高一数学基本初等函数学习讲义
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点一、函数的概念函数是自然界和社会现象中的各种数学规律在数学上的抽象和推广。
一般来说，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的因变量y与之对应。
数学上，函数用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
二、函数的表示函数的一般表示形式为y=f(x)，其中y为因变量，x为自变量，f(x)为函数关系式，描述了x与y之间的对应关系。
常用的函数表示形式包括算式、表格、图像和文字等。
三、函数的性质1.定义域和值域：一个函数的定义域是该函数所有可能的自变量的值的集合，值域是函数所有可能的因变量的值的集合。
2.奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)对于所有的x成立，则称该函数为奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)对于所有的x成立，则称该函数为偶函数。
3.单调性：如果对于自变量的每一个取值，函数的值只随着自变量的增加而增加，则称该函数为递增函数；如果对于自变量的每一个取值，函数的值只随着自变量的增加而减小，则称该函数为递减函数。
4.周期性：如果存在正数T，使得对于每一个自变量的取值x，有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数。
四、函数图像函数图像是将函数的自变量和因变量之间的对应关系通过图像的方式展示出来。
通过函数图像可以直观地了解函数的各种性质。
一般来说，函数的图像在直角坐标系中表示，自变量x沿横轴，因变量y沿纵轴。
五、函数的变换函数的变换是通过改变自变量或者函数关系式的形式，对函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换。
常见的函数变换包括平移变换、纵向伸缩变换、横向伸缩变换和翻转变换等。
六、常见的初等函数1. 一次函数：f(x)=kx+b，其中k和b为常数，k称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像为直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与纵轴的交点。
2. 二次函数：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为零。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定，a越大，抛物线越开口向上。
高一数学上册 讲义 基本初等函数
基本初等函数（Ⅰ）内容讲解：指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称 ③函数值的变化特征：对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。
10<<a1>a①100<<>y x 时， ②10==y x 时， ③10><y x 时 ①10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<<<y x 时，1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）； 2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N aNa =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学-必修1-第2章-基本初等函数-讲义
§ 2.1.1 指数与指数幕的运算（1）1学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.问题2 :生物死亡后，体内碳 14每过5730年衰减 一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量Pt与死亡时碳14关系为P （I ）3730 .探究该式意义2J ..学习过程 一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：正方形面积公式为 _____________ ；正方体的 体积公式为 一 复习2：（初中根式的概念） 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a 的 __________ ，记作 ______________________________ ；如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的 __________ ，记作 .二、新课导学 探学习探究 探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的 背景，体会引入指数函数的必要性 . 实例1.某市人口平均年增长率为％, 1990年人口 数为a 万，则x 年后人口数为多少万小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如 人口问题、银行存款、生物变化、自然科学 . 探究任务二：根式的概念及运算 考察：（2）24，那么 2就叫4的 _________ ；33 27，那么3就叫27的 _________ ； （3）4 81，那么 3就叫做81的 . 依此类推，若x n a ,,那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若x n a ,那么x 叫做a 的n 次方根 （n th root ） ，其中 n 1, n 简记：n a .例如：238，则382.反思：当n 为奇数时，n 次方根情况如何 例如：3 27 3 , 3_273,记：x n a .当n 为偶数时，正数的 n 次方根情况 例如：81的4次方根就是 ___________________ ，记：n a .强调：负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0,即 V0 0 .试试：b 4 a ,则a 的4次方根为 ____________ ；b 3 a ，则a 的3次方根为 _______ —计算：若报纸长 50cm 宽34cm,厚，进行对折 x 次后，求对折后的面积与厚度新知：像&a 的式子就叫做根式 （radical ）,这里n叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数 （radicand ）.试试：计算（2 3）2、、n （ 2）n .问题1：国务院发展研究中心在 2000年分析，我国未来20年GDP 国内生产总值）年平均增长率达％, 则x 年后GD 励2000年的多少倍反思：从特殊到一般，（n a ）n 、n /的意义及结果实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次你能 超过8次吗②若0 a 1，则0 a n 1.其中n N*. 结论：（n a）n a.当n是奇数时，n a ；当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)a (a 0)%典型例题例1求下类各式的值:(1) 3( a)3; (2) 4( 7)4；（3）6?TT ；(4) 2(a b)2( a b )A.很好B. 较好C.一般D.较差%当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分1. 4（ 3）4的值是（)A. 3B. —3C.3D.812. 625的4次方根是( ).A. 5B. —5C.± 5D.253.化简（2 b）2是（)A. bB. bC. bD.1b4.化简6(a b)6 =5.计算：（3飞）3 =；2孑'7课后作业1.计算：（1）5孑；(2) 37^学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.变式：计算或化简下列各式•（1）「32 ；（2）3a6 .推广：np a mp n a m( a 0).%动手试试练 1.化简 5 2,6 .7 4”3. 6 4 2. 2.计算a3 a 4和a3（ 8），它们之间有什么关系你能得到什么结论练 2.化简2 3 31.5 612 .3.对比（ab）n 前者吗nn ¥，你能把后者归入b二、总结提升%学习小结1. n次方根，根式的概念;2. 根式运算性质.%知识拓展1. 整数指数幕满足不等性质：若a 0,则a n 0.2. 正整数指数幕满足不等性质：①若a 1，则a n 1 ；§ 2.1.1 指数与指数幕的运算(2)上乞二…学习目标 1. 理解分数指数幕的概念； 2. 掌握根式与分数指数幕的互化； 3. 掌握有理数指数幕的运算. 学习过程 一、课前准备 (预习教材P 50~ P 53，找出疑惑之处) 复习1: 一般地，若x na ，则x 叫做a 的 ___________ 其中n 1,n . 简记为： . 像na 的式子就叫做 ________________ ，具有如下 运算性质： (n a)n = _____________ ；戸= ________________ ； np a mp=—一 反思：① 0的正分数指数幕为 __________； 0的负分数指数 幕为 .② 分数指数幕有什么运算性质小结：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整 数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幕的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 指数幕的运算性质： rrr sa • a a (a r )a 0,b 0, r,s Q ) _ rs；r r s(ab) a a探典型例题2例1求值：27乜16 4■3・2 25 3()3. 49复习2:整数指数幕的运算性质. (1) a m |a n _________ ； (2) (a m )n _________ : (3) (ab)n 二、新课导学 探学习探究 探究任务：分数指数幕 ____ _____________ 10引例：a >0 时，5a 10 Q (a 2 )5 a 2 a 5 , 则类似可得3 a 2________________ ； ___ —22好敢a 3)3 a 3，类似可得罷 .变式：化为根式新知: m a 7 m a n规定分数指数幕如下 n a m (a 0,m, n N ,n 1)； 1 1 * n r (a 0,m,n N ,n 1). a 例2用分数指数幕的形式表示下列各式 (1) b 2| .b ；(2) b 3； (3) (b 0):3b 4b.m a 7 试试： (1) 2齐 a m将下列根式写成分数指数幕形式: ；盲 —(a0,m--------- ?).例3计算(式中字母均正)：211 11 5(1) (3a^b°)( 8a 2b') ( 6a 彗)； 1 3(2) (m 帝)16.2 2(2)求值：83 ；55 ；小结：例2,运算性质的运用；例 3,单项式运算. 例4计算： 3a（a 司3、a 43（2m 2n 5）10 （416 332） 7学习评价（i）(2) (3) 0）； 1 23 6 m n ) (m,n N );4 64.%自我评价你完成本节导学案的情况为 A.很好B. 较好 C. %当堂检测（时量：5分钟 1.若a 0 ,且m,n 为整数， 是（ ）.（ ） 一般D. 较差 满分：10分）计分： 则下列各式中正确的ma 下m nam nA. a a mnC. a32.化简25°的结果是 A. 5 B. 15 C. 25 B. D.ma an1 amna0 naD. 1253.计算 .2 1 2的结果是（ 小结： 正指数，化根式为分数指数幕，对含有指数式或根 式的乘除运算，还要善于利用幕的运算法则 . 在进行指数幕的运算时，一般地，化指数为 A .2 B2 C.24.化简27 ^ =反思： ①的结果 3m5.若 10m 2, 10n 4，则 10结论：无理指数幕.（结合教材P 53利用逼近的思想 理解无理指数幕意义） …迭垃.….课后作业 1.化简下列各式： (1) ②无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定 的实数.实数指数幕的运算性质如何 (唧; 49(2)2. 3%动手试试 练1•把 8 5化成分数指数幕.3 练2.计算：（1）詞岡历；（2） 6；（曇孑）4 * 2. 计算：—牯_8临_1阻^算: 3a 2 23 ab 43a 4 1 ' a二、总结提升 %学习小结 ①分数指数幕的意义；②分数指数幕与根式的互 化；③有理指数幕的运算性质 . %知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为： 中t 表示经过的时间，m o 表示初始质量，衰减后的 质量为m为正的常数.m m °e 1，其 § 2.1.1 指数与指数幕的运算（练习)'7学习目标J H «r ・ ・m H ruiini ・・m n m ・・m i «m n M ・・r1. 掌握n 次方根的求解；2. 会用分数指数幕表示根式；3. 掌握根式与分数指数幕的运算1- 学习过程—i ■ — — -— — —ll — - - —— —一、课前准备(复习教材P 48~ P 53，找出疑惑之处) 复习1：什么叫做根式运算性质像n a 的式子就叫做 ________________ ，具有性质:(n.a )n = ___________ ； - a =_叩尹=——小结：① 平方法；② 乘法公式；③ 根式的基本性质nP T n a m (a >0)等. 注意，a > 0十分重要，无此条件则公式不成立 例如，6( 8)23_8.1 1变式：已知a 2 a 23，求：1133(1)a 2 a 2 ； (2) a 2 a 2.复习2：分数指数幕如何定义运算性质mm① a"________ ； a n .其中 a 0,m, n N *,n 1② a r |a s ___________ ； (a r )s __________ (ab)s ______ . ___ 复习3:填空.二、新课导学小结：① 方法：摘要T 审题；探究 T 结论;1 立方和差公式： a 3 b 3 (a b)(a2 ab b 2)； a 3b 3 (a b)(a 2ab b 2).(1) a a 1 ；(2) a 2 a 2 ；3(3) / 3a 2(3/ 1 1・_a 2a 2补充：立方和差公式 a b (ab)(a 2 ab b 2).变式：n 次后例1已知 时,|x|(X 0) (X 0)② 求下列各式的值:3歹=_6万=vx^=_416=_15_32 =6a 2b 4 =_681 =例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出 1升，然后用3 水填满，再倒出1升，又用水填满，这样进行5次,3则容器中剩下的纯酒精的升数为多少求下列各式的值:解应用问题四步曲：审题T建模T解答T作答动手试试(a b)3 a3 3a* 1 2b 3ab2 b3.1. 化简:1 1 1 1(x2 y2) (x4 y4).y学习评价练2.(1) 已知x+x-1 =3，求下列各式的值.1x21X2；(2)3x2练 3. f(x) x ,X1 x20( )一般D. 较差满分：10分)计分：探自我评价你完成本节导学案的情况为A.很好B. 较好探当堂检测(时量：1. 92的值为(C.5分钟).C. 3A. ,3B. 3 332. _ a ( a>0)的值是a 5 a4A. 1B. aC.3.下列各式中成立的是(1A. (—)7 n7m7C. 4 x3y34.化简(25)42 1(x32 _3yrD. 7291a* D.).17a10T9 3315.化简(a3b2)( 3a2b3) (^a6b6)=讥上,课后作业b 2, 求飯—2a 3x―a"6的值.1.已知x a 3§ 2.1.2 指数函数及其性质(1)学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现 实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的 性质(单调性、特殊点)探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出 研究指数函数性质的内容和方法吗 回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性.作图：在同一坐标系中画出下列函数图象:-、课前准备(预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处)复习1:零指数、负指数、分数指数幕怎样定义的 (1) a 0 : (2) a n:mm(3) a n: "Fa.其中 a 0,m, n N ,n1复习2:有理指数幕的运算性质. (1) _______________ a|a ；( 2)(a )___________________ ； (3) (ab)n二、新课导学 探学习探究 探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：A. 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2 次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个， 如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细 胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么B. —种放射性物质不断变化成其他物质，每经 过一年的残留量是原来的 84%，那么以时间x 年为 自变量，残留量y 的函数关系式是什么 讨论：上面的两个函数有什么共同特征底数是什么 指数是什么新知：一般地，函数 y a x (a 0,且a 1)叫做指数 函数(exponential function )，其中 x 是自 变量,函数的定义域为R.反思：为什么规定a > 0且a 工1呢否则会出现什么 情况呢 讨论：1(1) 函数y 2x 与y q )x 的图象有什么关系如何 由y 2x的图象画出y G )x 的图象(2) 根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个 指数函数的性质.变底数为3或1后呢3探典型例题 例1函数f(x)a x ( a 0,且a 1)的图象过点(2,),求 f (0) , f( 1), f(1)的值.试试：举出几个生活中有关指数模型的例子学习过程1 x (2)，比较大小： a 0.80",b 0.80：c 02.50.2 1.61 , 0.4 ,2 , 2.5 .2. 探究：在［m n ］上，f(x) a x (a 0且a 1)值域二、总结提升 %学习小结 ①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指 数函数的图象与性质；③单调法 . %知识拓展因为y a x (a 0,且a 1)的定义域是R,所以 y a"〉(a 0,且a 1)的定义域与f (x)的定义域 相同.而y (a x ) (a 0,且a 1)的定义域，由 y (t)的定义域确定.小结：①确定指数函数重要要素是 ②待定系数法•学习评价例2比较下列各组中两个值的大小:0.60.5(1) 2 ,2 ;(3) 2.10^,0.5Z121 5(2) 0.9 ,0.9 ;(4)2 3与1.( ). 较差5分钟满分：10分)计分： 3)a x 是指数函数，则a 的值为%自我评价你完成本节导学案的情况为A.很好B. 较好C. 一般D.%当堂检测(时量： 1. 函数 y (a 2 3a ( ). A. 1 B. 2 2. 函数 f (x )= ( ). C. 12或2 D. 任意值1 ( a >0, a z 1)的图象恒过定点 小结：禾U 用单调性比大小；或间接利用中间数 探动手试试练1. 已知下列不等式，试比较 m n 的大小:(1)n； (2)m1.1 n1.1 .A. (0,1)B.C. (2,1)D. 3. 指数函数①f(x)(0,2) (2,2)心® 1f XX1[5.函数y1.求函数y =-的定义域. 1练2. (1) (2) 1.2,的定义域为xxm ，②g(x) n 满足不等式).(2.5)5 .24.比较大小：(2.5)30 m n 1，则它们的图象是(§ 2.1.2 指数函数及其性质(2) 说』学习目标J H «r ・・ m n rniini r1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的总产值为原来的多少倍多少年后产值能达到120亿学习过程一、课前准备(预习教材只7~ P60，找出疑惑之处)复习1：指数函数的形式是_______________________ 其图象与性质如下小结：指数函数增长模型.设原有量N,每次的增长率为p,则经过x次增长后的总量y= ____ 我们把形如y ka x(k R,a 0,且a 1)的函数称为指数型函数.例2求下列函数的定义域、值域：1 (1)y 2x 1；( 2)y( 3)y 0.4厂1.x 1 xy 2， y (-)x 1 xy 10 , y ().10思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律小结：单调法、基本函数法、图象法、观察例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%勺国土上，却养育着22%勺世界人口.因此，中国的人口问题是公认的社会问题. 2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策.(1)按照上述材料中的1%勺增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍(2)从2000年起到2020年我国人口将达到多少试试：求函数y (2 x *的定义域和值域，并讨论其单调性.y G)x5变式：单调性如何2%动手试试练1.求指数函数y 2x 1的定义域和值域，并讨论其单调性•练2.已知下列不等式，比较m,n的大小.(1) 3m3n；(2) m0.60.6n;(3) m a a n (a 1)；(4) m a a n (0 a 1)练3. —片树林中现有木材30000吊，如果每年增长5%经过x年树林中有木材y m，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000吊.& 学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1. 如果函数y=a x (a>0, 1)的图象与函数y=b x(b>0,b z 1)的图象关于y轴对称，则有( ).A. a>bB. a<bC. ab=1D. a与b无确定关系2. 函数f(x)=3 —x- 1的定义域、值域分别是().A. R, RB. R, (0,)C. R, ( 1, )D.以上都不对3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是( ).A. y=a x的图象与y=a-x的图象关于y轴对称B. 函数f(x)=a1-x (a>1)在R上递减C. 若a 2 >a 2 1，贝U a>1D. 若2x>1，则x 14. 比较下列各组数的大小：1 3_________ (0.4))；______ 血0.75.35. 在同一坐标系下，函数y=a x, y=b x, y=c x, y=d x的图象如右图，贝U a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是 .…课后作业21.已知函数f(x)=a— ------------ (a€ R»，求证：对任2x 1 何a R , f (x)为增函数.二、总结提升%学习小结1. 指数函数应用模型y ka x (k R,a 0且a 1)；2. 定义域与值域；2.单调性应用(比大小).%知识拓展形如y a f(x) (a 0,且a 1)的函数值域的研究，先求得f (x)的值域，再根据a t的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视y a f(x) 0.而形如y (a x) (a 0,且a 1) 的函数值域的研究，易知a x 0，再结合函数(t)进行研究.在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等x2.求函数y 2厂」的定义域和值域，并讨论函数2x 1的单调性、奇偶性.§ 221 对数与对数运算(1)学习目标1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化 .新知：一般地，如果a x N (a 0,a 1)，那么数x 叫做以a为底 N 的对数(logarithm ).记作x log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式弋$学习过程-■ .>= ” ■- -■ - -■ .■- » ■一、课前准备(预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处)复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭 (1 )取4次，还有多长 (2 )取多少次，还有尺 新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm )，并把常用对数log 10 N 简记 为lg N 在科学技术中常使用以无理数 e= ....... 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然 对数log e N 简记作In N试试：分别说说lg5、、ln10、In3的意义.复习2：假设2002年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年平均增长 8%那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍(只列式)二、新课导学 探学习探究 探究任务：对数的概念 问题：截止到1999年底，我国人口约13亿.如果 今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么多少年 后人口数可达到18亿，20亿，30亿反思：(1) 指数与对数间的关系a 0, a 1 时，a x N _____________ . (2) 负数与零是否有对数为什么(3) 也1 _________ , log a a ______ . ___ 探典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式371a(1) 5 125 ; (2) 2; (3) 327 ;128(4) 100.01 ； (5) log ! 325 ；2(6) = 3 ； (7) In 100=.讨论：(1)问题具有怎样的共性(2) 已知底数和幕的值，求指数 *怎样求呢例如: 由 1.01x m ,求 x .变式: log 1 322独立发明了对数例2求下列各式中x 的值：2（1）log 64 X - ； （ 2） Iog x 8 6 ；3（3）lg x 4 ； （ 4） In e 3 x. 探自我评价 你完成本节导学案的情况为 （A.很好B .较好 C. 一般 D. 较差探当堂检测 （时量： 5分钟 满分: 10分）计分 1.若 log 2 x 3，则x ( ).A. 4B. 6C. 8D. 92. log( m ,-n)(.n 1■ n)= (). A. 1 B.-1 C .2 D.-23.对数式log a 2(5 a ） b 中，实数a 的取值范围是( )A .( ,5)B • (2,5) C. (2,)D• (2,3儿(3,5)4.计算：log: 2 1(3 2.2) .5.若 IogxG/2 1)1，贝y x= _________ ，若log ^8 y ，贝V y = .7®课后作业1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式 . 551 a(1) 3 243 ; (2) 2 一 ; (3) 4 3032(4) (-)m 1.03 ;(5) log/64 ；22二、总结提升 探学习小结 ①对数概念；②lg N 与 求对数值探知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是 谁首创“对数”这种高级运算的呢在数学史上，一 般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初 的苏格兰数学家——纳皮尔（ Napier , 1550-1617 年）男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳 中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的 热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文 学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵 时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简 化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于 2.计算：(1) log 927 ； (2) log 3 243 ； (3) log^81 ；（3）叫、3）（23) ；(4) log 354625.6 log 2 1287 ； (7) log 3 27 a .练2.探究log a a nlog a Na小结：注意对数符号的书写, 与真数才能构成整体 小结：应用指对互化求 x .探动手试试 练1.求下列各式的值.1（1） Iog 5 25 ； （2） log 2 ； （3） |g 10000.16ln N;③指对互化；④如何§§ 221 对数与对数运算（2）'v 学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则 的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题 ..1学习过程—1 ■ 1-1~.—— -r-rt™!-.-—.~v —~?rj —1— -.~w™—.-1；—一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处） 复习1：（1 ）对数定义：如果a x N （a 0,a 1），那么数 x 叫做 ___________________ ，记作 ^（2）指数式与对数式的互化：a x N^自然语言如何叙述三条性质 性质的证明思路（运 用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式， 并利用幕运算性质进行恒等变形；然后再根据对数 定义将指数式化成对数式.） 探典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1 ) log a ；( 2 logaf *复习2:幕的运算性质. （1）a^a n __________ ；（2）（a m ）n ______ （3） （ab ）n复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1 ）设 log a 2 m ， log a 3 n ，求 a m n； （2）设 log a M m ， log a N n ，试利用 m 、n 表 示 log a （M • N ）. 例2计算： (1) log 5 25 ； (3) log 2 (48 25)；(2) log o.4 1 ； (4) lg 9100 .二、新课导学 探学习探究 探究任务：对数运算性质及推导 问题：由a p a q a p q,如何探讨log a MN 和log a M 、 log a N 之间的关系 问题：设 log a M p , log a N q , 由对数的定义可得：M=a p , N =a q* 二 MN a p a q =a p q , log a M 時p +q ,即得 log a MIN log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子 如果 a > 0 , a 1 , M > 0 , N > 0 ，则 (1 ) log a (MN) log a M log a N ； (2) log a M log a M log a N ； N(3) log a M n nlog a M (n R). 探究：根据对数的定义推导换底公式 log a b 3必log c a（a 0 ,且 a 1 ； c 0 ,且 c 1 ； b 0 ）.试试：2000年人口数13亿，年平均增长率 1 %, 多少年后可以达到18亿%动手试试反思:1 (2) Iog2 Iog 1 22 2 31 5 -—ig — 52 3① 对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③ 换底公式.探知识拓展① 对数的换底公式log a N② 对数的倒数公式Iog a b2. 设a 、b 、c 为正数，且3a 4b 6c ，求证:c a 2b③ 对数恒等式：log a nN n log a N ,练 1•设 Ig2 a , lg3 b ，试用 a 、b 表示 log 512. log a mN " - Iog a N , Iog a^Iog bd Iog ca 1 . m1学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为 A.很好B. 较好C. 一般D.（ ） 较差 计分：变式：已知 Ig2 =, Ig3 =，求 Ig6、Ig12. Ig 3 的 值. A . log 2(3 5) Iog 2 3 Iog 2 5 B . 2iog 2( 10) 2log 2( 10)C. log 2(3 5)log 2^ log 2 5D. 3iog 2( 5) Iog 2 532.女口果 Igx =Iga +3Igb — 5Igc ,那么( 探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分） 1.下列等式成立的是（ ） 练2.运用换底公式推导下列结论 (1)Iog a mb n — Iog ab ； m1⑺Iogab 研C. x ab 5 cD. x =a +b 3— 3. 若2lg y 2x Ig x Ig y ,A . yxB . y2xC. y 3x D . y 4x4. 计算： (1) log 9 3log 9 27A . x =a +3b —c3那么（B 3abB x —— 5c3c 5.计算：Ig 练 3.计算：(1)Ig14 Ig 243 Ig9 '2Ig7 Ig7 Ig18；(2)课后作业---- ——1 _1_-_ _• - •-1. 计算：__(1) Ig 习 Ig8 3lg 10lg1.2 (2) lg 22 Ig2 Ig5 Ig5 .log b N log b a 1 log b a .§ 221 对数与对数运算（3）探典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M其计算公式为：Mlg A IgA c，其中A是被测地震的最大振幅，A e是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）；反思:①P和t之间的对应关系是----- 对应;的函数为.%动手试试（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）左心学习目标1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.二学习过程一、课前准备（预习教材P66~ P69，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.如果a > 0，a 1，M> 0，N > 0 ，则(1)log a(MN)(2). M 叽一N(3)log a M n换底公式log a b _________ . ______ 复习2：已知log23 = a，log a7 = b,用a，b 表示log 42 56.小结：读题摘要T寻找数量关系T利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”•根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系.回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P, 并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数（2）已知一生物体内碳14的残留量为P,试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的%试推算古墓的年代复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在％，问哪一年我国人口总数将超过14亿（用式子表示）、新课导学②P关于t的指数函数P则t关于P练1.计算：(1) 51叽3；(2) log 4 3 log 9 2 log ! 4 32 .2自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B. 较好C.一般D较差当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1._log5( a)25(a* 0) 化简得结果是( ).A. —aB. 2 aC. | aID. a2.若log 7 [ log 3 (log 2X)]：=0，则1x2 =( ).A. 3B. 2.3C.22D. 3.23.已知3ab5 m ,且丄a1-2 , b则m之值为( ).A. 15B..15 C . ±、15D.2254.若3a= 2 ,则log 38 - -2log 36i用a表示为5.已知lg20.3010,lg1.0718 0.0301，则练2.我国的GDP年平均增长率保持为％约多少年后我国的GDF在2007年的基础上翻两番lg2.5 ______ ；210_________'7课后作业1.化简：2 2 2(1)lg5 lg8 lg5lg20 (lg2)；3(2)Iog25+log 4 0.2 log5 2+log 25O.5 .二、总结提升探学习小结1. 应用建模思想(审题T设未知数T建立之间的关系T求解T验证)；2. 用数学结果解释现象.x 2•若lg x y lg x 2y lg 2 lg x lg y ,求一y 的值.x与y探知识拓展在给定区间内，若函数f(x)的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到x1 x2) f(x1) f(x2)；f( )2 2在给定区间内，若函数 f (x)的图象向下凹进，则函数f(x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到f( X1 X22f(X1) f(X2)2§ 2.2.2 对数函数及其性质(1)学习目标1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，弓I导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法•.学习过程一、课前准备(预习教材P70~ P72，找出疑惑之处)1复习1:画出y 2x、y (—)x的图象，并以这两2 个函数为例，说说指数函数的性质•注意辨别，如：y 2log2x, y log5(5x) 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制(a 0,且a 1).探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.y log2x ；y log 0.5 x.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年, 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的%试推算马王堆古墓的年代•(列式)二、新课导学探学习探究探究任务一：对数函数的概念探典型例题例1求下列函数的定义域：2(1) y log a x ； (2) y log a(3 x)；讨论：与的关系(对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系t log ! P ,生物死亡年数t都有唯一的值与之对57302应，从而t是P的函数)新知：一般地，当a>0且a* 1时，函数y log a x叫做对数函数(logarithmic function) ，自变量是x ；函数的定义域是(0, +8).反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，变式：求函数y - log2(3 x)的定义域.例2比较大小：(1) ln3.4, ln8.5 ；(2) log0.32.8, log0.32.7 ；二、总结提升% 1. 学习小结对数函数的概念、图象和性质； 2.求下列函数的定义域：2. 求定义域；(1) y ,log 2(3x 5) ； (2) y ,log °.54x 33. 利用单调性比大小.% 知识拓展对数函数凹凸性：函数 f （x ） log a X, （a 0,a 1）, X 1, X 2是任意两个正实数.当 a 1 时，f （X1）f （X2）f （7）；2 2 当 o a 1 时，f （X1）f（X2）f （7）.2 2^学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.(3) log a 5.1, log a 5.9. A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.当a >1时，在同一坐标系中，函数y a x 与log 2 x (x > 1)的值域为( ).2 log a x 的图象是（）.2.函数y 小结：利用单调性比大小；注意格式规范 %动手试试 练1.求下列函数的定义域. （1）y log o.2（ X 6） ； （2） y 3 log 2X —1 . 练2.比较下列各题中两个数值的大小 . (1) log 23和log 2 3.5 ；(2) log 0.34和 log °.20.7 ； (3) log 0.71.6和 log o.7 1.8 ； (4) log ? 3和 Iog 3 2 . A. (2, )B. ( ,2)C. 2,D. 3,3.不等式的log 4 x1 解集是 ().2A. (2, )B. (0,2)r 11 B. (一， ) D.2(0-) 24.比大小：(1) log 6 log 76； (2) loglog5.函数 y log (x-!)(3 -x ）的定义域是:7,课后作业1.已知下列不等式， 比较正数m n 的大小：(1) log s m K log 3 n； (2) log o .3 m > log 0.3n ； (3) log a m o log a n(a > 1)2・§ 2.2.2 对数函数及其性质（2）1学习目标1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质•学习过程一、课前准备（预习教材P72- P73，找出疑惑之处）复习1 ：对数函数y log a x（a 0,且a 1）图象和性质•复习2:比较两个对数的大小.(1)log io7 与log io12 ； (2) log o.5 0.7 与log o.5 0.8.数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数（in verse function ）例如：指数函数y 2x与对数函数y log2x互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y 2x及其反函数y log2x图象，发现什么性质反思：（1）如果巳（冷』0）在函数y 2x的图象上，那么F0关于直线y x的对称点在函数y log2x的图象上吗为什么（2 ）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于_______________ 对称.探典型例题例1求下列函数的反函数：（1）y 3x；（2）y log a（x 1）.复习3:求函数的定义域(1) y(2) y log a(2x 8)1 log3 2x二、新课导学探学习探究探究任务：反函数问题：如何由y 2x求出x小结：求反函数的步骤（解x T习惯表示T定义域）变式：点（2,3）在函数y log a（x 1）的反函数图象上，求实数a的值.反思：函数x log2 y由y 2x解出，是把指数函数y 2x中的自变量与因变量对调位置而得出的.习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为y log2 x.新知：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式pH lg［ H ］，其中［H ］表示溶液中氢离。
必修一_基本初等函数_知识点讲解
基本初等函数第一讲 幂函数1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．分数指数幂概念 有理指数幂运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(0,,*,1)a m n N n >∈>且 ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈第二讲 指数函数1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②an m -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .n mnm a a=nmn m nm aa a1＝=-000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量， 5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等, 不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.3、 指数函数的图像及其性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（2）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （3）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（5）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；第三讲 对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. （4）两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.2、对数函数的概念一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.。
高一数学基础知识讲义(2021)——基本初等函数
高一数学基础知识讲义（2021）——基本初等函数第三讲基本初等函数知识要点：一次函数与二次函数知识点的回顾（表一）（表二）指数与指数函数⑴a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数表示为n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为±负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
式子n叫做根指数，a叫做被开方数。
⑵n次方根的性质：①当n为奇数时，a=；当n为偶数时，,0,,0;a aaa a≥⎧==⎨-<⎩②(n a=⑶分指数的意义：)0,,,1mna a m n N n=>∈>；()10,,,1mnmna a m n N na-=>∈>注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。
⑶有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q>>∈①r s r sa a a+=②()r s rsa a=③()r r rab a b=⑷指数函数及其性质①一般地，函数()0,1xy a a a=>≠且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。
②通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：01a<<1a>图象定义域R值域() 0,+∞性质1）过定点（0，1），即0,1x y== 2）在R上是减函数2）在R上是增函数3）当0,01x y><<；0,1x y <>3）当0,1x y>>；0,01x y<<<一点建议：学好函数一定要对函数的各个性质非常了解，死记硬背是不能达到掌握的要求的，那么在这里给同学们一点建议，准确掌握函数的基本图象，从图象中挖掘函数的相关性质。
对数与对数函数⑴一般地，如果()0,1x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
人教版高中数学必修一基本初等函数复习课知识总结ppt课件
指数 指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质 定义
图像及性质
指数函数 基本初等函数 对数与对数函数
定义 运算性质 对数 换底公式 定义 对数函数
图像和性质 幂函数 定义 图像和性质
根式的性质 (1)当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数， n 这时，a的n次方根用符号 表示. a (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正 的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根 可以合写为 n a n a (a＞0) (3)
底数互为倒数 的两个指数函数
1 x y=a ,y=( ) 的函数图像关于 y a
x
轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y 0＜a＜1
y
图 象
o ①x∈ (0,+∞) ；
x
② y∈ R;
o ③过定点(1, 0)
x
性 质
④当x＞ 1时,y＞ 0, 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
练习：若 2
a
= 5
b
= 1 0,则
1
a
1
b
= _________ __ _ _ _.
课堂例题
例3. ( 1) 已知l g 2 = a ,l g 3 = b ,试用 a ,b表示l o g ; 12 5
(2) 已知l o g a ,b表示l o g . 2 3 = a ,l o g 3 7 = b ,试用 14 56
7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若 实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为 ________． 答案：m＞n
高一数学必修1第二章基本初等函数知识点总结归纳
必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．（2（3（4〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式:l o g 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4【（5(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数y =（7③将x=（8①原函数y ②函数y =③若(,P a （1一般地，函数（2（3①三象限，时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． 幂函数在(0,)+∞都有②过定点：所有的通过点(1,1)．定义，并且图象都0α>，则幂函数的图③单调性：如果象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当α（1①一般式：f ③两根式：f （2（3①二次函数f ②当0a >当0a <．③二次函数11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2⇔ ②x 1≤x 2＜k ⇔ ③x 1＜k ＜x 2⇔af (k )＜0 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2设f (p) )2b a -f x0x (q) 0x x ??0x xx。
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高一数学基本初等函数学习讲义
题型一：判断两函数是否为同一个函数
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）
2)(x x f =，33)(x x g =；
（2）x x x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g （3）
1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；
（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g
[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，
所以它们不是同一函数. （2）由于函数x x
x f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而⎩⎨⎧<-≥=;
01,01)(x x x g 的定义域为R ，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==
++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数x x f =)(1+x 的定义域为{}0≥x x ，而x x x g +=2)(的定义域为{}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
题型二：求函数的定义域、值域
【求函数的定义域】
[例2]设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --
[解题思路]要求复合函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。
[解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,222 2.x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩
解得()()4,11,4x ∈--。
故⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。
【求函数的值域】
[例3] 已知函数22()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域。
解析：()()2g x f x =，根据复合函数“同增异减”得到()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ，
解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432，
[例4]已知函数
)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求f(a)=2-a(a+3)的值域。
[解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域
[解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162≤+-=∆a a ，解得231≤≤-a ， 所以4
17)23()3(2)(2++-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min -==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,419[- [例3]求函数4
32+=x x y 的值域。
当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x
x y 43+=，若0>x ，则4424=⋅≥+x x x x 若0<x ，则4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+x
x x x x x ，从而得所求值域是]43,43[-
题型三：函数的奇偶性 B
[例6]函数（ ）
解：∵
=
[例7] 函数y=是（）
解：由函数的形式得解得
==y
，。