 重要的。
2
在电路中也有过渡过程。譬如RC串联直流电路，其中电流为零，而 电容元件上的电压等于电源电压。这是已到达稳定状态时的情况。实 际上，当接通直流电压后，电容器被充电，其电压是逐渐增长到稳态 值的，电路中有充电电流，它是逐渐衰减到零的。也就是说，RC串联 电路从其与直流电压接通ｔ＝0时，直至到达稳定状态，要经历一个过 渡过程。
因此研究暂态过程的目的就是：认识和掌握这种客观存在的物理 现象的规律，在生产上既要充分利用暂态过程的特性，同时也必须预防 它所产生的危害。
4
电路有两种工作状态：稳态和暂态。比如当电路在直流电源的作 用下，电路的响应也都是直流时，或当电路在正弦交流电源的作用下， 电路的响应也都是正弦交流时，这种电路称为稳态电路，即电路处于 稳定工作状态。描述直流稳态电路的方程是代数方程。用相量法分析 正弦交流电路时，描述正弦交流稳态电路的方程也是代数方程。前面 第2章至第5章所述就是稳态电路。当电路中存在储能元件（电感和电 容），并且电路中的开关被断开或闭合，使电路的接线方式或元件参 数发生变化（称此过程为换路），电路将从一种稳态过渡到另外一种 稳态。这一过渡过程一般不会瞬间完成，需要经历一段时间，在这一 段时间里电路处于一种暂态过程，所以称它为动态电.1（a）所示一阶电路，开关K原先是断开的，且电路 已处于稳定状态。当t=0时开关K闭合，求t≥0时电容电压uC（t）。 求解此题的步骤如下： ①由换路后的电路结构列写以uC（t）为未知量的电路微分方程。 根据KVL
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小结:
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t
y( t ) y( 0 )e
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
时间常数 的计算方法：
0
t
i
i
uC R
U0
t
e RC
R
t
I0e RC
t 0
I0
0
t
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
RC
欧法
欧伏 库
欧
安秒 伏
秒
t
= R C uc U0e t 0
t
i I0e t 0 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
R1
+
-
R2
L
R1 R2
= L / Req = L / (R1// R2 )
Req
C
= ReqC
L Req
例5：求电容两端电压。
1Ω
2Ω
5uF
6V
S(t=0)
Uc 3Ω
解： uc (0) uc (0) =3V
τ=RC
R= 2//3
6 5
τ=RC 6 5106 6106 S
U0 0.368 U0 0.135 Uu0 C0.05 U0 0.007 U0
uc
U0
U0
0.368U0
0.368U0 增加
0
t
：电容电压衰减到原来电压
36.8%所需的时间。
O 1 2 3
t
不同，衰减快慢也不同。
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
能量关系
L=4H 发现电压表坏了，为什么？
分析： iL (0+) = iL(0-) = 1 A
iL e t/
L 4 4 4104 s
R RV 10010 10000
uV RV iL 10000e2500t t 0
uV (0+)= - 10000V
∴造成 V 损坏。
C放电，C不断放能，电阻R不断耗能
直至C上电场能量衰减为0。
设uC(0+)=U0 电容放出能量
W
1 2
CU
2 0
WR
i2 (t)Rdt
0
( U0
0R
e t RC
) 2 Rdt
U
2 0
R
e dt
2t RC
0
CU e 1
2
2t RC
2
0
0
1 2
CU0
2
]
[
伏 安
秒 欧]
[秒]
-RI0
电流初始值一定： L大（R不变） 起始能量大 R小（L不变） 放电过程消耗能量小
放电慢大
时间常数=RC或L/R，表征电路固有性质，反映 过渡过程长短。
以前例RL电路放电过程为例:
I0
iL(t)
t
iL(t ) I0e
0
t= 时，iL()/I0=e-1=36.8%
得
i( t
)
I0e pt
Rt
I0e L
t 0
Rt
t
i I0e L I0e L/ R t 0
i I0
t
uL
L di dt
t
RI0e L / R
t 0
0 uL
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
t
[
]
[
L R
]
亨 [欧
]
[
韦 安欧
7-2 一阶电路的零输入响应
一阶电路：只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路 零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由电容或电感的
初始储能作用于电路产生的响应。
一、RC电路的零输入响应
已知 uC (0-)=U0 求 uC和 i 。
解: i C duC
dt
K(t=0)
i
C u+C
–
+
R uR
–
uC -uR=uC-Ri=0
二. RL电路的零输入响应
R1
Ri
+
US
K(t=0) L uL
–
i (0+)
=
i
(0-)
=
US R1
R
I0
di
L Ri 0 dt
t 0
令方程通解为 i(t ) Ae pt
特征方程 Lp+R=0
特征根 p = R L
由初始值 i(0+)= I0 确定积分常数A
A= i(0+)= I0
特征方程 RCp+1=0
RC
duC dt
uC
0
uC (0 ) U0
令通解为 uC Ae pt
代入
特征根 则
p 1 RC
1t
uC Ae RC
1t
uc Ae RC
1t
U0 Ae RC t0
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0 U0 uC
A=U0
t
∴ uc U0e RC t 0
5
t
uC uC (0)e
106 t
uC 3e 6 V
OB Ct
t0
BC AB
tan
uC duC dt
t t0
U0e t
1
U
0e
t0 t
这说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化
率衰减，经过 时间为零值。
t 0
t
uc U0e
U0
U0 e -1
2
U05
U0 e -5
uc
大 过渡过程时间的长,衰减越慢 U0
大
小 过渡过程时间的短,衰减越快
0
电压初值一定：
小 t
C 大（R不变）
W 1 CU 2 2
储能大
放电时间长
R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小
uC U0
uC(t0) A
uC(t0+ )
uc、uR、i
的曲线上任意一点的次切距 长度等于时间常数
-RI0
t= 2时，iL(2)/I0=e-2=13.5%
t= 3时，iL(3)/I0=e-3=5% ……
t= 5时，iL(5)/I0=e-5=0.7%
t
uL(t) (b)
一般认为经过3-5 时间后瞬态过程已经结束。
例4 K(t=0)
iL
10V
+
uV
–
V RV 10k
R=10
电压表量程：50V t=0时 , 打开开关K,