山东省临沂市某中学2016届高三数学上学期开学摸底考试试题文

2015－2016学年上期第一次摸底考试高三数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。

）1．已知集合{|M x y ＝，集合{}|,x N y y e x R ∈＝＝（e 是自然对数的底数），则M N ∩＝A ．{}|01x x ＜≤B ． {}|01x x ＜＜C ．{}|1x x ＞D ． ∅ 2．己知a R ∈，则“a ＝±1”是“21(1)a a －＋－i 为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若sin tan 0a a ＞，且cos 0tan aa＜，则角α是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．下列命题中正确的是A ．命题“x R ∃∈，使得210x －＜”的否定是“x R ∀∈，均有210x -＞”； B ．命题“若cos cos x y ＝，则x ＝y”的逆否命题是真命题：C ．命题“若x ＝3，则2230x x －－＝”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”；D ．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．5．设0.10144,log 0.1,0.4a b c ．＝＝＝，则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．b ＞c ＞a6．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于A ．．C ．7．若向量a 与b 的夹角为120，且1,2a b ＝＝, C ＝a ＋b ，则有A ．c ⊥bB ．c ⊥aC ．c∥bD ．c∥a8．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最大值是A ．7B ．8C ．15D ．169．O 为坐标原点，F 为抛物线24C y x =：的焦点，P 为C 上一点，若4PF ＝，则∆POF 的面积为 AC ．2D ． 310．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的 切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A ．20142015 B ．20122013 C ．20132014 D ．2015201611．己知e 是自然对数的底数，函数()2x f x e x =+-的零点为a ，函数g （x ）＝lnx ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的A ．(1)()()f f a f b ＜＜B ．()()(1)f a f b f ＜＜C ．()(1)()f a f f b ＜＜D ．()(1)()f b f f a ＜＜12．已知定义在R 上的函数f （x ）满足(2)()f x f x ＋＝－，当(]1,3x ∈－时，(](]1,1()(12),1,3x f x t x x ∈∈⎪⎩－＝－－，其中t ＞0，若方程()3x f x =恰有3个不同的实数根， 则f 的取值范围为A ．4(0,)3 B ．2(,2)3 C ．4(,3)3 D ．2(,)3+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足1122x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－≥－－≤，则22z x y ＝＋的最小值是__________14．若直线y ＝kx －1与圆221x y +＝相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120（其中O 为原点），则k 的值为______________．15．定义行列式运算11a b22a b 1221a b a b ＝－，将函数()f xsin 2cos 2x x 的图象向左平移 t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为___________． 16．在∆ABC中，60,A BC ∠==D 是AB边上的一点，CD =，△CBD 的面积为1，则AC 边的长为______________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数22()cos sin sin (0)f x x x x x ωωωω=-+>，()f x 的图象的两条相 邻对称轴间的距离等于2π，在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，若a = b ＋c ＝3，()1f A ＝，求∆ABC 的面积．18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到 这M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下：（Ⅰ）求出表中M ，p 及图中a 的值；（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的 中点（Ⅰ）证明：11BC ACD ∥； （Ⅱ）设12,AA AC CB AB ＝＝＝＝求三棱锥1D ACE - 的体积．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+⋅＝－＝ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b na ＝，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 21．（本小题满分12分） 己知函数2(1)()a x f x x-＝，其中a ＞0 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线x －y －l ＝0是曲线y ＝()f x 的切线，求实数a 的值；（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x ＝－，求g(x)在区间[]1,e 上的最大值（其中e 为自然对数的底数）【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲在∆ABC 中，D 是AB 边上一点，∆ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2BE（Ⅰ）求证：BC ＝ 2BD ；（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且AC ＝2，EC ＝1，求BD 的长． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程己知圆1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)4πρθ=-．（Ⅰ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）圆1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数，()f x x a -＝（Ⅰ）当a ＝2，解不等式，()51f x x ≥－－；（Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a m n m n＋＝＞＞，求证：24m n ＋≥．2015－2016学年上期第一次摸底考试高三数学（文）试题（参考答案） 一．选择题.ABDCC DBCBA CB二．填空题.13. 21 14.6π 三．解答题. 17.解：22π()cos sin sin cos 222sin(2),6f x x x x x x x x ωωωωωωω=-+==+ ………………3分0,ω>∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==， 由题意得：π=22T ，即π=π,T ω=解得：=1ω ………………5分 π()2sin(2)6f x x ∴=+，()1f A =，π1sin(2)62A ∴+=，ππ13π2(,),666A +∈5266A ππ∴+=,即=3A π.………………7分3,a =∴由余弦定理得：2222cos ,a b c bc A =+-即223b c bc +-= ①，………………9分2223,()29b c b c b c bc +=∴+=++= ②，联立①②，解得：2bc =，则1sin 22ABC S bc A ==△ ………………12分 18.解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M = ………………2分因为频数之和为40，所以1025240m +++=，3m =. 3340p M ==. ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以250.125405a ==⨯ ………………6分（Ⅱ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有325+=人， 设在区间[20,25)内的人为{}123,,,a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有121311122321(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a b a a a b 22(,),a b 313212(,),(,),(,)a b a b b b 10种情况， ………………8分 而两人都在[20,25)内共有121323(,),(,),(,)a a a a a a 3种， ………………10分至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率3711010p =-=. ………………12分19.（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点， 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . ………………2分因为DF ⊂平面A 1CD ，1BC ⊄平面A 1CD ， ………………4分所以BC 1∥平面A 1CD ………………5分 （Ⅱ）因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC, 因为CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ， ………………6分 由已知AC =CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，………………7分 又AA 1∩AB =A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1， ………………8分由AA 1=AC =CB =2，AB=∠ACB =90°，CD A 1D DE A 1E =3， 故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，DE ⊥A 1D ，所以11111.32D A CE C A DE V V --==⨯= ………………12分 20.解：（1）由已知12a =，21132n n n a a -+-=得，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+ ………………2分23253(222)2n n --=++++ ………………4分232122432214n n ---⋅=⋅+=- ………………6分 （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知 35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅.①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅.②①-②得21235212121224(12)22222=214n n n n n S n n --++-⋅-=++++-⋅-⋅-. ………………10分即211[(31)22]9n n S n +=-+. ………………12分 21. 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ………………1分 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2).……………3分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得01x =，1a =. (6)分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， ………………7分解()0g x '=，得1e a x -=，当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………8分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………9分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-，所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. ………………11分 综上所述，当e0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =. ………………12分22．（I ）根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅ …………2分 因为2AB BE =，所以2BC BD = ………………4分（II ）由BD BA BE BC ⋅=⋅得BE BDAB BC= ， 又DBE CBA ∠=∠∴DBE ∆∽CBA ∆，知BE EDAB AC =，………6分 又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =， ………………8分设BD x =，由BD BA BE BC ⋅=⋅得()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = ………………10分23.（Ⅰ）由cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得221,x y += ………………2分又222cos 2sin ,4πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭22cos 2sin .ρρθρθ∴=+22220,x y x y ∴+--=即()()22112,x y-+-= ………………5分（Ⅱ）圆心距1),d ==得两圆相交，…………6分由22221220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩得直线AB 的方程为2210,x y+-= …………7分 所以，点O 到直线AB 4= …………8分 ||2AB ∴==…………10分 24.（I ）由已知可得，原不等式可化为|1||2|5x x -+-≥等价于2125x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩或12125x x x <<⎧⎨--+≥⎩或1125x x x ≤⎧⎨-+-+≥⎩解得4x ≥或x ∈∅或1x ≤-∴原不等式的解集为(,1][4,)-∞-+∞ ………………5分 （II ）依题可知||111x a a x a -≤⇒-≤≤+，所以1a =，即1112m n+= …………7分 1122(2)()=2422n m m n m n m n m n+=++++≥ …………9分 当且仅当1112m n +=，22n mm n =,即2,1m n ==时取等号 ………………10分E CBD A。