§2.2.2 一元二次不等式的应用
一元二次不等式的解法和应用
一元二次不等式的解法和应用一元二次不等式是高中数学中一个重要的知识点，在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法和一元二次方程的解法有相似之处，都可以通过变形和解析法来求解。
下面将详细讲解两种解法。
1. 变形法对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，首先要将其变形为一个解析式，然后通过求解这个解析式的值域来确定不等式的解集。
步骤如下：a. 将不等式移项，使得一元二次不等式的右边为零。
b. 判断系数a的符号，若a > 0，则可将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集。
若a < 0，则需要将不等式的符号反转。
c. 根据解析式的值域，确定不等式的解集。
若解析式的取值范围大于零，则原不等式的解集为实数集；若解析式的取值范围等于零，则原不等式的解集为空集；若解析式的取值范围小于零，则原不等式的解集为空集。
2. 解析法解析法是一种通过图像和函数变化趋势来解决一元二次不等式的解法。
步骤如下：a. 将一元二次不等式化为对应的一元二次方程，然后求出方程的根。
b. 根据一元二次函数的图像和函数变化趋势，确定函数的非负区间和非正区间。
c. 根据函数的非负区间和非正区间，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 优化问题：通过建立一元二次不等式模型，可以求解最大值或最小值。
对于给定资源和约束条件的情况下，可以用一元二次不等式来描述并求解最优解。
2. 区间划分问题：通过一元二次不等式的解集，可以将数轴划分成若干个区间，从而对解集进行分类和讨论。
3. 几何问题：一元二次不等式可以用来解决几何相关的问题，如求解面积最大或最小、求解两条直线的位置关系等。
4. 经济问题：一元二次不等式在经济学中有着广泛的应用，如利润最大化、成本最小化等问题的求解。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用教案：一元二次不等式的应用1. 引言这节课我们将学习一元二次不等式的应用。
不等式是数学中常见的一种表示关系的符号，它比等式更灵活，能够更精确地描述事物之间的大小关系。
一元二次不等式是指只有一个未知数，并且其最高次数为二次的不等式。
通过学习一元二次不等式的应用，我们可以更好地理解数学知识，并将其应用到实际问题中。
2. 探索一：求解一元二次不等式2.1 一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为实数。
2.2 求解一元二次不等式的方法通过因式分解法、配方法和求解二次方程的方法，我们可以求解一元二次不等式，并找出其满足条件的解集。
2.3 实例讲解通过实例讲解，让学生了解如何通过具体的例子去解决一元二次不等式的问题。
3. 探索二：一元二次不等式的应用3.1 几何意义通过图像分析，我们可以将一元二次不等式与几何图形相联系，进而求解相关问题。
3.2 优化问题将现实生活中的优化问题转化为一元二次不等式，并通过求解不等式得出最优解。
3.3 实例分析分析一些实际问题，并通过一元二次不等式的应用得出解答。
4. 探索三：一元二次不等式的解集表示4.1 解的表示方法我们可以使用集合符号、数轴图和数对等方式来表示一元二次不等式的解集。
4.2 解集的性质探讨一元二次不等式解集的有界性、非空性和唯一性等特点，并通过实例加深学生的理解。
5. 拓展练习提供一些拓展练习题，让学生进一步巩固和应用所学的知识。
6. 总结与小结通过这节课的学习，我们了解了一元二次不等式的定义、求解方法和应用，并掌握了一元二次不等式解集的表示方法和性质。
一元二次不等式是数学中的重要内容，它在解决实际问题中起到了重要的作用。
希望同学们通过这节课的学习，能够更好地理解和应用一元二次不等式的知识。
注：以上教案仅供参考，具体教案内容及教学活动可根据教学实际情况进行调整。
数学解一元二次不等式的方法与应用
数学解一元二次不等式的方法与应用引言：一元二次不等式是数学中常见的一种问题类型，解一元二次不等式是我们学习的数学知识内容之一。
本课将介绍解一元二次不等式的方法与应用，以帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
第一节：一元二次不等式的基本概念与性质一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式，一般形式为ax^2+bx+c>0 (或<0)。
我们首先来回顾一下一元二次不等式的基本概念和性质。
1. 概念：一元二次不等式是一个包含一个未知数的二次式，并且不等式中至少有一个系数为非零实数的不等式。
例如：x^2-3x+2>0。
2. 性质：一元二次不等式中的系数和常数项可以是实数，不等式的解是满足不等式的实数。
求解一元二次不等式的方法可以分为两种情况：一是通过图像法，二是通过代数法。
第二节：通过图像法解一元二次不等式图像法是解一元二次不等式的一种直观有效的方法，它可以通过绘制函数图像来帮助我们找到不等式的解。
1. 绘制函数图像：首先将一元二次不等式转换成一元二次函数的形式，即将不等式改写成f(x)>0 (或f(x)<0)的形式。
然后根据二次函数的图像性质，绘制出函数图像。
2. 确定解的范围：通过分析函数图像与x轴的交点和函数图像在不同区间的取值情况，确定不等式的解的范围。
3. 确定解的具体值：根据不等式的形式和解的范围，确定不等式的具体解的取值范围。
第三节：通过代数法解一元二次不等式代数法是解一元二次不等式的另一种常用的方法，它通过使用代数变量和不等式的性质来求解不等式。
1. 转化形式：首先将一元二次不等式转化成一元二次方程的形式，即将不等式的符号替换成等号。
2. 求解方程：通过求解一元二次方程的根，得到方程的解。
3. 确定解的范围：根据方程的解和不等式的形式，确定不等式的解的范围。
4. 确定解的具体值：根据不等式的形式和解的范围，确定不等式的具体解的取值范围。
第四节：一元二次不等式的应用一元二次不等式在现实生活和数学问题中都有着广泛的应用。
一元二次不等式的解法的综合应用题
一元二次不等式的解法的综合应用题一元二次不等式是指一个包含未知数的二次函数不等式，它的解可以通过图像、因式分解、配方法等不同的方法进行求解。
本文将通过综合应用题的方式，探讨一元二次不等式的解法及其应用。
1.电影票问题某电影院的电影票售价为x元，根据市场需求和收益最大化的原则，电影院决定制定不等式来限制票价。
已知场内座位数为500个，观众的平均消费能力为500元，为了提高入场率和营业额，电影院制定了如下不等式：x^2 - 500x < 0解法：首先，将不等式转化为二次函数的形式，即x^2 - 500x < 0，然后求解二次函数的零点：x(x - 500) < 0根据零点法则，我们可以得到两个重要的点：x = 0和x = 500。
接下来，通过判定区间法则，我们可以得到三个区间：(-∞, 0), (0, 500)和(500, +∞)。
然后，选择这些区间中的任意一个点，代入原不等式进行判断。
例如，选择x = 100，代入原不等式得到：100(100 - 500) < 0-40000 < 0由于不等式成立，我们可以得出结论，电影票的价格在(0, 500)的区间内满足需求。
2.优惠活动问题某百货公司决定举办促销活动，现假设购物金额为x元，百货公司依据不同购物金额设置不等式：x^2 - 3000x + 200000 < 0解法：将不等式转化为二次函数的形式，即x^2 - 3000x + 200000 < 0。
然后通过因式分解的方法来解决：(x - 200)(x - 1000) < 0由此可得两个关键点：x = 200和x = 1000。
利用判定区间法则，我们可以得到三个区间：(-∞, 200), (200, 1000)和(1000, +∞)。
选择其中一个区间的点，例如x = 300，代入原不等式进行判断：(300 - 200)(300 - 1000) < 0-200000 < 0结合不等式的前提条件，我们可以得出结论，在(200, 1000)的范围内购物金额可以享受促销优惠。
2.2一元二次不等式的应用ppt
例1 已知关于x的不等式
x (k-1)x+4>0
2
的解集为 R ?求实数k的取值 范围。
例2 国家为了加强对烟酒生产的宏观管 理，对烟酒销售征收附加税。已知A种 酒每瓶销售价为70 元，不收附加税时， 每年大约销售 100 万瓶；若每销售100 元要征收附加税 r 元（即税率为r%)，则 每年的销售量将减少 10 r 万瓶。如果要 使每年在此项经营中所收取的附加税额 不少于 112 万元，那么 r 应如何确定？
例3 某企业今年初化Байду номын сангаас108 万元购买 了一套新设备。已知运行该设备每
年可收入 63 万元，累计到第n年 的维护费等各种费用的总支出为 n(9+3n) 万元(今年为第一年）。问
使用该套设备第几年开始盈利？
例4 在码头O南偏东 60 度方向上 的 400千米 A 处有一个台风中心。 已知台风正以每小时40千米的速度 向正北方向移动，距台风中心 350 千米以内的地方都会受到台风的影 响。问从现在起多少小时后，码头 O将受台风影响？受台风影响的时 间大约多久？
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
高中数学 第3章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用教案 高二数学教案
2.2 一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点)2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)1.通过学习分式不等式与高次不等式培养数学运算素养．2．通过一元二次不等式的实际应用提升数学建模素养.1．分式不等式的解法阅读教材P 82“例10”以上部分，完成下列问题．(1)f x g x ＞0与f (x )·g (x )＞0同解．(2)f x g x＜0与f (x )·g (x )＜0同解．(3)f x g x ≥0与f (x )·g (x )≥0且g (x )≠0同解．(4)f x g x≤0与f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0同解．思考：(1)不等式f xg x≥0与f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0同解吗？[提示] 同解．(2)解分式不等式的主导思想是什么？ [提示] 化分式不等式为整式不等式． 2．高次不等式的解法阅读教材P 82“例10”以下至P 83“练习1”以上部分，完成下列问题．如果把函数f (x )图像与x 轴的交点形象地看成“针眼”，函数f (x )的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？ [提示] 可以(2)应用穿针引线法解高次不等式f (x )＞0，对f (x )的最高次项的系数有什么要求吗？[提示] 把f (x )最高次项的系数化为正数． 1．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12 A [4x ＋23x －1>0⇔(4x ＋2)(3x －1)>0⇔x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－12.] 2．函数f (x )＝x －1x的定义域是________． (－∞，0)∪[1，＋∞) [由题意得x －1x≥0，即x (x －1)≥0且x ≠0，解之得x ≥1或x ＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．]3．不等式(x －1)(x ＋2)(x －3)＜0的解集为________． (－∞，－2)∪(1,3) [如图所示：由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)．] 4．不等式x ＋1x ＋22x ＋3x ＋4＞0的解集为_________________．{x |－4＜x ＜－3或x ＞－1} [原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1.]分式不等式和高次不等式的解法【例1】 解下列不等式：(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2；(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0.[解] (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3＞0，此不等式等价于(x ＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0， 同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x －2x －5≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0， ②解①得x ≥5，解②得x ＜2，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，进一步化为⎝⎛⎭⎪⎫x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2. 1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f xg x ＞0(<0)或f xg x≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．2．一元高次不等式f (x )＞0用穿针引线法求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)x ＋12x －3≥1；(2)x 4－2x 3－3x 2＜0.[解] (1)移项得x ＋12x －3－1≥0，即4－x2x －3≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2x －3≥02x －3≠0，∴32＜x ≤4，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，4. (2)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0， 当x ≠0时，x 2＞0，由(x －3)(x ＋1)＜0， 得－1＜x ＜3；当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解．∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}．一元二次不等式在生活中的应用千瓦时．本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫kx －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a x －0.3≥[a 0.8－0.3]1＋20%，0.55≤x ≤0.75，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解此不等式组，得0.60≤x ≤0.75.所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.解不等式应用题的步骤2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带宽度为x m ，则草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m ，根据题意，得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理，得x 2－700x ＋60 000≥0， 解得x ≥600(舍去)或x ≤100， 由题意知x >0，所以0<x ≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．不等式的恒成立问题[探究问题]1．设f (x )＝mx 2＋2x ＋1，若f (x )＞0对任意的x ∈R 恒成立，f (x )的图像如何？求m 的范围．[提示] 由条件知m ＞0，即f (x )的图像开口向上，且和x 轴没有交点，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＝4－4m ＜0，解之得m ＞1.2．设f (x )的值域是[1,2]，若f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[提示] a ≤13．设x ∈[3,4]，若存在x ∈[3,4]，使x ≥a ，求a 的取值范围．[提示] a ≤4【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于任意x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．思路探究：(1)讨论m 的符号，结合函数f (x )的图像求解． (2)求f (x )的最大值，使其最大值小于－m ＋5；或分离参数m 后，转化为求函数的最值问题．[解] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0，满足题意；若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0.∴－4＜m ≤0.(2)法一：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， ∴0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6， ∴m ＜0.综上所述：m ＜67.法二：当x ∈[1,3]时，f (x )＜－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又m (x 2－x ＋1)－6＜0， ∴m ＜6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m ＜67即可．1．(变条件)把例3中的函数换为：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )，若f (x )＞0对任意的x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围．[解] 由题意可知，f (x )的图像开口向上，故要使f (x )＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a －4)2－4(5－2a )＜0，解得－2＜a ＜2.2．(变结论)例3的条件不变，若存在x ∈[1,3]，f (x )＜－m＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 不等式f (x )＜－m ＋5可化为mx 2－mx －1＜－m ＋5， 即m (x 2－x ＋1)＜6，由于x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，故原不等式等价于m ＜6x 2－x ＋1.当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，故6x 2－x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤67，6，由题意可知m ＜6.有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法 (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．1．解分式不等式和高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x 系数全为1，再把各根依次从小到大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x 轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式3x ＋5x ＋1＞2与3x ＋5＞2(x ＋1)同解．( )(2)x －1x ＋2≤0与(x －1)(x ＋2)≤0同解．( )(3)应用穿针引线法解不等式(x ＋2)2(x －3)＞0，可得其解集为(2,3)．( )[答案] (1)× (2)× (2)×[提示] (1)错误，不等式3x ＋5x ＋1＞2与x ＋3x ＋1＞0同解；(2)错误，x －1x ＋2≤0与(x －1)(x ＋2)≤0且x ＋2≠0同解；(3)错误，(x ＋2)2(x －3)＞0的解集为(3，＋∞)．2．对任意的x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．[－2,2]D ．(－∞，2]∪[2，＋∞)A [由题意可知Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2.] 3．不等式2x －1x ＋3≤－2的解集为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－3 [原不等式可化为4x ＋5x ＋3≤0，故(4x ＋5)(x ＋3)≤0且x ≠－3，故解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－3.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．。
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§2.2.2一元二次不等式的应用 (2)
※ 学习目标
1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题
2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法 20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔________． 20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔_________
复习2：已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立，则t 的取值范围是 .
二、研读课本
例1 (1)m 为何值时，方程2
(3)0x m x m +-+=有实数解.
(2) m 为何值时，关于x 的方程
2
(1)2(21)(13)0m x m x m ++++-=
（1）有两个相异实根；（2）有两个根，且它们之和为非负数.
新知总结：
解二次方程根的分布问题，，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，画出二次函数图像，列出有关的不等式及不等式组进而求解.
例2 国家原计划以2400元／t 的价格收购某种农产品mt.按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即800）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规
律，税率降低x 个百分点，收购量能增加x 2个百分点.试确定x 的范围，使税率降低后，国家此项税收总收入不低于原计划的7800.
三 典型例题
例3求函数2
1
()56
f x x x =-+的定义域.
变式：求函数.
例4 已知二次函数f(x)=mx 2-(1-m)x+m,其中m 是实数.
(1) 若f(x)没有零点，求m 的取值范围. (2) 设不等式f(x)<mx+m 的解集为A ，当m 为什么
正数时，集合A ⊆（-∝，3）
小结：一元二次函数，二次不等式，二次方程由二次函数图像紧密联系在一起
四 动手试试
已知方程012
2
=-++a ax x
⑴有一正根一负根，求a 的取值范围； ⑵有两负根，求a 的取值范围.
※总结提升
一 学习小结
① 应用范围：求定义域；集合运算；不等式恒成立；根的分布；实际应用问题.
② 在求定义域的过程中结合了分数不等式、无理不等式、高次不等式等的解法,
③ 解含参数的不等式问题，注意对不等式所对应的方程根的情况进行观察，同时要注意对参数的分类讨论.
④ 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组进而求解.
⑤ 解一元二次不等式应用问题，需遵循以下四个步骤：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答
二知识拓展
※ 课后练习：
1. 不等式组127,
(1)(2)4x x x -<-⎧⎨+-≥⎩的解集为（ ）
A ．（－∞，－2］∪[3，4)
B ．（－∞，－2］∪（4，+∞）
C ．（4+∞）
D ．（－∞，－2］∪（4，+∞） 2. 己知关于x 的方程(m +3)x 2－4mx +2m －1= 0 的 两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )
A ．－3< m <0
B ．0<m <3
C ．m <－3或m > 0
D ．m <0 或 m >3 3.A={x||x －a|<2} , B={x|
12
1
2<+-x x }, 若A ⊂B, 则 ( ) A. 0≤a ≤1 B. 0≤a<1 C. 0<a ≤1 D. 0<a<1
4.某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y=3000+20x －0.1x 2 （0<x<240，x ∈N*） ，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）. A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
5. 函数y =的定义域是
6．α和β是关于x 的方程x 2－(k －2)x +k 2+3k +5=0的两个实根,则α2
+β2
的最大值为 .
7.若关于x 的方程01222=++⋅+a a x
x 有实根，求实数a 的取值范围.
8．汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40km / h 的弯道上 , 甲、乙两辆汽车相向而行 , 发现情况不对 , 同时刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系 : s 甲= 0.1x+0.01x 2,
s 乙=0.05x+0.005x 2, 问甲、乙两车有无超速现象?
9某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x －
2
1x 2
(万元) (0≤x ≤5). 其中x 是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大? (3)年产量为多少时, 企业才不亏本?。