2018年秋人教B版数学选修1-1练习：3.2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表 Word版含解析
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-2-1~3-2-2常数与幂函数的导数和导数公式表
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[解析]
∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
π
π 3 ∴y′|x＝ ＝－sin ＝－ . 3 2 3
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
5 ． 曲 线 y ＝ xn 在 x ＝ 2 处 的 导 数 为 12 ， 则 n 等 于 ____________． [答案] 3
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
本节重点：常数函数、幂函数的导数．
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到
幂函数的求导公式．
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
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第三章 导数及其应用
3
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求简单函数的导数．
2．过程与方法 通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握
利用导数公式求函数导数的方法．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导与归纳，进一步体会极限思想，培养
从特殊到一般、从有限到无限的思维方法；通过使用数学 软件求导，体会算法思想，进一步感受数学的应用价值， 培养探究问题、发现问题的兴趣．
1 1 1 y′＝x＝k，∴x＝k，切点坐标为 k，1，
)
[答案] C
[解析]
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1 又切点在曲线 y＝lnx 上，∴ln ＝1， k 1 1 ∴ ＝e，k＝ . k e
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
二、填空题 π 1 4．曲线 y＝cosx 在点 P( ， )处的切线的斜率为 3 2 ____________．
2018年秋人教B版数学选修1-1课件：3.2.3
反思运用求导法则和导数公式求导的基本步骤: ①分析所给函数y=f(x)的结构和特征,对于不符合求导法则公式 结构形式的可适当进行变形. ②选择恰当的导数公式和求导法则进行求导. ③整理后得结果.
题型一
题型二
题型三
求曲线的切线 3 3 2 【例2】 已知函数 f(x)=ax - x +1 (x∈R),其中a=1,求曲线y=f(x)在 2 点(2,f(2))处的切线方程. 分析:利用导数公式和求导法则求出f'(2),再用点(2,f(2))在曲线上求 得f(2),即可求切线方程. 3 3 2 解:∵a=1,∴ ,f1 (2)=3,f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6. f(x)=x - x + 2 ∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9. 反思能够利用导数公式和求导法则准确地对所给函数求导是解 决问题的关键,因此要熟记导数公式和求导法则.
2.如何运用运算法则求初等函数的导数? 剖析:要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函 数的和、差、积、商的形式,再利用运算法则求导.在求导过程中, 要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣求导法则,联系基本初等 函数的求导公式进行求导.对于不具备求导法则结构形式的要进行 适当的恒等变形.如:y=sin 2x,此函数不是基本初等函数也不具备求 导法则的结构形式,可对其进行变形为y=sin 2x=2sin xcos x,然后用 积的导数运算法则求导.
(3)函数商的求导法则: 【做一做 4】
1 ������(������)
������(������) ������(������)
'=
������(������)������'(������)-������(������)������'(������) (其中 ������2 (������)
2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3-2-1
3．2.1 常数与幂函数的导数3．2.2 导数公式表学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 常数与幂函数的导数知识点二 基本初等函数的导数公式表类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x 2；(5)y ＝log 12x ；(6)y ＝3x .反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导． 跟踪训练1 给出下列结论： ①(cos x )′＝sin x ； ②(sin π3)′＝cos π3；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；④(2e x )′＝2e x ； ⑤(log 4x )′＝1x ln 4；⑥(2x )′＝2x .其中正确的有________个． 类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由． 引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．1．下列结论： ①(sin x )′＝cos x ； ②(53x )′＝23x ； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 3．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.4．求过曲线y ＝sin x 上的点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程．5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π2－x )．1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．答案精析知识梳理 知识点一 0 1 2x －1x 2知识点二0 ux u －1 cos x －sin x a x ln ae x1x ln a 1x题型探究例1 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x－4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(6)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. 跟踪训练1 3解析 因为(cos x )′＝－sin x ， 所以①错误；因为sin π3＝32，而(32)′＝0，所以②错误；因为f ′(x )＝(1x 2)′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227，所以③正确；因为(2e x )′＝2e x ，所以④正确； 因为(log 4x )′＝1x ln 4，所以⑤正确；因为(2x )′＝2x ln 2，所以⑥错误．例2 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为 k ＝4－12＋1＝1， 又切线与PQ 垂直， 所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为(－12，14)．所以所求切线方程为 y －14＝(－1)(x ＋12)， 即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M (12，14)，所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.跟踪训练2 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为 k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0 ＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．例3 解 依题意知，抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离为d ＝|12－14－2|2＝728.跟踪训练3 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率为k ＝ y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1， 故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大， 故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大． 当堂训练1．C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，故选C.] 2．A [∵根据导数的定义， 可得f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3.1e解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e. 4．解 曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为 y －12＝－233(x －π6)，即123x ＋18y －23π－9＝0. 5．解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.(3)∵y ＝x 2x ＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10.(5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .。
2018年秋人教B版数学选修1-1练习：3.3.2 利用导数研究函数的极值含解析
3.3.2利用导数研究函数的极值课时过关·能力提升1.在下面函数y=f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是()A.x1B.x2C.x3D.x4答案:C2.在上题的函数图象中,是f'(x)=0的根但不是函数f(x)的极值点的是()A.x0B.x2C.x3D.x4答案:A3.函数y=x2+2x的极小值为()A.-2B.-1C.0D.1答案:B4.函数f(x)=x ln x在[1,e]上的最小值和最大值分别为()A. 0,eln eB.0C. eD.0,e解析:f'(x)=ln x+1.当1≤x≤e时,f'(x)=ln x+1>0,故f(x)=x ln x在[1,e]上是增函数.因此,当x=1时,f(x)取得最小值0;当x=e时,f(x)取得最大值e.答案:D5.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M,N,则M-N的值为()A.2B.4C.18D.20解析:令f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=0,得x=±1,又x∈[0,3],∴x=1.则x∈(0,1)时,f'(x)<0;x∈(1,3)时,f'(x)>0.又f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,∴M=18-a,N=-2-a,∴M-N=20.答案:D6.关于函数f(x)=x3-3x2,给出下列四个命题:①f(x)是增函数,无极值;②f(x)是减函数,无极值;③f(x)单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2);④f(x)在x=0处取得极大值0,在x=2处取得极小值-4.其中正确命题是.(填序号)答案:③④7.已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的两个极值点为x1,x2,且x1x2=2,则a=.解析:f'(x)=6x2+6(a+2)x+3a.∵x1,x2是f(x)的两个极值点,∴f'(x1)=f'(x2)=0,即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的两个根,从而x1x a=4.答案:48.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是.解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2).令f'(x)=0,即x2+2ax+a+2=0.∵f(x)既有极大值又有极小值,∴f'(x)=0有两个不相同的实数根.∴Δ=4a2-4(a+2)>0.解得a>2或a<-1.答案:a<-1或a>29.求曲线f(x+4ln x上切线斜率的极小值点.分析:先求曲线f(x)上的切线的斜率,即函数f(x)的导数f'(x),再求f'(x)的极小值.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x令h(x)=x+,则h'(x)=1-.当0<x<2时,h'(x)<0,h(x)在(0,2)内是减函数;当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内是增函数.所以h(x)在x=2处取得极小值,且h(2)=4,故曲线f(x)=x2+4ln x上切线斜率的极小值点为2.★10.设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值.分析:按照求函数极值的步骤求解即可.解:由f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,知f'(x)=cos x+sin x+1,于是f'(x)=令f'(x)=0,从而si x=π或x当x变化时,f'(x),因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)f(π)=π+2.。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
2018年秋人教B版数学选修1-1练习：3.3.1 利用导数判断函数的单调性含解析
3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课时过关·能力提升1.函数y=2x-x2的单调递增区间为()A.(-∞,2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案:B2.函数y-9x+5的单调递减区间为()A.(-∞,-3)和(0,3)B.(-3,3)C.(-3,0)D.(-∞,-3)和(3,+∞)答案:B3.在区间(a,b)内,f'(x)>0,且f(a)≥0,则在区间(a,b)内有()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定解析:由f'(x)>0,知f(x)在区间(a,b)内是增函数.又f(a)≥0,故f(x)>0.答案:A4.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为()C.(0,+∞)D.(0,a)解析:令f'(x(ax-1)x<0.又a>0,所以0<x答案:A★5.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()解析:由函数y=xf'(x)图象,知在(-∞,-1)上,f'(x)>0,f(x)在此区间上是增函数;在(-1,0)上,f'(x)<0,f(x)在此区间上是减函数;在(0,1)上,f'(x)<0,f(x)在此区间上是减函数;在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)在此区间上是增函数.结合所给选项应选C.答案:C6.函数f(x)=sin x,x∈(0,2π)的单调递减区间为.解析:f'(x)=cos x,令f'(x)<0,即cos x<0,又x∈(0,2π),所以x∈答案7.函数y=x3-6x2+3x+1的单调递增区间为,单调递减区间为.解析:令f(x)=x3-6x2+3x+1,则f'(x)=3(x-x-.当x∈(-∞,f'(x)>0,f(x)在(-∞;当x∈,f'(x)<0,f(x);当x∈+∞)时,f'(x)>0,f(x)+∞)上是增函数.综上,f(x)的单调递增区间是(-∞+∞),f(x)的单调递减区间.答案:(-∞+∞)8.若函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围为.解析:y'=3ax2-1,∵函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,∴3ax2-1≤0在R上恒成立,当x=0时,恒成立,当x≠0时,a≤.a≤0.答案:(-∞,0]9.已知函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5,5),求函数f(x)的单调递增区间.分析:先根据f(x)在区间(-5,5)内为减函数求得a值,再应用导数求f(x)为增函数的区间.解:f'(x)=3x2+a.∵在(-5,5)上函数f(x)是减函数,则-5,5是方程3x2+a=0的根.∴a=-75.此时,f'(x)=3x2-75.令f'(x)>0,则3x2-75>0.解得x>5或x<-5.∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-5)和(5,+∞).★10.已知函数f(x)=x3-ax-1,(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a ,使f (x )在(-1,1)内单调递减?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (3)求证f (x )=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.分析:(1)利用函数的单调性与导数的关系可得到f'(x )≥0在R 上恒成立,然后用分离参数法可求参数a 的范围.(2)若找到a 的值满足不等式f'(x )≥0在(-1,1)上恒成立,则a 存在,否则不存在. (3)特值验证,若找到图象上点的坐标小于等于a ,则命题得以证明. 解:(1)由已知f'(x )=3x 2-a.∵f (x )在R 上是增函数,∴f'(x )=3x 2-a ≥0在R 上恒成立, 即当a ≤3x 2时,x ∈R 恒成立. ∵3x 2≥0,∴只需a ≤0.又当a=0时,f'(x )= 3x 2≥0,f (x )=x 3-ax-1在实数集R 上是增函数,∴a ≤0. (2)由f'(x )=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立,得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.由求a 的过程知当a ≥3时,f (x )在(-1,1)上是减函数,故这样的实数a 存在. 实数a 的取值范围为[3,+∞). (3)∵f (-1)=a-2<a ,∴f (x )的图象不可能总在直线y=a 上方.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+bx-b-a ba 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
人教B版选修1-1高中数学3.2.1《常数与幂函数的导数》word基础过关
§3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A ．0B ．1C ．2D ．32．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2 B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－54．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y＝12x-在点(a，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64 B．32 C．16D．89．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，则实数k的值为()A.1e B．－1e C．－eD．e10．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.11．求与曲线y＝3x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′ ＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝35x ⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝31535x -＝2535x -＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 8．A 9．D 10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝23x -⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝1323x -，∴y ′|x ＝8＝23×138-＝13.即在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3. 从而适合题意的直线方程为 y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 02)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3-1-3
3．1.3导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n趋近于点P时，割线PP n趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在________的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________．类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．类型二 求切点坐标例3 已知曲线y 1＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y 2＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值． 引申探究1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值．2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．反思与感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．类型三导数几何意义的应用例4已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)反思与感悟导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－13．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°4．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.5．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为________．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，即k ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点思考1 割线PP n 的斜率为k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0) (3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)题型探究例1 解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点坐标为P (2,4)． ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 跟踪训练1 －3例2 解 设切线在抛物线上的切点坐标为(x 0，14x 20)，∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0， ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1.∴切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程．跟踪训练2 解 设切点坐标为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线的斜率为k ＝1，过(－1，0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0；当x 0＝－2时，切线的斜率为k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0. 例3 解 y ′1|x ＝x 0＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－1－(x 20－1)Δx ＝2x 0，y ′2|x ＝x 0＝lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.引申探究1．解 ∵y ′1|x ＝x 0＝2x 0， y ′2|x ＝x 0＝－3x 20.又曲线y 1＝x 2－1与y 2＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直， ∴2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．解 由例3知，x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两条平行切线方程分别为 y ＝－1，y ＝1.当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两平行切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 跟踪训练3 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )|x ＝x 0＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝3x 20－4x 0，又由题意可知k ＝4，∴3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，解得a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 例4 k 1>k 3>k 2解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2.跟踪训练4 (1)A (2)－7 当堂训练1．C 2.A 3.C 4.－2 5.(3,30)。
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3.2导数的运算
3.2.1常数与幂函数的导数
3.2.2导数公式表
课时过关·能力提升
1.下列结论正确的是()
A.若y=sin x,则y'=cos x
B.若y=cos x,则y'=sin x
C.若y y'
D.若y y'
答案:A
2.下列命题正确的是()
A.(log a x)'.(log a x)'
C.(3x)'=3x
D.(3x)'=3x ln 3
答案:D
3.已知f(x)=x a,若f'(-1)=-4,则a的值等于()
A.4
B.-4
C.5
D.-5
解析:f'(x)=ax a-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.
当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.
当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.
答案:A
4.已知f(x)=x4,则f'(2)=()
A.16
B.24
C.32
D.8
答案:C
★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f (x)的导函数,则g(-x)=()
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).
答案:D
6.常数的导数为0的几何意义是.
答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0
7.曲线y=cos x在点x.
解析:co y=cos x上,y'=-sin x,当x,y'=-1.所以切线方程为y=-1·x+y.
答案:x+y
★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(a k x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若
a1=16,则a1+a3+a5的值是.
解析:∵函数y=x2,y'=2x,
∴函数y=x2(x>0)在点(a k y a k(x-a k),
令y=0得a k+
又∵a1=16,
∴a=4,a=1,
∴a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案:21
9.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.
分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.
解:设切点A(x0.因为y'=2x,
所
所
故当k,直线y=x与函数y=x,切点坐标
★10.已知y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.
(1)求a的值;
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.
分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;
(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)y=cos x上,
∴a=co
(2)∵y'=-sin x,
∴k l=y
又∵所求直线与直线l垂直, ∴所求直线的斜率
∴所求直线方程为y
即y。