离散型随机变量的均值公开课课件
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离散型随机变量的均值ppt课件
E(X)＝2×1114＋3×1633＋4×1126＝290.
X ax1+b ax2+b … axk+b … axn+b
P p1
p2
…
pk
…
pn
随机变量Y的数学期望是：
E(Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 ... (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 ... xn pn ) b( p1 p2 ... pn ) aE( X ) b.
例题讲解
例1 甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立 的随机变量X与Y，且X ，Y的分布列为：
X123
Y1 23
P 0.3 0.1 0.6
P 0.3 0.4
问：甲、乙两名射手谁的射击水平高?
0. 3
解： E( X ) 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3； E(Y ) 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2.0.
1, 1 和 1.用X表示这颗糖果的价格,则它是一个离 23 6 散型随机变量,其分别列为
X
18
24
36
1
1
1
P
2
3
6
因此权数恰好是随机事变量X的分布列.这样,每 千克混合糖果的合理价格为
18PX 18 24PX 24 36PX 36.
一、均值(数学期望)定义
一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为
若X~B(n，p)，则E(X)=np.
各种不同概率模型下的数学期望
若X~B(1，p)
则E(X) ＝p
若X~B(n，p)
则E(X)＝np
若X~H(N ，M ， n)
则E(X)＝
nM N
思考 随机变量的均值与样本的平均值有何联系 与区别?
离散型随机变量的均值公开课课件
解：由已知条件和概率的加法公式有：
P( X 300) 0.3,
P(300 X 700) P( X 700) P( X 300) 0.7 0.3 0.4 . P(700 X 900) P( X 900) P( X 700) 0.9 0.7 0.2
45 55 8550 80 90 85.5 100 100 100
18
元
kg
24
元
kg
36
元
kg
按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
18 24 问题1：混合后，每1kg糖的平均价格为多少？
36
1 6
X表示这颗糖果的单价（元 /kg ），写出X的 m 3 2 1 m m m 分布列。 18× + 24 × + 36 × 26 1 63 6 E =18×P（ =18 +24 （ ） +36×P（ =36） ） 18 × P 24 =24 36 6 6 6 问题3: 作为顾客，买了1kg糖果要付23元，而顾客 元 ＝２ 3 买的这1kg糖果的真实价格一定是 23元吗？ kg
则称 E x1 p1 x2 p2 平均水平.
为 的数学期望或均值,它反映了随机变量取值的
xn pn
问题4：离散型随机变量 的期望与 可能取值 的算术平均数相同吗？
期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率 意义下的平均值。随机变量 ξ取每个值时概率不 同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。
2
0.3
3
0.1
(1) (2) (3)
甲做对题目个数的期望 E （）=0 0.1+1 0.5+2 0.3+3 0.1=1.4 写出学生甲得分η的分布列 甲得分的期望
离散型随机变量的均值教学课件(共33张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
解：
由均值定义，得 EX=0•P（X =0）+1•P（X =1）=0•（1-p）+1•p=p．
所以，服从参数为p的两点分布的均值EX=p．
例2 设X表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX．
解：
依题意知X的分布列为 P X
i
1 i
6
1,2,3,4,5,6
如下表：
i
1
2
3
4
5
6
P(X=i)
1
1
1
1
1
思考交流
举例说明不同的分布会有相同的均值.
结论
设离散随机变量 的分布列如下表：
0
1
2
p
1
3
1
5
5
5
E 0 1 1 3 2 1 1
55 5
设离散随机变量 的分布列如下表：
1
1
3
2
2
p
1
2
1
6
3
6
E 1 1 1 2 3 1 1
26 3 26
例题来了
例1 设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX．
显然，西瓜的平均质量不是 5kg，6 kg，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应
质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是 5kg，6kg，7 kg 的加权平
均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例．
类比问题3的方法，给出问题2的解决方法．
用随机变量X三个取值0，1，2的加权平均
学习重点
离散型随机变量均值的含义及其应用．
学习难点
离散型随机变量均值的含义及其应用．
新课导入
已知在 10 件产品中有 2 件不合格品. 从这 10 件产品中任取 3 件, 用X表示取 得产品中的不合格品的件数. 我们可求得X的分布列如表:
由均值定义，得 EX=0•P（X =0）+1•P（X =1）=0•（1-p）+1•p=p．
所以，服从参数为p的两点分布的均值EX=p．
例2 设X表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX．
解：
依题意知X的分布列为 P X
i
1 i
6
1,2,3,4,5,6
如下表：
i
1
2
3
4
5
6
P(X=i)
1
1
1
1
1
思考交流
举例说明不同的分布会有相同的均值.
结论
设离散随机变量 的分布列如下表：
0
1
2
p
1
3
1
5
5
5
E 0 1 1 3 2 1 1
55 5
设离散随机变量 的分布列如下表：
1
1
3
2
2
p
1
2
1
6
3
6
E 1 1 1 2 3 1 1
26 3 26
例题来了
例1 设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX．
显然，西瓜的平均质量不是 5kg，6 kg，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应
质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是 5kg，6kg，7 kg 的加权平
均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例．
类比问题3的方法，给出问题2的解决方法．
用随机变量X三个取值0，1，2的加权平均
学习重点
离散型随机变量均值的含义及其应用．
学习难点
离散型随机变量均值的含义及其应用．
新课导入
已知在 10 件产品中有 2 件不合格品. 从这 10 件产品中任取 3 件, 用X表示取 得产品中的不合格品的件数. 我们可求得X的分布列如表:
人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》(共13张PPT)教育课件
•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
复习巩固
21布..3离列.1散及离型其散随性型的机质随均变机值量变X量的概率分 2.两点分布 3.二项分布
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的含义， 能计算简单离散型随机变量的均值．
2.理解离散型随机变量均值的性质．
3.掌握两点分布、二项分布的均值．
问题引入
某商场要将单价分别为18元/kg，24元 /kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例 混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电
离散型随机变量的均值 课件
研究有限个随机变量的均值的情况.
2.随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身所固有的一
个数字特征.它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
3.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
因为E(aX+b)=aE(X)+b,所以随机变量X的线性函数Y=aX+b的均
1 2
3
=
题进入决赛的概率为C54
64
= 81.
(2)依题意,ξ 的可能取值为 3,4,5,
P(ξ=3)=
2 3
3
P(ξ=4)=C43
+
1 3
3
2 3
3
2 3
3
×
P(ξ=5)=C53 ×
×
×
=
1
;
3
1 3 2
1
3
+ C4 × 3 × 3 =
3
2 2
1 2
3
+ C5 × 3 ×
3
40
;
81
1 3
3
则答题个数的分布列为
对2道题,答错2道题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复
试验,不是对全部进行独立重复试验.
(2)甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2道题,第4题答对进入决
赛,或前3题中有2道题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前
4题中的2道题.
2 3
8
正解:(1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为 3 = 27;
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环
数的数学期望高,从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如
2.随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身所固有的一
个数字特征.它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
3.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
因为E(aX+b)=aE(X)+b,所以随机变量X的线性函数Y=aX+b的均
1 2
3
=
题进入决赛的概率为C54
64
= 81.
(2)依题意,ξ 的可能取值为 3,4,5,
P(ξ=3)=
2 3
3
P(ξ=4)=C43
+
1 3
3
2 3
3
2 3
3
×
P(ξ=5)=C53 ×
×
×
=
1
;
3
1 3 2
1
3
+ C4 × 3 × 3 =
3
2 2
1 2
3
+ C5 × 3 ×
3
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;
81
1 3
3
则答题个数的分布列为
对2道题,答错2道题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复
试验,不是对全部进行独立重复试验.
(2)甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2道题,第4题答对进入决
赛,或前3题中有2道题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前
4题中的2道题.
2 3
8
正解:(1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为 3 = 27;
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环
数的数学期望高,从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如
课件1：4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值
初试身手
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化．
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．
() ()
(3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)＝2，则 E(2X)＝4.
()
(4)随机变量 X 的均值 E(X)＝x1＋x2＋n …＋xn. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
【例 2】 已知随机变量 X 的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
若 Y＝－2X，则 E(Y)＝________.
【解析】由随机变量分布列的性质，得 14＋13＋15＋m＋210＝1，解得 m＝16， ∴E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×210＝－3107. 由 Y＝－2X，得 E(Y)＝－2E(X)， 即 E(Y)＝－2×－1370＝1175. 【答案】1175
[跟进训练]
2．已知随机变量 ξ 和 η，其中 η＝12ξ＋7，且 E(η)＝34，
若 ξ 的分布列如下表，则 m 的值为( )
ξ123 4
P
1 4
m
n
1 12
1
1
1
1
A.3
B.4
C.6
D.8
【解析】因为 η＝12ξ＋7，则 E(η)＝12E(ξ)＋7， 即 E(η)＝121×14＋2×m＋3×n＋4×112＋7＝34. 所以 2m＋3n＝53，① 又14＋m＋n＋112＝1，所以 m＋n＝23，② 由①②可解得 m＝13. 【答案】A
1． (2)设离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝k) ＝C3k00·31k·23300－k(k＝0,1,2，…，300)，则 E(X)＝______. 【解析】由 P(X＝k)＝Ck300·31k·23300－k，
课件7：2.3.1 离散型随机变量的均值
[解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋210＝1，解 得 m＝16. (2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×210＝－1370. (3)解法一：由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X－3)＝ 2E(X)－3＝2×－1370－3＝－6125.
[跟踪训练]
已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且 E(ξ)＝6.3.
ξ4 a 9
(1)求 b；
P 0.5 0.1 b
(2)求 a；
(3)若 η＝2ξ－3，求 E(η)．
[解] (1)由随机变量的分布列的性质，得 0.5＋0.1＋b＝1， 解得：b＝0.4. (2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3. 解得：a＝7. (3)由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b 得：E(η)＝E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6.
[跟踪训练] 1．甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙 每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为 X，乙击中目标 的次数为 Y， (1)求 X 的概率分布列； (2)求 X 和 Y 的数学期望．
[解] (1)已知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck312k123－k. 则 P(X＝0)＝C30×123＝18；P(X＝1)＝C13×12×122＝38； P(X＝2)＝C32×122×12＝38；P(X＝3)＝C33×123＝18. 所以 X 的概率分布列如下表：
2．两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布的均值 由数学期望的定义可知，若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布， 则 E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p. 这表明在只有两个可能结果的随机试验中，离散型随机变量 X 的 均值为 p. (2)二项分布的均值 在 n 次独立重复试验中，若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np.
离散型随机变量的均值 课件
[解析] (1)由离散型随机变量分布列的性质， 得 0.4＋m＋0.3＝1. ∴m＝0.3，∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8. (2)方法一：∵Y＝5X＋4， ∴随机变量 Y 的分布列为：
Y 4 14 24 P 0.4 0.3 0.3 ∴E(Y)＝4×0.4＋14×0.3＋24×0.3 ＝1.6＋4.2＋7.2＝13.
数学期望的实际应用
某公司有客户 3000 人，若公司准备了 100 份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设收到邀请的任一 客户去领奖的概率为 4%.问：公司能否向每一位顾客都发出领 奖邀请？若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖 人都得到礼品，公司至少应准备多少份礼品？
[分析] 由客户发出邀请后，每一位客户领奖的概率都为 4%，且各客户是否领奖相互独立，向 3000 个客户发出领奖邀 请，就是做了 3000 次独立重复试验，故随机变量 X 服从二项分 布，可直接用二项分布的均值公式求解．
(2)“甲投球次数”ξ 的取值为 1、2、3，ξ＝1 表示第一次 甲中；ξ＝2 表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3 表示 第一、二次甲、乙都不中．
[解析] 设 Ak，Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中，则 P(Ak)＝13，P(Bk)＝12，(k＝1,2,3)． (1)记“甲获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率 与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C)＝P(A1)＋P( A 1 B 1A2)＋P( A 1 B 1 A 2 B 2A3) ＝P(A1)＋P( A 1)P( B 1)P(A2)＋P( A 1)P( B 1)P( A 2)P( B 2)P(A3) ＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13 ＝1237.
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变式 将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2 +1， 试求Y的期望？
Y 3 1 6
P
5 1 6
7 1 6
9 1 6
11 1 6
13 1 6
所以随机变量Y的均值为 E(Y) =3× 1/6+5× 1/6 +7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8 =2E( )+1 合情猜想：如果ξ是随机变量，a,b是常数， 随机变量η=aξ+b,
P(300 X 700) P( X 700) P( X 300) 0.7 0.3 0.4 . P(700 X 900) P( X 900) P( X 700) 0.9 0.7 0.2
P( X 900) 1 P( X 900) 1 0.9 0.1
为 的数学期望或均值,它反映了随机变量取值的
xn pn
思考：随机变量 的期望 与 可能取值的算术平均 数何时相等? 各取值概率相等时 例1：随机抛掷一次骰子，求所得骰子的点数 的期望。
p
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
1 1 1 7 E = 1× + 2 × + ... + 6 × = 6 6 6 2 1 + 2 + ...+ 6 7 ξ可能取值的算术平均数 为 = 6 2
2
0.3
3
0.1
(1) (2)
甲做对题目个数的期望 E （）=0 0.1+1 0.5+2 0.3+3 0.1=1.4 甲得分的期望
E(10 ξ )=10E ξ =14
四、链接高考
四、链接高考 （2012高考湖北理）根据以往的经 验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工 期的影响如下表：
EX 2.1 3 0 .7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则
EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球 次数的数学期望是
3
.
归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①确定离散型随机变量可能的取值。 ②写出分布列，并检查分布列的正确与否。
降水量X
工期延误天数Y X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于 300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：工期延误天数 Y 的均值。
解：由已知条件和概率的加法公式有：
P( X 300) 0.3,
所以Y 的分布列为：
Y
P
0 0.3
2 0.4
6 0.2
10 0.1
于是 E (Y ) 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1 3
故工期延误天数Y的值为3
.
五、作业：课本p.68 习题2.3 A组 1.2.3.4
高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均 分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求 两班的数学平均分。 提问1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？ 如果不能，应该怎么做？
45 80 55 90 8550 85.5 100 100 提问2：能否用各班的分数乘以人数所占的比例求均
值？
权数
45 55 8550 80 90 85.5 100 100 100
6 36 kg 6 m 按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等 3 2 118 24 36 18 24 36 问题1：混合后，每6 1kg糖的平均价格为多少？ 6 6 3 2 1 P 元 ＝２3 6 6 6 kg 问题 2 ：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量 m 千克混合糖果的总价格为 X表示这颗糖果的单价（元/kg），写出X的 3 2 1 分布列。 18× m + 24× m + 36× m 6 ×P（ =24 6 ）+36×P 6（ E =18×P（ =18）+24 =36）
③求出期望。
1.甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的 的分布列为 随机变量 与 ,且 ，
P
1
2
3
P
1
2
3
0.3 0.1 0.6
0.3 0.4 0.3
甲、乙两人谁的射击水平高？
2.一次小测验由3道题目构成，每道题10分，学生甲做 对题目个数的分布列为
ξ
P
0
0.1
1
0.5
例3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。 解：(3
3
1 3
1
2
2
2 3 2
3
0.7
3
P
C 0.7 0.3 C 0.7 0.3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
则E(aξ+b) = aEξ+b ________.
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？ 小结：
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X P
则
1 p
0 1－ p
EX 1 p 0 (1 p) p
18
kg
3 2 1 平均价格为 18 m元 24 m 36 m 元 元 6 24
kg
一般地,若离散型随机变量的概率分布为
P
x1
x2
p2
x3 xn
p3 pn
p1
则称 E x1 p1 x2 p2 平均水平.