函数的奇偶性习题课
高中数学函数的奇偶性经典习题（带答案）
绝密★启用前1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 3－1x ； (2)f(x)＝|2|2x ＋－； (3)f(x)＝(x －(4)f(x). 【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数（4）既是奇函数也是偶函数解析:(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由210|2|20x x ⎧≥⎨≠⎩－，＋－，得1104x x x ≤≤⎧⎨≠≠⎩－，且－. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0.从而有f(x)＝22x x＝＋－， 这时有f(－x)＝21(x x --)－＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．()||f x x =-B ．()22x x f x -=+C ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--D ．3()1f x x =-【答案】C 解析：对于B ，()22()x x f x f x --=+=，函数()f x 为偶函数，所以B 错；对于C ，由1010x x +>⎧⎨->⎩，故11x -<<，关于原点对称，又()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=--+=-对于D ，33()()11()()f x x x f x f x -=--=--≠≠-，函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，3．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则( )C.2lgD.-2lg 【答案】D.解析:4．已知函数(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，且(0)2,(4)则f f ==（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．3【答案】A 解析:因为函数(1)f x +是奇函数，所以)(x f 的对称中心为（1,0），因为(1)f x -是偶函数，所以)(x f 的对称轴为x=-1。
1.3.2函数的奇偶性(优质课)
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
教材36页练习：
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有 f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有 f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课后作业
1.教材39页习题1.3 A组第6题B组第3题 2.教辅第19页~20页 3.教辅练习册第8页 1.3.3 奇偶性 4.教材第40页~41页实习作业
1.3.2 奇偶性
情景导入
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少 具有对称特征的美丽图像,比如 y = x2, y = 1 等函数图像.
x f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称 本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
当∴只x需∈要[0，先+画∞出) 时f(，x)在[0，+∞)的图象， 再f (根x)据对 x称2 性2，x 可3画 出( x整个1)图2 象4 ..
.4.y.
由图象可知：
函数的奇偶性习题课
《函数的奇偶性》习题课【学习目标】1、函数奇偶性的判断。
2、函数的奇偶性的应用。
【重点难点】▲重点：函数的奇偶性的判断及前提条件。
▲难点：函数的奇偶性的应用。
【知识链接】函数的单调性的概念 函数的奇偶性的概念 【学习过程】类型一：判断分段函数的奇偶性根据定义判断函数奇偶性的基本步骤为： （1）先看定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则此函数即为非奇非偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再看()()x f x f 与-的关系，若()()x f x f =-则为偶函数，若()()x f x f -=-则为奇函数。
例1：()()()()()的奇偶性判断⎩⎨⎧>+<-=0101x x x x x x x f问题1：()______,00=-<->x f x x 则时当()______,00=->-<x f x x 则时当问题2：()()什么关系？与则时当x f x f x ->,0()()什么关系？与则时当x f x f x -<,0问题3：完整的写出本题的解答过程问题4：分析本题的特点，归纳一下分段函数判断奇偶性时的方法与注意事项。
变式训练：求证：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0320003222x x x x x x x x f 是奇函数类型二：利用函数的奇偶性求解析式()()()的解析式求时上的奇函数，且当是定义在：已知例x f x x x f x R x f ,1022++=>问题1：函数()x f y =是一个分段函数吗？根据定义域为R ，你还需求出几段的解析式？()()这个已知联系起来？如何与时：当问题01,022>++=<x x x x f x（求谁设谁，注意利用转化的思想哟）()________,03==x f x 时：当问题问题4：写出本题完整的解答过程类型三：抽象函数的奇偶性。
函数的奇偶性(第一课时)
奇函数的定义域也关于原点对称
1.定义域关于原点对称是 函数f ( x)具有奇偶性的先决条件
三、性质
[思考]设( x, f ( x))是偶函数f ( x)图像上的任意一点， 那么( x, f ( x))在这个函数的图像上吗 ？
偶函数的图像关于 y 轴对称
[思考]设( x, f ( x))是奇函数f ( x)图像上的任意一点， 那么( x, f ( x))在这个函数的图像上吗 ？
如果函数f ( x)是偶函数或奇函数，就 说函数f ( x)具有奇偶性
三、性质
[思考] f ( x) x 2 , x [-2,1]是偶函数吗？
y 4 2
-2
o
1
x
[思考] f ( x) x 2 , x [-2,2]是偶函数吗？
2
0
2
偶函数的定义域关于原点对称
同理 : f ( x) x, x [-2,1]是奇函数吗？ f ( x) x, x [-2,2]是偶函数吗？
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像 y 关于原点对称；反之也 成立
三、性质
[思考]如果f ( x)是定义在R上的奇函数 f (0)等于多少? ,
1 对于奇函数f ( x) 呢? x
3.对于奇函数，若 属于定义域时， (0) 0, 0 f 即图像过原点
四、初步应用
（判断函数的奇偶性） （1）求函数的定义域，并判断是否关于原点对称 （2）判断f(-x)与f(x)的关系
课本 P36页
练习题：第1、2题
例1、 已知f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，如图（5）、 （6） 分别是它们的局部图象，试求f(-2) ，g(1) ，并把这两个函数 的图象补充完整。
函数的奇偶性问题练习题(含答案)
...函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，...可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。
人教A版必修第一册 3-2-2 第2课时 函数奇偶性的应用(习题课) 课件(25张)
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-x-2,②
联立①②可得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[例3] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(
)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)<f(2)<f(3)
D.f(-π)<f(3)<f(2)
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-3<x<0或x>3.故选C.
当堂检测
1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(
A
A.f(-1)>f(2)>f(-3)
所以函数的图象关于原点对称,且关于 x=1 对称,
( )-( )
当 x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2 时,
f(-2)=0,
其大致图象如图所示,
-
>0,即函数在[0,1]上单调递增,f(2)=f(0)=
< ≤ , - ≤ < ,
则当-3≤x≤1 时,不等式 xf(x)>0 可转化为
意分类讨论.
针对训练 4:(1)设 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在[0,1)上单调递减,f(- )=1,
高中函数奇偶单调练习题及讲解
高中函数奇偶单调练习题及讲解# 高中函数奇偶性与单调性练习题及讲解## 练习题### 题目一：奇偶性判断给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，判断该函数的奇偶性。
### 题目二：单调性判断考虑函数 \( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)，确定其在定义域内的单调性。
### 题目三：综合应用已知函数 \( h(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)，求证其在 \( (-\infty, 0) \) 上单调递增。
### 题目四：函数图像画出函数 \( f(x) = |x - 2| \) 的图像，并判断其奇偶性。
### 题目五：函数性质综合对于函数 \( k(x) = \sqrt{x} \)，分析其奇偶性与单调性。
## 解题步骤与讲解### 题目一讲解要判断函数的奇偶性，我们可以使用奇偶函数的定义：- 奇函数：\( f(-x) = -f(x) \)- 偶函数：\( f(-x) = f(x) \)对于 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，代入 \( -x \) 得到 \( f(-x) = (-x)^2 + 4x + 3 = x^2 - 4x + 3 = f(x) \)，因此 \( f(x) \) 是偶函数。
### 题目二讲解判断函数的单调性，我们可以求导数：- 如果 \( g'(x) > 0 \)，则函数在该区间上单调递增。
- 如果 \( g'(x) < 0 \)，则函数在该区间上单调递减。
对于 \( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)，求导得到 \( g'(x) = -6x + 2 \)。
令 \( g'(x) = 0 \) 解得 \( x = \frac{1}{3} \)。
因此，函数在 \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) 上单调递增，在\( (\frac{1}{3}, +\infty) \) 上单调递减。
单调性与奇偶性习题课
函数的单调性与奇偶性学习目标1.理解函数的单调性与奇偶性的概念，会判断一些简单函数的单调性与奇偶性。
2.能利用函数的单调性与奇偶性解决相关问题。
3.进一步强化数形结合思想。
学习过程课后作业1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b = 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. Rx xy ∈=,)21(3.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ） A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥4.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．5已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 6．下列函数为偶函数的是 （ ）A ．y=3xB ．y=xC ．y=312+x D ．y=x3 7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)8.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎫12，23 D.⎣⎡⎫12，23 10.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示， 则使函数值y <0的x 的取值集合为________．12. 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ） A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥13.函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称。
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基本知识回顾：
定义：1.偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
2. 奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
函数奇偶性的判断方法：1.利用定义___________________
2.利用定理图像_______________
3.利用性质____________________
注：①定义域关于_________ 对称
②奇函数的图像关于_______对称，且在对称的区间上单调性_______（填相同或相反）
偶函数的图像关于________对称，且在对称的区间上单调性________（填相同或相反）
③如果y=f(x)为奇函数，且在零点有定义，则必有____________
④如果y=f(x)为偶函数，则必有f(x)=___________
⑤设
如果f（x）为奇函数，则___________________
如果f（x）为偶函数，则_________________
⑥规律：奇函数±奇函数为________偶函数±偶函数为___________
奇函数×奇函数为______偶函数*偶函数为__________奇函数*偶函数为_________ 例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
（2）
（3）（4）（5）（6）
巩固练习
1：已知是偶函数，定义域为.则，
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
3.函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是（） A. B. C.
D.或
4.设函数为奇函数，则．
5已知函数为奇函数，若，则．
6．下列函数为偶函数的是（）
A．y= B．y= C．y= D．y=
7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0, 则a的取值范围是( )
A.(2，3)
B.(3，)
C.(2，4)
D.(－2，3)
8.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________. 9．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是
()
A. B.
C. D.
10.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有
<0，则()
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
11．(2010·温州一模)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，
则使函数值y<0的x的取值集合为________．
12. 函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是（） A. B. C.
D.或
13.函数的图像关于（）
A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称
14.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是。