2019届一轮复习北师大版排列、组合与项式定理学案

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2019年高考数学一轮复习学案+训练(北师大版理科)：第5章数列第2节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第82页)[基础知识填充]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)． (2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． [知识拓展] {a n }为等差数列，S n 是{a n }前n 项和(1)若a n ＝m ，a m ＝n ，则a m ＋n ＝0， (2)若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )， (3)若S m ＝S k (m ≠k )，则S m ＋k ＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D ．] 3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6B [由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B ．]4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.180 [由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.](对应学生用书第82页)(1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：79140171】(1)C (2)－72 [(1)设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]方程思想：等差数列的基本量为首项n 项和公式列方程组求解，等差数列中包含整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用联系，整体代换即可求解.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程[跟踪训练n n 11a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．15(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为( ) A ．16129B ．16131C ．8115D ．8015(1)B(2)A[(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{a n }，且a 1＝5，S 30＝390，设公差为d ，则30×5＋30×292×d ＝390，解得d ＝1629，则a 2＝a 1＋d ＝16129，故选A ．]n n 23(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．定义法：d 是常数⇔{等差中项法：＝a n ＋a 2n ∈N ＋⇔通项公式：qp ，为常数⇔{前An 2＋BnA ，为常数⇔{[跟踪训练] (1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n(2)已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N＋)．①求证：数列{b n }是等差数列． ②求数列{a n }中的通项公式a n . (1)A [由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.](2)①证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1. 所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．②由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝39，a 5＋a 7＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项的和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144D ．297(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝________，S n 的最大值为________.【导学号：79140172】(1)B (2)10或11 55 [(1)根据等差数列的性质知a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝39，可得a 3＝13.由a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝27，可得a 7＝9，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)2＝99，故选B ．(2)法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1. 所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0，当n ≥12时，a n ＜0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.法二：同法一求得d ＝－1. 所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4418.因为n ∈N ＋，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0. 所以3a 11＝0，即a 11＝0.所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.] 项的性质：在等差数列＝m －d ⇔m ≠，其几何意义是点n ，，m ，m 所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列{为其前n 项和，则①S 2n ＝n a 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋②S 2n －1＝n －a n .求等差数列前n 项和最值的两种方法函数法：利用等差数列前次函数最值的方法求解邻项变号法①当a 1>0[跟踪训练] (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若6a 5＝11，则11S 9＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．12(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. (1)A (2)200 [S 11S 9＝11(a 1＋a 11)29(a 1＋a 9)2＝11a 69a 5＝119×911＝1.(2)依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.]。

2019届高考数学大一轮复习第六章数列 6.2 等差数列及其前n项和学案理北师大版

§6.2 等差数列及其前n 项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.以考查等差数列的通项、前n 项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1．等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式若首项是a 1，公差是d ，则这个等差数列的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34答案 B解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝ .答案 180解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过秒落到地面．答案 20解析设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.题型一等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C解析设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二等差数列的判定与证明典例已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1(n ∈N ＋)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝ . 答案 21解析因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝ .答案 6 054解析由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.1914 C.3929 D.43答案 A解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ . 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列答案 B解析设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3．(2017·宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案 C解析数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.4．(2017·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10答案 A解析设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.5．(2017·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6答案 D解析由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2017·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 033答案 C解析因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是．答案 24解析由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝ .答案－12解析因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以14log a 1 010＝－12.9．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织尺布．答案 21解析由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布． 10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝ . 答案 130解析由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是．答案 245 解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1， ∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N ＋)，则a 10＝ . 答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列， ∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ . 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N ＋)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是．答案 121解析设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。

2019年高考数学一轮复习学案训练课件(北师大版理科) 第5章数列第4节数列求和学案理北师大版

第四节数列求和[考纲传真] (教师用书独具).掌握等差、等比数列的前项和公式.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．公式法()等差数列的前项和公式：＝＝＋；()等比数列的前项和公式：＝(\\(，＝，,(－－)＝((－)－)，≠.))．几种数列求和的常用方法()分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．()裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和．裂项时常用的三种变形：①＝－；②＝；③＝－.()错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．()倒序相加法：如果一个数列{}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．()并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如＝(－)()类型，可采用两项合并求解．例如，＝－＋－＋…＋－＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝ .[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()如果数列{}为等比数列，且公比不等于，则其前项和＝.( )()当≥时，＝.( )()求＝＋＋＋…＋之和时只要把上式等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得．( )()如果数列{}是周期为(为大于的正整数)的周期数列，那么＝.( )[答案]()√()√()×()√．(教材改编)数列{}的前项和为，若＝，则等于( )．．[∵＝＝－，∴＝＋＋…＋＝－＋－＋…－＝.]．数列{}的通项公式是＝，前项和为，则等于( )．．．．[∵＝＝－，∴＝＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－，令－＝，得＝，故选.]．数列{}的前项和为，已知＝－＋－＋…＋(－)－·，则＝.[＝－＋－＋－＋…＋－＋＝＋(－＋)＋(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)＋(－＋)＝＋＋＋…＋＝.]．若数列{}的通项公式为＝＋－，则数列{}的前项和＝.＋－＋[＝＋＝＋－＋.](对应学生用书第页)(·北京高考)已知{}是等差数列，{}是等比数列，且＝，＝，＝，＝.()求{}的通项公式；()设＝＋，求数列{}的前项和．[解] ()设等比数列{}的公比为，则＝＝＝，所以＝＝，＝＝，所以＝－(＝，…)．设等差数列{}的公差为.因为＝＝，＝＝，所以＋＝，即＝.所以＝－(＝，…)．()由()知＝－，＝－.因此＝＋＝－＋－.。

2019届一轮复习北师大版集合学案

第1练集合[明考情]集合是高考必考内容，题型基本都是选择题，难度为低档，集合与不等式、函数相结合是考查的重点. [知考向]1.集合的含义与表示.2.集合的关系与运算.3.集合的新定义问题.考点一集合的含义与表示要点重组 (1)集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性. (2)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.特别提醒研究集合时应首先认清集合中的元素是什么，是数还是点.分清集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}的区别.1.已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z 且32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A.2B.3C.4D.5 答案 C解析 ∵32－x ∈ ，2－x 的取值有－3，－1，1，3，又∵x ∈ ，∴x 的取值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2.已知集合A ＝{ ∈C | ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{ ∈C || |＝2}，则A ∩B 等于( ) A.{1＋3i ，1－3i} B.{3－i} C.{1＋23i ，1－23i} D.{1－3i}答案 A解析问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±32.故选A.3.若集合P ＝{0，1，2}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x －y －2＜0，x ，y ∈P ，则集合Q 中元素的个数是( ) A.4B.6C.3D.5 答案 D解析 Q ＝{(x ，y )|－1＜x －y ＜2，x ，y ∈P }＝{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，0)，(2，1)}， ∴Q 中有5个元素.4.设函数f (x )＝1－x 2，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.[－1，0)B.(－1，0)C.(－∞，－1)∪[0，1)D.(－∞，－1]∪(0，1)答案 A解析 A ＝[－1，1]，B ＝[0，1]， ∴阴影部分表示的集合为[－1，0).5.已知集合M ＝{3，log 2a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{0}，则M ∪N 等于( ) A.{0，1，2}B.{0，1，3}C.{0，2，3}D.{1，2，3} 答案 B解析 ∵0∈M ，∴log 2a ＝0， ∴a ＝1.又0∈N ，∴b ＝0， ∴M ∪N ＝{0，1，3}. 考点二集合的关系与运算要点重组 (1)若集合A 中含有n 个元素，则集合A 有2n 个子集. (2)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔A ∪B ＝B . 方法技巧集合运算中的三种常用方法 (1)数轴法：适用于已知集合是不等式的解集. (2)Venn 图法：适用于已知集合是有限集. (3)图象法：适用于已知集合是点集.6.(2017·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 B解析集合A表示以原点O为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合.结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.7.(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，为整数集，则集合A∩中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案 C解析由题可知，A∩＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩中的元素的个数为5.故选C.8.(2016·全国Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈}，则A∪B等于()A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}答案 C解析由(x＋1)(x－2)<0，解得集合B＝{x|－1<x<2}，又因为x∈，所以B＝{0，1}.因为A ＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.9.(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)等于()A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}，∴∁R Q＝(－2，2).又P＝[1，3]，∴P∪(∁R Q)＝[1，3]∪(－2，2)＝(－2，3].10.已知集合M＝{x|3＋2x－x2＞0}，N＝{x|x＞a}，若M∩N＝M，则实数a的取值范围是()A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)答案 C解析M＝{x|－1＜x＜3}.由M∩N＝M，可得M⊆N.由数轴观察可知a≤－1.11.(2016·天津)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}答案 D解析因为在集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10，即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.故选D.12.设集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪222xx+＝⎝⎛⎭⎫12－x －6，集合T ＝{x |mx ＋1＝0}，若T ⊆P ，则实数m 的取值组成的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，－12，0D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12答案 C 解析由222xx+＝2x +6，得x ＝2或x ＝－3，∴P ＝{2，－3}.若m ＝0，则T ＝∅，适合T ⊆P ；若m ≠0，则－1m ＝2或－1m ＝－3，∴m ＝－12或m ＝13.综上，实数m 的取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.13.若集合M ＝{y |y ＝2x }，S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式中正确的是( ) A.M ∪S ＝M B.M ∪S ＝S C.M ＝S D.M ∩S ＝∅ 答案 A解析由题意得M ＝(0，＋∞)，S ＝(1，＋∞)， ∴S M ， ∴M ∪S ＝M .14.设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.[－1，0]B.(－1，0)C.(－∞，－1)∪[0，1)D.(－∞，－1]∪(0，1)答案 D解析因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，所以A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1). 故选D.15.设全集U ＝R .若集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |2≤x ≤3}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 {1，4}解析因为∁U B ＝{x |x ＞3或x ＜2}，所以A ∩(∁U B )＝{1，4}.16.设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x ＜1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________. 答案 {2，4，6，8}解析 U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x ＜1}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}＝{1，3，5，7，9}，所以B ＝{2，4，6，8}.17.设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________. 答案 {(2，3)}解析 M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ≠2}， ∴M ∪P ＝{(x ，y )|x ≠2且y ≠3}， ∴∁U (M ∪P )＝{(2，3)}. 考点三集合的新定义问题方法技巧集合的新定义问题解题的关键是按照新的定义准确提取信息，并结合相关知识进行相关的推理运算.18.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝cos n3π，n ∈Z .N ＝{x |x ＝a ×b ，a ，b ∈A 且a ≠b }，则集合N 的真子集的个数是( ) A.31B.32C.15D.16 答案 C解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－12，1，－1，∴N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－12，－14，－1，∴N的真子集的个数是24－1＝15.19.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x2－y，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是()A.－2≤a≤2B.－1≤a≤1C.－2≤a≤1D.1≤a≤2答案 C解析因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以x－a1＋a－x>0，即a<x<a＋1，令A＝{x|a＜x＜a＋1}.由A⊆{x|－2≤x≤2}，得a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.20.对任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sin x，x∈R}，则M*N＝__________.答案[－3，0)∪(3，＋∞)解析∵M＝[0，＋∞)，N＝[－3，3]，∴M－N＝(3，＋∞)，N－M＝[－3，0).∴M*N＝(3，＋∞)∪[－3，0).21.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合.其中正确结论的序号是________.答案②解析①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈}，A2＝{n|n ＝2k，k∈}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确.1.已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5答案 C解析A＝{0，1}，B中元素为集合A的子集，∴集合B中元素的个数为22＝4.2.若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92B.98C.0D.0或98 答案 D解析当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，适合题意.当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等实根， ∴Δ＝(－3)2－8a ＝0，∴a ＝98.综上，a ＝0或a ＝98.3.已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1＜log 2x ≤2，x ∈N }，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能取值组成的集合是( )A.∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，0答案 D解析由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .∵B ＝{x |1＜log 2x ≤2，x ∈N }＝{x |2＜x ≤4，x ∈N }＝{3，4}，当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解， ∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意. 当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14.故选D.4.已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围是( ) A.[－1，2) B.[－1，3] C.[2，＋∞) D.[－1，＋∞)答案 D解析 A ＝{x |－3≤x ≤4}，由A ∩B ＝B ，得B ⊆A . 当B ＝∅时，由m ＋1≤2m －1，得m ≥2. 当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，得－1≤m ＜2.综上可得m ≥－1.解题秘籍 (1)准确理解集合中元素的性质是解题的基础，一定要搞清集合中的元素是什么. (2)和子集有关的问题，不要忽视空集.(3)求参数问题，要考虑参数取值的全部情况(不要忽视参数为0等)；参数范围一定要准确把握临界值能否取到.1.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩(∁U B )等于( )A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8} 答案 A解析由题意知，∁U B ＝{2，5，8}，则A ∩(∁U B )＝{2，5}，故选A.2.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3C.7D.31 答案 B解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.3.若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅ 答案 C解析 ∵集合A ＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}， ∴A ∩B ＝{1，－1}，故选C.4.已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2＜1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A.[0，1] B.[0，1)C.(0，1] D.(0，1) 答案 B解析由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)， N ＝{x |x 2＜1，x ∈R }＝(－1，1)，得M ∩N ＝[0，1).5.设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5} 答案 B解析 A ＝{x ∈N |x 2≥5}＝{x ∈N |x ≥5}，故∁U A ＝{x ∈N |2≤x ＜5}＝{2}，故选B.6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B等于()A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)答案 A解析由已知得A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.7.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)答案 C解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.8.设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是()A.[0，1]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案 C解析因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1，1]，所以A∪B＝[－1，2]，所以∁R(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).9.设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B等于()A.[0，1]∪(2，＋∞)B.[0，1)∪[2，＋∞)C.[0，1]D.[0，2]答案 A解析由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，所以A×B＝[0，1]∪(2，＋∞).10.已知集合A＝{x|x2－2018x＋2017＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是()A.0B.1C.11D.12答案 C解析由x2－2018x＋2017＜0，解得1＜x＜2017，故A＝{x|1＜x＜2017}.由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}.由A⊆B，可得2m≥2017，因为210＝1024，211＝2048，所以整数m的最小值为11.11.设集合S n＝{1，2，3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________.答案7解析∵S4＝{1，2，3，4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}.其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1，3}，其容量分别为1，3，3，∴S4的所有奇子集的容量之和为7.12.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案 4解析A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，即A＝(0，4]，由A⊆B，B＝(－∞，a)，且a的取值范围是(c，＋∞)，可以结合数轴分析，得c＝4.。

2019届一轮复习北师大版二项式定理课件

(2)由题意得a3为(2x-1)6的展开式中含x3的项的系数,展开式的通项为Tr+1
r r = C6 · (2x)6-r(-1)r=(-1)r26-r· x6-r,令6-r=3,得r=3,所以a3=(-1)326-3C3 =-160. C6 6
考点突破
栏目索引
规律总结 (1)对形如(ax+b)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,常用赋值法, 只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y
=1即可.
(3)一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令 g(x)=(a+bx)n,则 (a+bx)n的展开式中各项的系数的和为g(1),
n
C0 n
a + C a b +…+ C a b +…+ C b (n∈N )
1 n r n
n
n-1 1
n-r r
n n
n
*
r 二项展开式中各项的二项式系数:② Cn
(r=0,1,…,n)
二项展开
式的通项
Tr+1=③
r Cn a
n-r r
b
,它表示第④ (r+1) 项
教材研读
栏目索引
2.二项式系数的性质
1 r 5-3r 5-2r (2)Tr+1= C (2x)5-r = C5 2 x ,令5-2r=3,则r=1,所以含x3的项的系数为 4x
r 5
2 C1 5 ×2 =20.
r
考点突破
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2019年高考数学一轮复习：第5章数列第2节等差数列及其前n项和学案理北师大版

高考数学一轮专项复习ppt课件-基本计数原理与排列组合(北师大版)

自主诊断
3.书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第 3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为 __1_5___，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为__1_2_0____.
由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为4＋ 5＋6＝15.由分步乘法计数原理知，从1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120.
(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数
共有
A.144个
√B.120个
C.96个
D.72个
①当万位数字为5，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)； ②当万位数字为5，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个)； ③当万位数字为5，个位数字为4时，有4×3×2＝24(个)； ④当万位数字为4，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)； ⑤当万位数字为4，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个). 由分类加法计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个).
①当从 8 门课中选修 2 门时，不同的选课方案共有 C14C14＝16(种)； ②当从8门课中选修3门时， (ⅰ)若体育类选修 1 门，则不同的选课方案共有 C14C24＝24(种)； (ⅱ)若体育类选修 2 门，则不同的选课方案共有 C24C14＝24(种). 综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).
(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成___4_2_0___个无重复数字的四位偶数(用数字作答).
当个位数字为0时，有6×5×4＝120(个)无重复数字的四位偶数；当个位数字为2,4,6中的一个时，千位数字不能为0，有3×5×5×4＝ 300(个)无重复数字的四位偶数. 根据分类加法计数原理知，共有120＋300＝420(个)无重复数字的四位偶数.

2019届北师大版(文科数学) 排列组合与二项式定理

2019届北师大版（文科数学）排列组合与二项式定理一、排列组合 1、（2018浙江省高考题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数(用数字作答)

2、（2017浙江省高考题）从6男2女共8名生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4

人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答） 3、（杭州市2018届高三第二次模拟）盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有种不同的取法（用数字作答）．

4、（杭州市2018届高三上期期末）有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都

分别标有字母,,,ABCD，任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法共有种.（用数字作答） 5、（宁波效实中等五校2018届高三第二次（5月）联考）将一个44正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有 ▲ 种不同的染色方法． 6、（湖州、衢州、丽水三地市2018届高三上期期末）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其

中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2 个球，记取出白球的个数为X，则0PX

▲ ，EX ▲ ． 7、（湖州市2018届高三5月适应性考试）将不同颜色的2个小球放入5个不同的盒子中，每个盒子最多可以放一个小球，则三个空盒中恰有两个空盒相邻的方法共有 ▲ 种.（用数字回答） 8、（暨阳联谊校2018届高三4月联考）现将7个不同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子里，要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数，则符合要求的放法有种.（用数字作答） 9、（嘉兴市2018届高三上期期末）某市的5所校组织联合活动，每所校各派出2名生．在这10名生中任选4名生做游戏，记 “恰有两名生来自同一所校”为事件A，则)(AP ▲ ．

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第 1 页共 8 页专题六概率与统计、算法、复数、推理与证明第一讲排列、组合与二项式定理高考导航 1．考查排列、组合的实际应用． 2．考查二项式系数、常数项、二项式指定项的求解.

1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A．24 B．18 C．12 D．9 [解析] 由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共

有6×3＝18种走法，故选B. [答案] B

2．(2017·全国卷Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 [解析] 对于1＋1x2(1＋x)6，若要得到x2项，可以在



1＋

x2中选取1，此时(1＋x)6中要

选取含x2的项，则系数为C26；当在1＋1x2中选取1x2时，(1＋x)6中要选取含x4的项，即系数为C46，所以，展开式中x2项的系数为C26＋C46＝30，故选C. [答案] C 第 2 页共 8 页

3．(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A．212 B．211 C．210 D．29 [解析] ∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C3n，C7n，∴C3n＝C7

n，

得n＝10. 对(1＋x)10，令x＝1，得(1＋1)10＝C010＋C110＋C210＋C310＋„＋C1010＝210，① 令x＝－1，得(1－1)10＝C010－C110＋C210－„＋C1010＝0，② 利用①＋②可得2×(C010＋C210＋„＋C1010)＝210， ∴奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋„＋C1010＝29. [答案] D

4．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60 [解析] (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2

的系

数为C25C13＝30，故选C. [答案] C

5．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) [解析] 分两类：

①有一个数字是偶数的四位数有C14C35A44＝960个． ②没有偶数的四位数有A45＝120个．故这样的四位数一共有960＋120＝1080个． [答案] 1080

考点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． [对点训练]

1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所第 3 页共 8 页

有元素的和，则集合A，B共有( ) A．12对 B．15对 C．18对 D．20对 [解析] 依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，

有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D. [答案] D

2．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 [解析] 第一步：将4项工作分成3组，共有C2

4种分法．

第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A33种分配方法，故共有C24·A33＝36种安排方式，故选D. [答案] D

3．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1120,343,275)，那么所有凸数的个数为( ) A．240 B．204 C．729 D．920 [解析] 分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；

当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数． [答案] A

两个计数原理的应用技巧 (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．第 4 页共 8 页

考点二排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复

不同点 ①排列与顺序有关； ②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ①组合与顺序无关； ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 [对点训练] 1．(2017·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 B．120 C．144 D．168 [解析] 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A3

4＝144，其中3

个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B. [答案] B [探究追问] (1)若第1题中改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？ (2)若第1题中改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？” [解析] (1)(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排

列，共有A33种不同排法．又歌舞类节目有A33种排法，小品类节目有A22种排法，所以共有A33×A33×A22＝72(种)不同排法． (2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A13·A24

A33＝216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有A12·A14·A44＝192(种)排法．故

共有216＋192＝408(种)不同的排法． [答案] (1)72种 (2)408种

2．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) [解析] 从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C48－C4

6＝55.

从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A24＝12种．故总共有55×12＝660种选法． [答案] 660

3．(2017·北京西城一模)某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须第 5 页共 8 页

在D的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答) [解析] B与C必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有A4

4种排法，而B

与C的顺序有A22种排法，又A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排

列顺序有A44·A22A22＝24(种)． [答案] 24

解排列组合综合应用题的解题流程

考点三二项式定理 1．通项与二项式系数 Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0,1,2，„，n)，其中Ckn叫做二项式系数． 2．二项式系数的性质 (1)C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，„，Crn＝Cn－rn； (2)C0n＋C1n＋C2n＋„＋Cnn＝2n； (3)C1n＋C3n＋C5n＋„＝C0n＋C2n＋C4n＋„＝2n－1. [对点训练]

1．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A．－80 B．－40 C．40 D．80 第 6 页共 8 页

[解析] (2x－y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·(2x)5－r·(－y)r＝(－1)r·25－rCr5·x5－ryr.其中x2y3

项的系数为(－1)3·22·C35＝－40，x3y2项的系数为(－1)2·23·C25＝80.于是(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为－40＋80＝40. [答案] C

2．(2017·大连质监)ax＋1x(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A．－20 B．－10 C．10 D．20 [解析] 令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以ax＋1x(2x－1)5＝



x＋

x(2x－1)5，则

展开式中常数项为2C45(－1)4＝10. [答案] C

3．(2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( ) A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5 [解析] 设第r＋1项的系数最大，

则有 Cr7·2r≥Cr－17·2r－1，Cr7·2r≥Cr＋17·2r＋1，

即 7！r！7－r！·2r≥7！r－1！7－r＋1！·2r－1，7！r！7－r！·2r≥7！r＋1！7－r－1！·2r＋1，

即 2r≥18－r，17－r≥2r＋1，解得 r≤163，r≥133. 又∵r∈ ，∴r＝5.∴系数最大的项为T6＝C57x2·25y5＝672x2y5.故选C. [答案] C

4．(2017·江西抚州一模)在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b.若(2－bx)7＝a0

＋a1x＋„＋a7x7，则a1＋a2＋„＋a7＝________. [解析] 在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b，则b＝C24－C1

4＝2.

(2－2x)7＝a0＋a1x＋„＋a7x7，令x＝0，得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋„＋a7＝0， ∴a1＋a2＋„＋a7＝0－27＝－128.

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