《应用经济数学》第三章整理.ppt
经济数学 微分中值定理课件
f F
(b) (b)
f (a) F (a)
f F
' ( ' (
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
一点C(F (), f ()), 在
该点处的切线平行于
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
但 f(x )5 (x4 1 )0,(x (0,1))矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理( 1 )如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续(,2在 ) 开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(ab)，使等式
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,
F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
f(b)f(a)f() F(b)F(a) F()
f(b)f(a)f(). ba
例4 设f函 (x )在 [0 数 ,1 ]上,连 在 (0 ,1 )内 续,可 证 :导 明
经济数学微积分-第二版第三章-第五节函数的微分
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y
3
x
2 0
x
.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2. 定义
设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
dy yxdx f (u)g( x)dx
又因为g( x)dx du,
所以复合函数y f [g( x)]的微分公式也可写成
dy f (u)du 或 dy yu du ;
(对于函数y f (u),当u是自变量时,dy f (u)du ) 结论： 无论u是自变量还是中间变量, 函数
y f (u)的微分形式总是 dy f (u)du
三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
第七节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式
与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题
经济数学基础讲义第3章导数应用
第3章导数应用3.1 函数的单调性从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．这一章中，主要讲导数在两方面的应用：1．导数在研究函数时的应用2．导数在经济中的一些应用股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？生产场景及生产曲线在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高．在下两节中就是要讨论这个问题．单调性判别下面首先讨论3.1 函数的单调性．什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．先考察y = x2，它的图形是抛物线．在x > 0 处，函数单调上升；在x < 0 处，函数单调下降．当在x > 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定小于90当在 x < 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定大于90200202<='<>='>='x y x x y x xy 时，当时，当定理 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导.(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) > 0，则f (x )在[a , b ]上单调增加；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) < 0，则f (x )在[a , b ]上单调减少．意义：利用导数的符号判别函数的单调性．说明：闭区间[a , b ]换成其它区间，如(a , b )，(-∞,b ]，(a , +∞)．使定理结论成立的区间，称为y = f (x )的单调区间．定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导．(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) >(≥) 0，则f (x )在[a , b ]上单调增加(不减)；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) <(≤) 0，则f (x )在[a , b ]上单调减少(不增) ．“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．修改后的定理3.1如下：定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导.(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) ≥ 0，则f (x )在[a , b ]上单调不减；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) ≤ 0，则f (x )在[a , b ]上单调不增．由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．结论：若0)(≡'x f ，],[b a x ∈，则c x f =)(．证： 0)(≡'x f ⇒)(x f 既单调不增又单调不减⇒c x f =)(例1 判别y = x 3+1的单调性．[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．解： 定义域为(-∞,+∞) y '(x ) = 3x 2 > 0，x ∈(-∞,+∞)，且x ≠0∴y 在(-∞,+∞)上单调增加．从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．例2 求y = 2x 3 - 9 x 2 + 12 x - 6的单调区间.[分析]首先求出定义域，再利用定理3. 1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．解： 定义域为(-∞,+∞),y ' = 6x 2 - 18 x + 12； x 2- 3 x + 2 = 0 (x – 1)( x – 2) = 0； x 1 = 1, x 2 = 2∴单调增加区间为(-∞,1]，[2，+∞)；单调减少区间为[1，2]．在右图形中x 1 = 1, x 2 = 2是分界点，在区间(-∞,1]内，函数是单调增加的；而在区间 [1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+∞)内，函数是单调增加的．例3 求xx y +=1的单调区间. 解： 定义域为(-∞,-1)，(-1，+∞),22)1(1)1()1(x x x x y +=+-+='∴ 单调增加区间为(-∞,-1)，(-1，+∞)从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．归纳：求函数单调区间的步骤：①确定)(x f 的定义域；②求f '(x ) = 0和f '(x )不存在的点，并组成若干子区间；③确定f '(x )在每个子区间内的符号，求出 f (x ) 的单调区间．例4 当x > 0时，试证ln(1+ x ) >x 2. [分析]先建立一个函数F (x )，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断 F (x )的单调增加性，得到要证明的结论．证：F (x ) = ln(1+ x ) –( x 2 )F (x ) 单调增加．又F (0) = 0，故当x > 0时，F (x ) > 0 ；即 ln(1+ x ) > x 2． 3.2 函数极值3.2.1 函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值，先看定义：定义3.1 设函数f (x )在点x 0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x (x ≠x 0)，恒有f (x ))(≥≤f (x 0)，则称f (x 0)为函数)(x f 的极大(小)值，称x 0为函数)(x f 的极大(小)值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 大家看下面这个图形：在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x 1，…，x 5和两个端点哪些点是极大值点呢？可以看到x 1是极大值点，x 4也是极大值点．端点b 是不是极大值点呢？极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．极大值点：x 1, x 4； 极小值点：x 2, x 5再找一找哪些是极小值点？x 2是一个极小值点，x 5也是一个极小值点．下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．分析函数在极值点处具有什么特征．x 1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x 5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．定理3.2如果点x0是函数f (x)的极值点，且f'(x0)存在，则f'(x0) = 0使f'(x0) = 0的点，称为函数f (x)的驻点．定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点．这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．说明：若f'(x0)不存在，则x0不是f (x)的驻点．定理3.2是极值存在的必要条件．根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极值点．例如：函数y = x3在x0=0处，f'(x0) = 0，由图可知，x0 = 0不是极值点．因此，请大家想一想：极值存在的充分条件是什么？回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．从这个图形中很容易的看出，函数 f (x)在点x0处达到极大，x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件f'(x0) = 0．特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0．由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．由这两个图可知，若x0是函数f (x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f (x)的可导点，所以满足极值的必要条件f'(x0) = 0．若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的．x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件f'(x0) = 0，但在x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．定理3.3 设函数f (x )在点x 0的邻域内连续并且可导(f (x 0)可以不存在)．如果在点x 0的左邻域内f '(x )>(<) 0，在点x 0的右邻域内f '(x )<(>) 0，那么x 0是f (x )的极大(小)值点，且f (x 0)是f (x )的极大(小)值．如果在点x 0的邻域内，f '(x )不变号，那么x 0不是f (x )的极值点．例1 设函数y = e x - x +1，求驻点．[分析]驻点就是使导数等于0的点．解：y '= e x - 1， 由 y '= e x – 1 = 0， 得x = 0注意：这里求出的x = 0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数f '(x 0) = 0是点x 0为极值点的必要条件，但不是充分条件．例2 设y = x – ln(1+x )，求极值点．[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解： 定义域),1(∞+-,0111=+-='xy ，解得x = 0 (驻点)在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点．例3 设y = 3223x - x + 7，求极值点． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解： 定义域),(∞+-∞；131-='-x y ,x = 0处导数不存在，x = 1是驻点.在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点；在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．例4 设4343x x y -=，求极值．[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．解： 定义域),(∞+-∞在x = 0的左右两边y '同号，故x = 0不是极值点；在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．求函数极值的步骤：∙ 确定函数f (x )的定义域，并求其导数f '(x )；∙ 解方程f '(x ) = 0，求出f (x ) 在定义域内的所有的驻点；∙ 找出)(x f 所有在定义域内连续但导数不存在的点；∙ 讨论f '(x )在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f (x )的极值点；∙ 写出函数f (x )的极值点和极值．3.2.2 最大值、最小值及其求法极值与最值的区别：极值是在其左右小范围内比较最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．这个函数在区间[a ，b ]内的极大值点是x 1，x 4；极小值点是x 2，x 5．现在要问这个函数在闭区间[a ，b ]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b 处的函数值最大，所以点b 就是该函数在区间[a ，b ]上的最大值点．同样，从图中可以看出x 2是区间[a ，b ]上最小值点．若将b 点往左移至5x ，从图中可以看出，最大值点是 x 4，而最小值点仍然是x 2．若将区间改为],[42x x ，则最大值点仍然是x 4，最小值点仍然是x 2．明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．函数f (x )在[a ，b ]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．端点：a ，b驻点：使f '(x ) = 0的点不可导点：f '(x )不存在的点求函数最值的步骤：① 求导数f '(x )；② 解f '(x ) = 0，求出f (x )的驻点；③ 找出f (x )连续但f '(x )不存在的点；④ 比较f (x )在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最 大值和最小值．例1 求y = x 3- 3x 2 – 9x + 5在[-4，4]上的最大值和最小值．[分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值．解：y '= 3x 2 – 6x - 9 = 3(x 2– 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0 ，x 1 = -1，x 2 = 3所以，最大值为(-1) = 10，最小值为(-4) = -71．说明：不用判别-1，3是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值。
《经济数学》课件 第三章 导数与微分
定 义
在曲线L上点 P0附近，再取一点P，作割线P0 P ，当点P沿曲 线L移动而趋向于P0 时，割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线．
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件．
目录页
第 15 页
第二节 函数的求导法则和基本求导公式
• 一、 函数求导的四则运算法则 • 二、 复合函数的求导法则 • 三、 基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ，u (v) ，v (x) ，则复合函数 y f {[ (x)]}
对 的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更
多层的复合函数．
第 19 页
LOGO 正文.第三章
第 20 页
求第
导二
公节
式 函
数复
的合
求函
导 法 则
数
∣△t ∣很小时， v可作为物体在 t0时刻瞬时速度．即
的
概 念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
经济数学第3章33节PPT课件
性质2 kf(x)dxkf(x)dx( k 为常数). 例2 求(3cosx2ex)dx
解 利用以上运算性质得
原积分 3 c o s x d x 2 e x d x 3 s i n x C 1 2 e x C 2 ,
d2xdx2xdx, dx2 x2C.
3.3.2 积分法则与积分公式
由于原函数与导函数的联系, 我们可以将求导规则与 求导公式改造成积分规则与积分公式. 例如, 由
( e x x 2 ) ( e x ) ( x 2 ) e x 2 x 可知, ex 2x的原函数 ex x2 是由 e x 的原函数与 2 x 的原 函数相加而成的, 故推测一般的和函数的原函数应当也是 由的原函数与的原函数相加而成的, 即有
R (q)2 0 0 q0 .0 3 q2.
3.3.3 积分法
求函数的原函数和不定积分的方法称为积分法. 相比求导问题, 求原函数问题显得比较困难. 原则上 讲, 连续函数的原函数都存在, 但是却不一定总能求得出 来. 在这方面, 人们总结出许多有效的规则和方法, 主要 有分项积分法, 凑微分法, 换元法和分部积分法. 由于积分公式比较多, 也由于许多积分的计算取决于 被积函数的特点. 因此, 掌握积分法, 需要进行较多的练 习.
解
c o s2 x
c o s2x s in 2xd y
(1 )c o sx s in x d x c o sx s in xd xd x
( c o s x s i n x ) d x s i n x c o s x C .
( 2 ) t a n 2 x d x c s o i n s 2 2 x x d x 1 c o c s o 2 s x 2 x d x c o s 1 2 x d x d x t a n x x C .
应用高等数学第3章3.438页PPT
平均收益函数为RxRx1000.01x R80073600 x
边际收益函.数为 . . R x1000.02x
当 x 800时的总收益. 为、平均收益为 R80092
x 改变一个单位，y （近似）改变16个单位.
二、经济学中常见的边际函数
（1）边际成本 总成本是指生产一定数量的产品所需的全部成本总额，
一般分为固定成本和变动成本. 平均成本是指生产一定数量的 产品时，每单位产品的成本.
边际成本是指总成本的变化率.
设 C 为总成本， C 0 为固定成本， C 1 为可变成本，C
CCx10000x2
80
.求
x 是 的函数
（1）当 x 800 时的总成本和平均成本.
（2）当 x 800 到 x1000 时总成本的平均变化率.
（3）当 x 800 x 840 时的边际成本，并解释其经济意义.
解 （1）当 x 800时的总成本为
C80010000800218000
80
平均成本为 C C 8 0 0 C 8 0 0 1 8 0 0 0 2 2 .5
一般称
yfx0xfx0
x
x
为函数
y f
x
在
x0,x0 x
或 x0 x,x0 内的平均变化率（速度）
根据导数的定义，导数 f x0 表示 f x 在点 x x 0
处的变化率，在经济学中，称其为 f x 在点 x x 0
处的边际函数值.
当函数的自变量 x 在 x 0 处改变一个单位（即 x 1 ）时，
函数的增量为 fx01fx0，则有近似公式
第三章 导数与微分 《经济数学》PPT课件
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
经济应用数学 第3章
令 x φ(t)，其中φ(t)是连续可导的，以使积分化为能使用基本公
式的形式．该类变量替换由于要求t关于x的表达式，所以 x φ(t) 还
需存在反函数．这类积分法称为第二类换元积分法，即
变量代换 f (x)dx x(t)
f [φ(t)]dφ(t)
求微分 f [φ(t)]φ(t)dt
3.1.2 基本不定积分公式
(1)
kdx kx C (k为常数) ; (2)
xαdx 1 xα1 C (α 1.2 基本不定积分公
(3)
1 x
dx
ln
|
x
|
C
;
(4) axdx ax C (a 0且a 1) ; ln a
3.1.1 不定积分的概念与性质
F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C .
（2） af (x)dx a f (x)dx (a 0) . （3） f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx .
性质（3）表明：两个函数代数和的不定积分等于两个函数不 定积分的代数和，该性质可以推广到任意有限多个函数代数和 （差）的情形．
uvdx uv uvdx ．
为便于应用，上式可写成
udv uv vdu ．
（分部积分公式）
使用分部积分法的关键是正确选择u和 v’（或u和dv），选择的 一般原则是：
（1）v要容易求出；
（2）vdu 比udv 更容易求出．
§3.3 定积分的概念与性质
3.3.1 引例
2．成本问题
某公司产品的成本变化情况满足如下关系式：
f (x) 500 x 3
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教学 建议 2.本章重点之二是使学生掌握利用导数研究简
单经济问题的方法，如：边际分析；弹性分析； 极值的经济应用等．
边际分析和弹性分析可配合相关课程（西方经 济学）进行教学．
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教学 建议 本章重点
1.利用导数研究函数的单调性、极值；凹凸性、 拐点．
2.利用导数进行边际分析；弹性分析；极值 的几何应用及经济应用．
本章难点 导数的经济应用．
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学习目标 之 【知识目标】
1．理解函数极值、曲线凹凸与拐点的概念． 2．掌握函数单调性、极值，曲线凹凸与拐点
的充分条件． 3．掌握边际与弹性的经济意义.
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学习目标 之 【能力目标】
1．能正确求出函数的单调性区间与极值、曲线 的凹凸区间与拐点．
《经济应用数学》 第三章
教案
教学建议
学习目标
第三章 导数的应用
§3.1 函数的单调性 极值 §3.2 极值的几何应用 §3.3 边际 弹性 §3.4 极值的经济应用 §3握利用导数研究函数 性质的方法，如：函数的单调性、极值；凹凸性、 拐点等．
2．能求出边际经济函数及经济函数的弹性， 并能进行合理的经济分析．
3．能进行合理的经济分析，能利用极值知识熟练 求解几何与经济中的最大值与最小值问题．
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