常微分方程答案-4.2
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
王高雄版《常微分方程》习题解答4.2
习题4.21. 解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt ttec e c ec ec --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x ax a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a=λ故通解为x=atatat et c tec ec 2321++（3）04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c ec x tt++++=-（4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t ec t ec x tt3sin 3cos 21--+=(5) 0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--故通解为tec t ec x t t 23sin23cos212211--+=(6) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-aλ有根1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atatec ec -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -==故通解为s=atat ec e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7)32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1齐线性方程的通解为x=ttttec e c ec 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如BtA x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=tt ttec e c ec 3221++-4-t(8)322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=ttt t tec ec te c e c --+++4321取特解行如c Bt Atx ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=tttttec e c te c ec --+++4321+12+t(9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--取特解行如tB t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B故通解为tt t e c t ec t ec x 321221123sin23cos++=--)sin (cos 21t t +-(10)tx x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1故齐线性方程的通解为x=ttec ec 221-+因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B故通解为x=ttec ec 221-+tt 2sin 562cos 52--（11）te x x =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--=λ1是特征方程的根，故tAte x =~代入原方程解得A=31故通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--+tte 31（12）tes a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=tt tec ec 21+,=λ1是特征方程的2重根，故teAt x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121tte c ec tt++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=atat tec ec --+21,=λ1不是特征方程的根，故tAe x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=atattec ec --+21+tea 2)1(1+（13）te x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5故齐线性方程的通解为x=ttec ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故tAe x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=tt ec ec 521--++te2211（14）te x x x tcos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如te t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B故通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=+tet t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i故齐线性方程的通解为tc t cx sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-= tx x 2cos -=+''tB t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t2cos 31+。
常微分方程4.2
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
理工类专业课复习资料-《常微分方程》东师大第二版习题答案
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题 1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdx ydy =解：积分，得1222121c x y +=即cy x =−22(2)y y dxdyln =解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y xx c ，即xcee y =(3)y x e dxdy−=解：变形得dx e dy e xy=积分，得c e e xy =−(4)0cot tan =−xdy ydx 解：变形得x y dx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx xxdy y y cos sin sin cos =.积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+−=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=y y y dxdy解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =−−111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−c ce e e yy c x yy x x c 将1)0(=y 代入，得0=c ，即1=y 为所求的解。
(2)1)0(,02)1(22==+′−y xy y x 解：0,1222=−−=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222−−=，积分，得c x y+−−=−1ln 12将1)0(=y 代入，得1−=c ，即11ln 12+−=x y 为所求的解。
(3)0)2(,332==′y y y 解：0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy=323，积分，得331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得2−=c ，即3)2(−=x y 和0=y 均为所求的解。
《常微分方程》东师大第二版习题答案
(4) y′ = 2( y − 2 )2 x + y −1
解：令 u = x + 1, v = y − 2 则原方程变为 dv = 2( v )2 du u + v
再令 z = v ，则方程化为 z + u dz = 2( z )2
u
du 1 + z
分离变量 (1 + z)2 dz = − du (z ≠ 0)
ζ
dζ 1 + u
整理为
u + 1 du = − dζ (u ≠ 1,2)
(u −1)(u − 2)
ζ
积分，得 (u − 2)(u − 2)2 ζ = c u −1
5
代回变量，得通解 ( y − 2x)3 = c( y − x −1)2 , y = x + 1也是方程的解
(2) (2x + y + 1)dx − (4x + 2 y − 3)dy = 0
积分，得 ln ln y = x + c1, ln y = ±ec1 e x = ce x c ≠ 0 ，即 y = ecex (3) dy = e x−y
dx 解： 变形得 e y dy = e x dx 积分，得 e y − e x = c
(4) tan ydx − cot xdy = 0
解：变形得 dy = tan y ， y = 0 为特解，当 y ≠ 0 时， cos y dy = sin x dx .
dy 2x + y + 1
解：方程改写为
=
dx 4x + 2y − 3
令
u = 2x + y ，有
du 5u − 5 =
dx 2u − 3
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题2. 求解下列常系数线性微分方程： (1) (4)540x x x ''-+=解：特征方程：42540λλ-+=特征根：12342211λλλλ==-==-，，， 基本解组：22,,,t t t t e e e e -- 所求通解：221234,,1,2,3,4t t t t i x c e c e c e c e c i --=+++∈=(2) 23330x ax a x a x ''''''-+-=解：特征方程：0333223=-+-a a a λλλ特征根：1,2,3a λ= 基本解组：2,,at at at e te t e 所求通解：()2123,,1,2,3at i x c c t c t e c i =++∈=(3) (5)40x x '''-=解：特征方程：0435=-λλ特征根：1,2,345022λλλ===-，， 基本解组：2221,,,,t t t t e e - 所求通解：22212345,,1,2,3,4,5t t i x c c t c t c e c e c i -=++++∈=(4) 0x x x '''++=解：特征方程：012=++λλ特征根：1,2λ=基本解组：1122,sin t t ee --所求通解：112212cos sin ,,1,222t t i x c ec e c i --=+∈=(5) 21s a s t ''-=+ （属于类型Ⅰ） 解：齐次方程：20s a s ''-=特征方程：022=-a λ 特征根：12,a a λλ==-当0a ≠，齐次方程通解：12,,1,2at at i s c e c e c i -=+∈=，此时0不是特征根，故设特解为s At B =+，将其代入原方程可得21a B A -==，从而特解为()211s t a=-+，所以所求通解： ()12211,,1,2at at i s c e c e t c i a-=+-+∈= 当0a =，0是二重特征根，故齐次方程通解：12,,1,2i s c c t c i =+∈=，设特解为()2s t At B =+，则将其代入原方程可得11,62A B ==，从而特解为21162s t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以所求通解：21211,,1,262i s c c t t t c i ⎛⎫=+++∈= ⎪⎝⎭(6) 45223x x x x t ''''''-+-=+ （属于类型Ⅰ） 解：齐次方程：4520x x x x ''''''-+-=特征方程：025423=-+-λλλ 特征根：1,231,2λλ==齐次方程通解：()2123,,1,2,3t t i x c c t e c e c i =++∈=0不是特征根，故设特解为x At B =+，将其代入原方程可得1,4A B =-=-，从而特解为4x t =--，所以所求通解：()21234,,1,2,3t t i x c c t e c e t c i =++--∈=(7) (4)223x x x t ''-+=- （属于类型Ⅰ） 解：齐次方程：(4)20x x x ''-+=特征方程：42210λλ-+= 特征根：1,23,41,1λλ==-齐次方程通解：()()1234,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e c i -=+++∈= 方法一：常数变易法求解设原方程通解为()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234112342312344212340003t t t t t t t t t t t t t t t t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te c t c t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te t --------''''⎧+++=⎪'=⎧''''⎪⎪''''+++='=⎪⎪⇒⎨⎨'''''''''=''''+++=⎪⎪⎪⎪'=⎩''''''''''''⎪''''+++=-⎩()()()()1234c t c t c t c t =⎧⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩所以将(),1,2,3,4i c t i =代入()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++中即得原方程通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=方法二：比较系数法求解由于0不是特征根，故设特解为2x At Bt C =++，将其代入原方程可得1,0,1A B C ===，从而特解为21x t =+，所以所求通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=(10) t x x e '''-= （属于类型Ⅱ） 解：齐次方程：0x x '''-=特征方程：013=-λ特征根：1,231,12λλ-==齐次方程通解：1122123cos sin ,,1,2,322t t t i x c ec e c e c i --=++∈=由于1是一重特征根，故设特解为t x Ate =，将其代入原方程可得13A =，从而特解为13t x te =，所以所求通解：11221231sin ,,1,2,33t t t t i x c ec e c e te c i --=+++∈= (12) t e x x x 256=+'+'' （属于类型Ⅱ） 解：齐次方程：650x x x '''++=特征方程：0562=++λλ 特征根：121,5λλ=-=-齐次方程通解：512,,1,2t t i x c e c e c i --=+∈=由于2不是特征根，故设特解为2t x Ae =，将其代入原方程可得121A =，从而特解为121tx e =，所以所求通解： 5121,,1,221t t ti x c e c e e c i --=++∈= (14) t t x x 2cos sin -=+'' （属于类型Ⅲ的混合，注意sin t 和cos2t 中t 的系数不一样）解：齐次方程：0x x ''+=特征方程：012=+λ 特征根：12i λ=±，齐次方程通解：12cos sin ,,1,2i x c t c t c i =+∈=①对于sin x x t ''+=，由于i i αβ+=是一重特征根，故设其特解为()101cos sin x t A t A t =+，则将其代入sin x x t ''+=可得011,02A A =-=，从而sin x x t ''+=的特解为11cos 2x t t =-；②对于cos2x x t ''+=，由于2i i αβ+=不是特征根，故设其特解为201cos 2sin 2x B t B t =+，则将其代入cos2x x t ''+=可得011,03B B ==，从而cos2x x t ''+=的特解为21cos 23x t =。
所以原方程特解为1211cos cos 223x x x t t t =+=-+，故所求通解：1211cos sin cos cos 2,,1,223i x c t c t t t t c i =+-+∈=(15) 2441t t x x x e e '''-+=++ （属于类型Ⅰ和Ⅱ的混合） 解：齐次方程：440x x x '''-+=特征方程：2440λλ-+= 特征根：122λ=，齐次方程通解：()212,,1,2t i x c c t e c i =+∈=①对于44t x x x e '''-+=，由于1不是特征根，故设其特解为10t x A e =，则将其代入44t x x x e '''-+=可得01A =，从而44t x x x e '''-+=的特解为1t x e =；②对于244t x x x e '''-+=，由于2是二重特征根，故设其特解为2220t x B t e =，则将其代入244t x x x e '''-+=可得012B =，从而244t x x x e '''-+=的特解为22212t x t e =；③对于441x x x '''-+=，由于0不是特征根，故设其特解为30x C =，则将其代入441x x x '''-+=可得014C =，从而441x x x '''-+=的特解为314x =。
所以，原方程特解为221231124t t x x x x e t e =++=++，故所求通解：()2221211,,1,224t t t i x c c t e e t e c i =++++∈=(20) 11sin x x t''+=- （不属于类型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的混合，用常数变易法求解）解：齐次方程：0x x ''+= 特征方程：012=+λ 特征根：12i λ=±，齐次方程通解：12cos sin ,,1,2i x c t c t c i =+∈= 设原方程通解为()()12cos sin x c t t c t t =+，则()()()()()()()()()()12112212cos sin 0cos 1sin 1cos cot sin ln sin cos sin 1sin c t t c t t c t t tc t t c t t t c t t t c t t c t t t ''+=⎧'=+=-⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨'''''=-=-+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎩所以所求通解：()()1212cos sin cos cos sin ln sin sin cos sin 1cos sin ln sin ,,1,2i x c t c t t t t t t t c t c t t t t t c i =++++-=+++-∈=3. 求下列方程的通解： (1) 20t x tx x '''+-= 解：做变换u t e =，则2222211,dx dx d x d x dx dt t dudt t du du ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以原方程可化为22122200,,1,2u ui d x dx dx d x x x x c e c e c i du du du du--+-=⇒-=⇒=+∈= 由ln u t =可得所求通解：21,,1,2i c x c t c i t=+∈=。