初二数学期末复习试题一(含答案)
初二数学期末测试卷带答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正数是（）A. -3.5B. -2C. 0D. 3答案：D2. 下列各数中，有理数是（）A. πB. √2C. √-1D. 1/2答案：D3. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 1/3C. √-9D. 0.1010010001...答案：D4. 下列各式中，正确的是（）A. (-2)² = -4B. (-2)³ = -8C. (-2)⁴ = 16D. (-2)⁵ = -32答案：B5. 下列各式中，绝对值最大的是（）A. |-3|B. |2|C. |-1|D. |0|答案：A6. 下列各式中，等式成立的是（）A. 3x + 5 = 8B. 2x - 1 = 3C. 5x + 2 = 10D. 4x - 3 = 7答案：B7. 下列各式中，比例关系成立的是（）A. 2 : 3 = 4 : 6B. 3 : 4 = 6 : 8C. 4 : 5 = 8 : 10D. 5 : 6 = 10 : 12答案：C8. 下列各式中，函数关系正确的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x - 2C. y = 4x + 1D. y = 5x - 4答案：A9. 下列各图中，函数图像为一次函数的是（）A.B.C.D.答案：B10. 下列各数中，有最大公因数6的是（）A. 18, 24B. 24, 30C. 30, 36D. 36, 42答案：B二、填空题（每题5分，共25分）11. 计算：(-2)³ × (-3)² = _______答案：-3612. 计算：3/4 ÷ 1/2 = _______答案：3/213. 计算：√(16) - √(9) = _______答案：314. 若x = 2，则3x² - 4x + 1 = _______答案：315. 若y = 3x - 2，当x = 4时，y的值为 _______答案：10三、解答题（每题10分，共30分）16. 解方程：2x - 3 = 7答案：x = 517. 解方程组：$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 1\end{cases}$$答案：x = 1, y = 218. 已知一次函数y = kx + b，当x = 1时，y = 2；当x = 2时，y = 5，求该一次函数的表达式。
初二数学期末试卷含答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a > b，则下列哪个不等式一定成立？A. a^2 > b^2B. a^2 < b^2C. |a| > |b|D. |a| < |b|2. 下列哪个函数的定义域为实数集R？A. y = 1/xB. y = √(x+1)C. y = x^2D. y = |x|3. 下列哪个数是分数？A. √2B. 3/5C. √3D. 2.54. 已知a > 0，b > 0，下列哪个不等式一定成立？A. a^2 > b^2B. ab > a + bC. a^2 + b^2 > 2abD. a^2 - b^2 > 05. 下列哪个图形是平行四边形？A. 矩形B. 正方形C. 菱形D. 以上都是6. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，下列哪个结论一定成立？A. ∠B = ∠CB. ∠A = ∠BC. ∠A = ∠CD. ∠B + ∠C = 180°7. 下列哪个方程的解为x = 2？A. x - 2 = 0B. x + 2 = 0C. 2x - 2 = 0D. 2x + 2 = 08. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = √x9. 下列哪个数是整数？A. √2B. 3/5C. √3D. 2.510. 已知a、b、c是等差数列，且a + b + c = 15，下列哪个结论一定成立？A. a = 5B. b = 5C. c = 5D. a + b = c二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知x + y = 5，xy = 4，求x^2 + y^2的值。
12. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，求∠BAC的度数。
13. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，求方程的解。
14. 已知函数y = 2x + 3，求当x = 2时，y的值。
初二数学期末试题及答案
初二数学期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是偶数？A. 3B. 5C. 2D. 7答案：C2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A3. 计算下列算式的结果：\[ 3x - 2x + 5 = \]A. \( x + 5 \)B. \( 5x \)C. \( 3x \)D. \( 2x \)答案：A4. 一个正方形的对角线长度为5，那么它的面积是？A. 12.5B. 25C. 50D. 100答案：A5. 一个圆的半径为3，那么它的周长是？A. 6πB. 9πC. 12πD. 18π答案：C6. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C7. 计算下列算式的结果：\[ \frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \]A. \( \frac{17}{20} \)B. \( \frac{15}{20} \)C. \( \frac{13}{20} \)D. \( \frac{11}{20} \)答案：A8. 一个数的立方是64，那么这个数是？A. 4B. -4C. 4或-4D. 8答案：A9. 一个数的平方是9，那么这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C10. 计算下列算式的结果：\[ 2^3 \times 3^2 = \]A. 108B. 72C. 81D. 54答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方是36，那么这个数是________。
答案：6或-62. 如果一个角的补角是60°，那么这个角的度数是________。
答案：120°3. 一个数的立方是27，那么这个数是________。
答案：34. 一个数的绝对值是8，那么这个数是________。
答案：8或-85. 计算下列算式的结果：\( \frac{1}{2} \times 4 = \)________。
初二数学期末试卷附答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. √92. 如果 |a| = 5，那么 a 的值是（）A. 5B. -5C. 5 或 -5D. 03. 下列各式中，正确的是（）A. (-2)² = -4B. (-3)³ = -27C. 2³ = 8D. (-2)⁴ = 164. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 非等腰三角形5. 下列各数中，质数是（）A. 1B. 4C. 17D. 186. 下列各式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. a² - b² = (a + b)(a - b)C. a² - b² = (a - b)(a + b)D. a² + b² = (a - b)²7. 下列各数中，完全平方数是（）A. 16B. 15C. 14D. 138. 如果x² = 4，那么 x 的值是（）A. 2B. -2C. 2 或 -2D. 09. 下列各式中，正确的是（）A. 2a + 3b = 5(a + b)B. 2a + 3b = 5(a - b)C. 2a + 3b = 5(2a + 3b)D. 2a + 3b = 5(2a - 3b)10. 下列各数中，正数是（）A. -5B. 0C. 5D. -3二、填空题（每题2分，共20分）11. 3的平方根是 ________，它的立方根是 ________。
12. 如果 |x| = 7，那么 x 的值是 ________。
13. 下列各数中，质数是 ________。
14. 下列各数中，完全平方数是 ________。
15. 如果x² = 9，那么 x 的值是 ________。
初二上数学期末专题复习试题及答案全套
最新初二上数学期末专题复习试题及答案全套一.类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算——全方位求角度◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于()A．50°B．55°C．45°D．40°2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状无法确定3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD 于F，求∠DEF的度数．◆类型二综合内外角的性质5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是()A．20°B．30°C．40°D．60°第5题图第6题图6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．120°B．105°C．90°D．75°9．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是()A．10°B．15°C．20°D．25°10．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为________．◆类型四与平行线结合12．如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠ACE 的度数为()A．35°B．40°C．115°D．145°13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A＝40°，那么∠EGB等于()A．80°B．100°C．110°D．120°14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝________．15．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD 交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．◆类型五与截取或折叠相关16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A．∠A＝∠1－∠2B．2∠A＝∠1－∠2C．3∠A＝2∠1－∠2D．3∠A＝2(∠1－∠2)17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．第17题图第18题图18．在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于________．19．如图．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2、∠A与∠1之间的关系式(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．参考答案与解析1．C 2.C3．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝90°－∠C ＝90°－72°＝18°.方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．4．解：∵△ABC 中，∠B ＝26°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－26°－70°＝84°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝12×84°＝42°.在△ACE 中，∠CAE ＝90°－∠C ＝90°－70°＝20°，∴∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝42°－20°＝22°.∵∠DEF ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠DAE ＝90°，∴∠DEF ＝∠DAE ＝22°.5．B 6.80°7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B ；(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∵∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，∴3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．B 9.B 10.75° 11.35° 12.C 13.C 14.15° 15．解：(1)∵EH ⊥BE ，∴∠BEH ＝90°.∵∠HEG ＝55°，∴∠BEG ＝∠BEH －∠HEG ＝35°.又∵EG ∥AD ，∴∠BFD ＝∠BEG ＝35°；(2)∵∠BFD ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠BAD ＝∠EBC ，∴∠BFD ＝∠EBC ＋∠ABE ＝∠ABC .由(1)可知∠BFD ＝35°，∴∠ABC ＝35°.∵∠C ＝44°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝180°－35°－44°＝101°.16．B 17.14° 18.250°19．解：(1)延长BE 、CD ，交于点P ，则△BCP 即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE ＝∠DPE .连接AP .由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP ＋∠EP A ，∠2＝∠DAP ＋∠DP A ，则∠1＋∠2＝∠DAE ＋∠DPE ＝2∠DAE ，即∠1＋∠2＝2∠A ；(2)图②中，∠2＝2∠A ；图③中，∠1＝2∠A ； (3)图④中，∠2－∠1＝2∠A .二.类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线． (1)已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；(2)设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝_____.3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点． (1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出理由．模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1. (1)求证：∠A 1＝12∠A ；(2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝_____________.模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO 平分△ABC 的外角∠CBD ，CO 平分△ABC 的外角∠BCE ，则∠BOC 与∠A 的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE ＝12(β－α)，证明如下：∵∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝90°－12(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝12(β－α)． 2．60°3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°. (2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋12∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝12(∠A ＋∠ABC )．又∵∠A 1CD＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴12∠ABC ＋∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝12∠A .(2)α22017 5．(1)∠BOC ＝90°－12∠A(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝12∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－12∠A .三. 解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧——明模型，先观察，再猜想，后证◆类型一 全等三角形的基本模型1．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，∠A ＝50°，∠B ＝90°，则∠C ＝________.第1题图 第2题图2．如图，锐角△ABC 的高AD ，BE 相交于F ，若BF ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AF 的长为_________.3．如图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，AB ∥EF ，AB ＝EF ，∠B ＝∠F ，AE ＝10，AC ＝6，则CD 的长为 （ ）A ．2B ．4C ．4.5D ．34．如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 在同一直线上，连接BD 交AC 于点F .(1)求证：△BAD ≌△CAE ；(2)猜想BD ，CE 有何特殊位置关系，并说明理由．◆类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l 于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？请说明理由．二、截长补短法6．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．三、倍长中线法7．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定参考答案与解析1．110° 2.3 3.A4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD ＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝90°.又∵∠AFB＝∠DFC，∴∠ACE＋∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.5．解：(1)AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.(2)BD＝DE＋CE.理由如下：由(1)可知△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE.又∵AE ＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.6．解：AE＝AB＋DE.证明如下：如图，在AE上截取AF＝AB，并连接CF.∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAF.又∵AC＝AC，∴△BAC≌△F AC(SAS)，∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF.∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠FCE＝∠DCE.又∵C为BD的中点，∴BC＝DC，∴DC＝FC.又∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE(SAS)，∴DE ＝FE，∴AE＝AF＋FE＝AB＋DE.7．C四.难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC 和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP ＝AC＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.5.易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳，各个击破◆类型一求长度时忽略三边关系1．(2016·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（）A．12 B．16C．20 D．16或202．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确：_____，理由是_____________________．3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和10cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．100°B．40°C．40°或100°D．60°5．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．80°，80°D．50°，50°或80°，20°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_____.◆类型三三角形的形状不明时没有分类讨论7．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____.9．如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则_________(用含x的代数式表示)．10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．◆类型四 一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时漏解11．(2016·武汉中考)平面直角坐标系中，已知A (2，2)、B (4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵图中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C 点有_____个．参考答案与解析1．C2．不正确 没考虑三角形三边关系3．解：设腰长为x cm ，①腰长与腰长的一半是6cm 时，x ＋12x ＝6，解得x ＝4，∴底边长＝10－12×4＝8(cm)．∵4＋4＝8，∴4cm 、4cm 、8cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是10cm 时，x ＋12x ＝10，解得x ＝203，∴底边长＝6－12×203＝83(cm)，∴三角形的三边长为203cm 、203cm 、83cm ，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为203cm ，底边长为83cm.4．C 5.D 6．120°或20° 7.C 8.70°或20° 9．x 或90－x 解析：∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，∴腰上的高相等．①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y ＝x ，②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y ＝90－x .故答案为x 或90－x .10．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部．如图①所示，得顶角∠ACB ＝∠D ＋∠DAC ＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A ＝90°－∠ABD ＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.11．A 12.56.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝__________.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .(1)求证：DE ＝DF ； (2)若∠A ＝90°，图中与DE 相等的有哪些线段(不说明理由)？3．如图，△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC ，求证：EB ⊥AB .二、构造等腰三角形4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为( )A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．0.7cm25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．40°2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段DF ，AE ，AF ，BE ，CF .3．证明：如图，作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：如图，连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠BDF ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB －∠ACB ＝180°－36°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：如图，过P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP ＝PF .∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD (ASA)，∴PD ＝DQ .(2)解：∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.7.类比归纳专题：证明线段相等的基本思路——理条件、定思路，几何证明也容易◆类型一 已知“边的关系”或“边角关系”用全等1．如图，已知AB ＝AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF ⊥CD ，F 为垂足，求证：(1)AC ＝AD ； (2)CF ＝DF .2．如图，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 、E 分别在BC 和AC 上，且BD ＝CE ，M 是AB 的中点．求证：△MDE 是等腰三角形．◆类型二 已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”3．如图，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG ，EF ∥BC 交AC 于点D ，求证：DE ＝DF .4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD 于H，交AB于N.(1)求证：AN＝AC；(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．◆类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF .6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB .参考答案与解析1．证明：(1)在△ABC 和△AED 中，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，∴AC ＝AD ；(2)在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，AC ＝AD ，AF ＝AF ，∴△ACF ≌△ADF ，∴CF ＝DF . 2．证明：连接CM ，则BM ＝CM ，且CM ⊥MB ，∴∠B ＝∠MCE ＝45°，∴BM ＝AM ＝CM .在△MBD 和△MCE 中，BM ＝CM ，∠B ＝∠MCE ，BD ＝CE ，∴△MBD ≌△MCE ，∴DM ＝EM ，∴△MDE 是等腰三角形．3．证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE ＝∠BCE .∵CF 为△ABC 外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF ＝∠GCF .∵EF ∥BC ，∴∠GCF ＝∠F ，∠BCE ＝∠CEF .∴∠ACE ＝∠CEF ，∠F ＝∠DCF ，∴CD ＝ED ，CD ＝DF ，∴DE ＝DF .4．(1)证明：∵CN ⊥AD ，∴∠AHN ＝∠AHC ＝90°.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠NAH ＝∠CAH .又∵在△ANH 和△ACH 中，∠AHN ＋∠NAH ＋∠ANH ＝180°，∠AHC ＋∠CAH ＋∠ACH ＝180°∴∠ANH ＝∠ACH ，∴AN ＝AC ；(2)解：BN ＝CD .理由如下：连接ND .在△AND 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝AC ，∠NAD ＝CAD ，AD ＝AD ，∴△AND ≌△ACD (SAS)，∴DN ＝DC ，∠AND ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠AND ＝2∠B .又∵△BND 中，∠AND ＝∠B ＋∠NDB ，∴∠B ＝∠NDB ，∴NB ＝ND ，∴BN ＝CD .5．证明：连接BD 、CD .∵AD 是∠F AE 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .∵DG 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .∴Rt △CDF ≌Rt △BDE .∴BE ＝CF .6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .又∵BD ＝DF ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，AD ＝AD ，DC ＝DE ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE ，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .8.解题技巧专题：乘法公式的灵活运用——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍◆类型一 利用乘法公式进行简便运算1．计算102×98的结果是（ ） A ．9995 B ．9896 C ．9996 D ．99972．计算20152－2014×2016的结果是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 3．计算：(1)512＝____________； (2)298×302＝____________. 4．运用公式简便计算：(1)4013×3923； (2)100022522－2482.5．阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215.◆类型二 利用乘法公式的变式求值 6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14，则a ＋b的值为（ ）A ．－12 B.12C ．1D ．27．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）A ．－9B ．9C ．±9D ．38．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ）A ．10B ．23C ．25D ．279．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为1.10．(2016·巴中中考)若a ＋b ＝3，ab ＝2，则(a －b )2＝__________.11．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．参考答案与解析1．C 2.D3．(1)2601 (2)899964．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋13⎝⎛⎭⎫40－13＝402－⎝⎛⎭⎫132＝159989； (2)原式＝10002（250＋2）2－（250－2）2＝100022502＋2×250×2＋22－（2502－2×250×2＋22）＝100022000＝500. 5．解：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B 9.1 10.111．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.(2)∵a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，∴(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.9.解题技巧专题：选择合适的方法因式分解——学会选择最优方法◆类型一 一步(提公因式或套公式)分解因式 1．(2016·宁德中考)下列分解因式正确的是（ ） A ．－ma －m ＝－m (a －1)B ．a 2－1＝(a －1)2C ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2D ．a 2＋3a ＋9＝(a ＋3)2 2．分解因式：(1)3x 3y 3－x 2y 3＋2x 4y ；(2)2(x ＋y )2－(y ＋x )3.◆类型二 两步(先提后套或二次分解)分解因式2．3．(2016·梅州中考)分解因式a 2b －b 3，结果正确的是（ ）A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2C．b(a2－b2) D．b(a＋b)24．分解因式：(1)－2a3＋12a2－18a;(2)(x2＋1)2－4x2.*◆类型三特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法、配方法)5．阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝______________________＝______________________；(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.参考答案与解析1．C2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．3．A4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y－1)(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a－b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．(2)7，－7，2，－2解析：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)；(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．10.易错专题：分式中常见的陷阱——易错全方位归纳，各个击破◆类型一 分式值为0时求值，忽略分母不为01．分式x 2－4x －2的值等于0时，x 的值为（ ）A ．±2B ．2C ．－2 D. 22．要使m 2－9m 2－6m ＋9的值为0，则m 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．不存在3．若分式3－|x |x ＋3的值为零，则x 的值为_________.◆类型二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为04．(2016·安顺中考)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1÷x －2x ＋1，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入．5．(2016·巴中中考)先化简：x 2＋xx 2－2x ＋1÷⎝⎛⎭⎫2x －1－1x ，然后再从－2＜x ≤2的范围内选取一个合适的x 的整数值代入求值．◆类型三 无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况6．★若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，则m 的值为（ ）A ．－32 B ．1C ．－32或2D ．－12或－327．已知关于x 的分式方程ax ＋1－2a －x －1x 2＋x＝0无解，求a 的值．◆类型四 已知方程根的情况求参数的取值范围，应舍去公分母为0时参数的值8．(2016·齐齐哈尔中考)若关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ） A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，39．已知关于x 的分式方程a －xx ＋1＝1的解为负数，求a 的取值范围．参考答案与解析1．C 2.B 3.34．解：原式＝x x ＋1·x ＋1x －2＝x x －2，当x ＝3时，原式＝33－2＝3(x 不能取－1和2)．5．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1≠0，（x －1）x ≠0，x ＋1≠0，即x ≠－1，0，1.又∵－2<x ≤2且x 为整数，∴x ＝2.∴原式＝222－1＝4.6．D 解析：方程两边同乘x (x －3)，得x (2m ＋x )－x (x －3)＝2(x －3)，化简得(2m ＋1)x＝－6，解得x ＝－62m ＋1.由分式方程无解，得x ＝0或x ＝3或2m ＋1＝0.当x ＝0时，－62m ＋1＝0，解得m ＝－12；当x ＝3时，－62m ＋1＝3，解得m ＝－32；当2m ＋1＝0时，m ＝－12.故m 的值为－12或－32.故选D.7．解：去分母得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，由x (x ＋1)＝0，得x ＝－1或0，当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a ＝0；当x ＝0时，－2a ＋1＝0，解得a ＝12；②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a ＋1＝0，a ＝－1.综上可知a ＝0或12或－1.8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＞0，4－m －2≠0，解得m ＜4且m ≠2，∴满足条件的正整数m 的值为1和3.故选C.9．解：由a －x x ＋1＝1，解得x ＝a －12.由题意得⎩⎨⎧a －12<0，a －12＋1≠0，∴a <1且a ≠－1.11.解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ） 2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中)先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二 先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三 混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－18．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入 10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a. 当a ＝－12时，原式＝－2.4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x ＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x2－1－x2＋2xx（x＋1）·（x＋1）2x（2x－1）＝x＋1x2.∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1，∴原式＝1.。
人教版八年级数学第一学期期末综合复习测试题(含答案)
人教版八年级数学第一学期期末综合复习测试题（含答案）一．选择题（共12小题，满分36分）1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，则这个数字用科学记数法表示正确的是（）A．1.2×104B．1.2×10﹣4C．0.12×105D．0.12×10﹣5 3．已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣7C．1D．74．若3和9是一个三角形的两边长，且第三边长为偶数，则该三角形的周长为（）A．20B．21C．21或22D．20或225．如果一个正多边形的每一个内角是144°，则这个多边形是（）A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形6．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°7．下列各式正确的是（）A．B．C．D．8．下列计算正确的是（）A．a m a n＝a mn B．（﹣a2）3＝a6C．（a﹣1）2＝D．a3÷2a＝2a29．现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张（边长如图）．小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（）A．1B．2C．3D．410．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（）小时．A．B．C．D．+11．如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（）A．5B．4C．3D．212．已知△ABC是边长为10的等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交BC的延长线于F．若AE＝4BE，则CF的长为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题，满分18分）13．当x＝时，分式无意义．14．如图，自行车是人们日常代步的工具．你发现了没有，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的．15．分解因式：2x2﹣8x+8＝．16．已知：a﹣b＝1，a2+b2＝25，则（a+b）2的值为．17．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得．18．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC＝10，BC＝6．将纸片沿DE折叠，使点A与点B重合（如图乙）时，CE＝a；再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上的G点重合，折痕为EF（如图丙），则△BFG的周长为（用含a的式子表示）．三．解答题（共8小题，满分66分）19．计算：（1）（﹣a3）2•（ab）2．（2）（﹣0.25）2020×42021．20．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．21．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）用尺规完成以下基本作图：作△ABC的边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，若∠A＝40°，求∠CBE的度数．22．如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E、D，CE，BD相交于O．（1）若∠1＝∠2，求证：OB＝OC；（2）若OB＝OC，求证：∠1＝∠2．23．受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批洗手液的单价；（2）商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？24．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，CD⊥AB，则CD长为；（2）如图2，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的高CD与AE的比是；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F．若BC＝5，求DE+DF的值．25．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．26．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB 上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，①求证：AF＝AE+AD；②求证：AD∥BC．（2）如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分）1．B．2．B．3．A．4．D．5．A．6．A．7．D．8．C．9．D．10．D．11．B．12．C．二．填空题（共6小题，满分18分）13．﹣3．14．稳定性．15．2（x﹣2）2．16．49．17．﹣＝30．18．16﹣2a．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：（1）（﹣a3）2•（ab）2＝a6•a2b2＝a8b2．（2）（﹣0.25）2020×42021＝（﹣）2020×42020×4＝（﹣×4）2020×4＝1×4＝4．20．解：原式＝[﹣]÷＝（）•＝•＝，由题意得：x≠±1，当x＝2时，原式＝＝1．21．解：（1）如图所示．（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵DE为线段AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABE＝40°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°．22．证明：如图所示：（1）∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEO＝∠CDO＝90°，又∵∠EOB＝∠DOC，∠BEO+∠EOB+∠B＝180°，∠CDO+∠DOC+∠C＝180°，∴∠B＝∠C．在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（AAS），∴OB＝OC．（2）∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠OEB＝∠ODC＝90°，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS），∴OE＝OD，∴AO是∠BAC的角平分线，∴∠1＝∠2．23．解：（1）设该商场购进的第一批洗手液的单价为x元/瓶，依题意得：2×＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，答：该商场购进的第一批洗手液的单价为10元；（2）共获利：（+﹣200）×13+200×13×0.9﹣（4000+8800）＝2540（元）．答：在这两笔生意中商场共获得2540元．24．解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝＝；故答案为：；（2）如图2中，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE∴，∴2CD＝AE，∴CD：AE＝1：2；故答案为：1：2；（3）∵S△ABP＝，，，∵S△ABP＝S△ADP+S△BDP，∴，又∵BP＝AP，∴，即DE+DF＝BC＝5．25．解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab＝＝，即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为；（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．26．证明：（1）①∵∠BAC＝∠EDF＝60°，AB＝AC，DE＝DF，∴△ABC，△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF，即AF＝AE+AD；②∵△BCE≌△ACD，∴∠DAC＝∠EBC，∵△ABC为等边三角形，∴∠EBC＝∠EAC＝∠DAC＝60°，∴∠EBC+∠EAC+∠DAC＝180°，∴AD∥BC；（2）如图2，在F A上截取FM＝AE，连接DM，∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF，∴∠ADM＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC。
初二数学上期末试题及答案
初二数学上期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C3. 一个三角形的三个内角之和是：A. 30°B. 60°C. 90°D. 180°答案：D4. 一个数的绝对值是其本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 任何数答案：C5. 以下哪个是偶数？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-5，这个数是______。
答案：57. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是______。
答案：58. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
答案：169. 一个数的立方是-27，这个数是______。
答案：-310. 如果一个数的绝对值是7，那么这个数可以是______或______。
答案：7或-7三、计算题（每题5分，共15分）11. 计算下列各题：(1) (-2) × (-3) = ______。
答案：6(2) (-5) ÷ (-2) = ______。
答案：2.512. 计算下列各题：(1) √25 = ______。
答案：5(2) √144 = ______。
答案：1213. 计算下列各题：(1) (-3)³ = ______。
答案：-27(2) (-2)⁴ = ______。
答案：16四、解答题（每题15分，共30分）14. 已知一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的周长和面积。
答案：周长= 2 × (10 + 5) = 30厘米；面积= 10 × 5 = 50平方厘米。
15. 一个数列的前三项是1, 4, 7，这个数列是一个等差数列。
八年级数学期末试卷(带答案)
八年级数学期末试卷(带答案)八年级数学期末试卷(带答案)第一部分：选择题1. 以下哪个是素数？A) 12B) 15C) 17D) 20答案：C2. 解方程 2x + 5 = 15 的解是：A) x = 5B) x = 10C) x = 7D) x = 8答案：B3. 以下哪个是等腰三角形？A) 直角三角形B) 钝角三角形C) 锐角三角形D) 等边三角形答案：D4. 如果一个长方形的长度是5cm，宽度是10cm，它的周长是多少？A) 10cmB) 20cmC) 25cmD) 30cm答案：C5. 5个苹果的价格是20元，那么10个苹果的价格是多少？A) 20元B) 25元C) 30元D) 40元答案：D第二部分：填空题1. 2的平方根是______。
答案：√22. 62 ÷ 2 + 12 × 3 = ______。
答案：503. 子午线是连接地球的________。
答案：两极4. 如果一个正方形的面积是49平方米，它的边长是______米。
答案：75. 厘米和米的换算关系是：1米 = ______厘米。
答案：100第三部分：解答题1. 请写出50的质因数分解。
答案：2 × 5 × 52. 请计算：（-7） × (-5) ÷ 7。
答案：53. 请列举一个等比数列的前五项，公比为3。
答案：1, 3, 9, 27, 814. 根据题目给出的图形，计算以下三角形的面积。
（插入三角形图形，可手写或使用专业绘图软件）答案：根据图形计算面积。
5. 如果甲车比乙车快35%，而乙车的速度是每小时60公里，那么甲车的速度是多少公里每小时？答案：乙车速度 ×（1 + 35%） = 60公里/小时 × 1.35 = 81公里/小时总结：本次数学期末试卷包含选择题、填空题和解答题，考察了学生对素数、方程、图形面积等多个数学概念的理解。
通过完成这份试卷，学生们可以对自己的数学知识进行检测和巩固。
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初二数学期末模拟试题（二）
一、选择题
1．下列各说法中，正确的是（ ）
A、1的平方根是1 B、-1是1的平方根
C、1的立方根是±1 D、-1的算术平方根是1
2．若b<1，则 的值为（ ）
A、2b B、-2b C、0 D、2
3．菱形的两条对角线长分别为10和8，其面积为（ ）
A、80 B、40 C、20 D、18
4．等腰梯形的中位线与两底中点的连线互相（ ）
A、垂直不平分 B、平分不垂直 C、斜交平分 D、垂直平分
5．若梯形上底为l，中位线为m，则连结两条对角线中点的线段长是（ ）
A、 B、 C、2m-l D、m-l
6．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
7．在凸四边形中，两条边长与两条对角线的长都等于a，则这个四边形中
的最大的内角为（ ）
A、120° B、135° C、150° D、165°
8．若顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定是
（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、对角线相等的四边形
9．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的
面积为（ ）
A、16cm2 B、32cm2 C、64cm2 D、512cm2
10．如果m是9的平方根， ,则m、n的关系是（ ）
A、m=±n B、m=n C、m=-n D、|m|≠|n|
11．若x>0，则根式 化成最简根式为（ ）
A、 B、 C、 D、
12．要使 有意义，则x的取值范围是（ ）
A、实数 B、 C、有理数 D、
13．如果最简根式 是同类二次根式，则a、b的值是（ ）
A、a=2, b=-2 B、a=0, b=2 C、a=-1, b=4 D、a=1, b=0
14． 的关系是（ ）
A、互为相反数 B、互为倒数 C、互为有理化因式 D、相等
15．如图，在矩形ABCD中，AE^BD于E，S矩形ABCD=40cm2, SΔABE∶SΔDBA=1∶
5，则AE的长为（ ）
A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm
16．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，若在AB上取一点P，
使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的点
P有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
17．已知：如图，ΔABC中，F是AC上的点，AF∶FC=1∶2，G是BF的中点，
AG的延长线交BC于E，则BE∶EC=（ ）
A、1∶4 B、1∶2 C、2∶5 D、1∶3
18．已知：如图把菱形ABCD沿着对角线AC的方向移动到菱形A'B'C'D'的
位置， 它们重叠部分（阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的一半，若AC= ，
则菱形移动的位置AA'是（ ）
A、 B、 C、1 D、 -1
二.计算题
19．
20．
21．
三：化简求值
22．已知， ，求 的值。
23．当0
四．证明题
25．已知：正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，并且使BM=BN，
自B作BP⊥MC于P.求证：DP⊥NP。
26．已知：如图梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=60°，BD= ，AE是梯
形的高，且BE=1。求：AD的长。
27．已知：□DEFP与正方形ABCD有一个公共顶点D，P在CB或其延长线
上，A在EF上.正方形ABCD的边长等于a，求平行四边形DEFP的面积。
28． 在ΔABC中，AD是BC边上的中线，E是AD边上的任意一点（E与A，
D不重合），F是BE延长线与AC的交点，可发现：
……
请你根据发现的规律填空：当AE= AD时（n为正整数），
=_______（用含有n的代数式表示）
答案
一、选择题
1. B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9. C 10. A
11.C 12.D 13.D 14.A 15.A 16.C 17.D 18.D
二.计算题
19．
20．
21．
三：化简求值：
22．已知， ，求 的值。
解：∵
a= =2- ,
∴ a-1=2- -1=1- <0,
∴ =a-1-
=a-1+
=1- +2+
=3
23．当0
0
求
x2+xy+y2的值。
解：∵
x+y= , xy= ,
∴
x2+xy+y2
=(x+y)2-xy
=3a+5b-
=3a+
四．证明题
25．
证明：∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
BC=CD， AB//CD
∵ BP⊥MC于P，
∴ΔMPB∽ΔBPC，
∴ ，∠1=∠2，
∵ MB=NB， BC=CD
∴ ，
∵
AB//CD
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ΔBNP∽ΔCDP，
∴∠4=∠5，
∵∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴ NP⊥DP。
26．
解：过D作DF⊥BC于F，
∵ AE为梯形的高，
∴AE=DF，
在ΔAEB中，∠AEB=90°，∠ABC=60°，BE=1
∴ AB=2， AE= （根据勾股定理）
在ΔBDF中，∠BFD=90°，BD=2 ，DF= ，
∴
BF=3
∵AD//BC， AE⊥BC， DF⊥BC，
∴ AD=EF=2。
27．
解：连结AP，
∵ 正方形ABCD的边长为a,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
28．