1第一章 8字模型与飞镖模型(1)
人教版数学中考专题复习微专题1 “8”字模型及飞镖模型
【模型分析】因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
例1 观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
由平移可得AC=BF.
如图所示,线段AD,BC相交于点O,结论:
∠BOC是△COD的外角,推出∠OCD+∠ODC=∠BOC.
由①②可得AB+AC>BD+CD.
∵∠BOC是△BOE的外角,
∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.
【解析】∵OA+OB>AB,①
∴ ∠EAB+∠E= ∠ECD+∠F.
∴ (∠ECD-∠E)+∠E= ∠ECD+∠F.
∴ ∠ECD- ∠E+∠E= ∠ECD+∠F.
∴ ∠E=∠F.
∴∠E=2∠F.∵∠E=42°,∴∠F=21°.
随堂测试
由①+②,得 AD+BC< OA+OD+OB+OC.
∴∠D=180°-(∠2+∠4).
练习2 如图,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2
由飞镖模型,得AB+BF>AD+DF.
∴∠A+∠B+∠BMH+∠ANC+∠1=360°.
∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.
∵BE+EC=BD+DE+EC,DE+EC>CD,
8字模型与飞镖模型
模型分析
模型分析
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往 往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导 角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
A
A
B
E
B F
C
D
图①
E 图②
A
E B
1O 2
C
D
图③
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接 CD． ∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC． ∵∠BOC是△COD的外角， ∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2 ＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
E
D ①
A
B
F E
C
D 图②
A
B
O
F
123
P
Q
E 图⑤
C D
（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型． ∵∠AOP是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角， ∴∠1＋∠3＝∠AOP． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型）， 同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
A 1 D
3M B
4
2
C
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
2020年初中数学“8字模型与飞镖模型”课件
模型二：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析
解法一：如图①，作射线AD． ∵∠3是△ABD的外角， ∴∠3＝∠B＋∠1， ∵∠4是△Aห้องสมุดไป่ตู้D的外角， ∴∠4＝∠C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4， ∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C， ∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C
解法二：如图②，连接BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°， ∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这 个模型称为飞镖模型．
（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使 用．
模型分析 ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得：
OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。 求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；
(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
证明：(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④
8字模型与飞镖模型
模型一：角的8字模型
模型分析
证法一： ∵∠AOB是△AOD的外角， ∴∠A＋∠D＝∠AOB． ∵∠AOB是△BOC的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB． ∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析 证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ．∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE ，∠EAD=∠B+∠D ，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 4321AD模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2 ∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C 解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．CAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
几何经典模型：8字模型与飞镖模型
＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
E A
A
E
B
O
B
O
C
C
D
图①
D 图②
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
本文为 word 版资料，可以任意编辑修改 本文为 word 版资料，可以任意编辑修 本文为 word 版资料，可以任意编辑修
模型 1：角的 8 字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一：
∵∠AOB 是△ AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△ BOC 的外角，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=.Dຫໍສະໝຸດ 105°AC
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1 BAD ， 2 BCD ，
飞镖、8字模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：CB A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CDBD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：DC B A ∠+∠=∠+∠解答：①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于 180证明推出②利用三角形外角的性质证明大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BCAD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边例题精讲考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【变式1-2】．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，∠ABC +∠ACB ＝100°，则∠BIC 的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考点二：8字模型【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝变式训练【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是度．【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是．实战演练1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．120°B．150°C．180°D．200°3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（）A．30°B．37°C．54°D．63°4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为．5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝．（用α，β表示）6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝度．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）度．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB 分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为．（用x、y表示∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．。
中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析 证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BEFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E＝180° 解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C图①图②模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4 ∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC ．BCA模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
三角形角度计算之八字型与飞镖模型
模型一：角的8字模型
证法二：∵∠A+∠D+∠AOD=180° ∴∠A+∠D=180°-∠AOD ∵∠B+∠C+∠BOC=180° ∴∠B+∠C=180°-∠BOC 又∵∠AOD=∠BOC ∴∠A+∠D=∠B+∠C. 以上两种证明方法都比较常用，因为这个图形像数 字8，所以我们把这个模型称为8字模型。 如图所示，AC,BD相交于点O,连接AD、BC 结论：∠A+∠D=∠B+∠C. 证法一：∵∠AOB是△AOD的外角， ∴∠A+∠D=∠AOB ∵∠AOB是△BOC的外角 ∴∠B+∠C=∠AOB ∴∠A+∠D=∠B+∠C.
解析：（1）∵AB+BC＞AC CD+AD＞AC AB+AD＞BD BC+CD＞BD 以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD＞AC+BD （2）∵AD＜OA+OD BC＜OB+OC 两式相加即可得到AD+BC＜OA+OD+OB+OC ∴AD+BC＜AC+BD(边的8字模型) 同理可证：AB+CD＜AC+BD ∴AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD
解法一，如图①，作射线AD ∵∠3是△ABD的外角 ∴∠3=∠B+∠1 ∵∠4是△ACD的外角 ∴∠4=∠C+∠2 ∴∠BDC=∠3+∠4 ∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
解法二：如图②，连接BC ∵∠2+∠4+∠D=180° ∴∠D=180°-（∠2+∠4） ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180° ∴∠A+∠1+∠3=180°-（∠2+∠4） ∴∠D=∠A+∠1+∠3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
D C B
A 图12图E A
B C D E F D
C B A O O 图12图E A
B C D E
D
C B A H G
E F D
C B
A
第一章 8字模型与飞镖模型
模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。
结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。
模型分析
8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。
热搜精练
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。
D C B
A M D C
B A O
135E F
D C B
A 105O
O
120
D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。
模型分析
飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。
模型实例
如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。
O D
C B
A O
D
C
B A
O C B A
模型3 边的“8”字模型
如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC+BD>AD+BC 。
模型实例
如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。
O
C B A
E D C B A
21P A B
C
P 图3
A B
C P 图2
1
图P
B
模型实例
如图，点O 为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD=CE 。
求证：AB+AC>AD+AE 。
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。
（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；
（2）如图②，将（1）中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由；
（3）图③将（2）中的点P 变为P 1、P 2，请比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。